Log-logistisk lov

Stoffet i denne matematikkartikkelen skal kontrolleres (desember 2016).

Forbedre det eller diskutere ting å sjekke . Hvis du nettopp har festet banneret, vennligst angi punktene du skal sjekke her .

Log-logistikk
Sannsynlighetstetthet For α = 1 og β i forklaringen


Distribusjonsfunksjon α = 1 og β i forklaringen

Innstillinger	α> 0 skala β> 0 form
Brukerstøtte	$x \ in [0, \ infty)$
Sannsynlighetstetthet	${\ frac {(\ beta / \ alpha) (x / \ alpha) ^ {{\ beta -1}}} {\ left [1+ (x / \ alpha) ^ {{\ beta}} \ right] ^ {2}}}$
Distribusjonsfunksjon	${1 \ over 1+ (x / \ alpha) ^ {{- \ beta}}}$
Håp	${\ alpha \, \ pi / \ beta \ over \ sin (\ pi / \ beta)}$ hvis β> 1, ellers ikke definert
Median	α
Mote	$\ alpha \ left ({\ frac {\ beta -1} {\ beta +1}} \ høyre) ^ {{1 / \ beta}}$ hvis β> 1, 0 ellers
Forskjell	se utvikling

I sannsynlighetsteori og i statistikk er den loglogistiske loven (også kjent som Fisk-distribusjonen i økonomi ) en kontinuerlig sannsynlighetslov for en strengt positiv tilfeldig variabel . Den brukes i studien av levetiden til en hendelse hvis intensitet først øker og deretter avtar, som for kreftdødelighet etter diagnose eller behandling. Det brukes også i hydrologi for å modellere strømmen av en elv eller nedbørsnivået, og i økonomi for å modellere inntektsulikhet .

Den loglogistiske loven er loven til en tilfeldig variabel hvis logaritme er fordelt i henhold til en logistisk lov . Den ligner den lognormale fordelingen , men skiller seg ut fra den med tykkere haler. Dessuten innrømmer fordelingsfunksjonen et eksplisitt uttrykk, i motsetning til det lognormale.

Kjennetegn

Det er forskjellige parameteriseringer av distribusjonen. Den som er valgt her tillater en rimelig tolkning av parametrene og tillater et forenklet uttrykk for distribusjonsfunksjonen . Parameteren α> 0 er en skalaparameter og fungerer også som medianen for fordelingen. Parameteren β> 0 er en formparameter . Fordelingen er unimodal når β> 1 og dens spredning avtar når β øker.

Distribusjonsfunksjonen er

{\ begin {justert} F (x; \ alpha, \ beta) & = {1 \ over 1+ (x / \ alpha) ^ {{- \ beta}}} \\ & = {(x / \ alpha) ^ {\ beta} \ over 1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta}} \\ & = {x ^ {\ beta} \ over \ alpha ^ {\ beta} + x ^ {\ beta}} \ slutt {justert}}

hvor , α> 0, β> 0. $x> 0$

Den sannsynlighetstettheten er

{\ displaystyle f (x; \ alpha, \ beta) = {\ frac {(\ beta / \ alpha) (x / \ alpha) ^ {\ beta -1}} {\ left [1+ (x / \ alpha) ) ^ {\ beta} \ right] ^ {2}}}}

Eiendommer

Øyeblikk

Den -te øyeblikket eksisterer bare når og er da gitt ved $k$ $k <\ beta,$

{\ begin {align} \ operatorname {E} (X ^ {k}) & = \ alpha ^ {k} \, \ operatorname {B} (1-k / \ beta, \, 1 + k / \ beta) \\ & = \ alpha ^ {k} \, {k \, \ pi / \ beta \ over \ sin (k \, \ pi / \ beta)} \ end {justert}}

hvor $B$ er beta-funksjonen . Uttrykket for forventning , varians , skjevhetskoeffisient og kurtosekoeffisient er hentet fra forrige uttrykk. Ved å stille middel tar formen ${\ displaystyle b = \ pi / \ beta,}$

{\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ alpha b / \ sin b, \ quad \ beta> 1}

og avviket blir

{\ displaystyle \ operatorname {Var} (X) = \ alpha ^ {2} \ left (2b / \ sin 2b-b ^ {2} / \ sin ^ {2} b \ right), \ quad \ beta> 2 }

De eksplisitte uttrykkene for kurtose og skjevhet tar lengre tid å reprodusere. Når β har en tendens til uendelig, har gjennomsnittet (forventning) en tendens til α, variansen og skjevheten har en tendens til 0 og kurtosen har en tendens til 6/5 (se også # Tilknyttede distribusjoner nedenfor).

Kvantiler

Det omvendte av fordelingsfunksjonen er gitt av:

{\ displaystyle F ^ {- 1} (p; \ alpha, \ beta) = \ alpha \ left ({\ frac {p} {1-p}} \ right) ^ {1 / \ beta}}

Det følger at medianen er α, den første kvartilen er og den siste kvartilen er . $3 ^ {{1 / \ beta}} \ alfa$ $3 ^ {{- 1 / \ beta}} \ alfa$

applikasjoner

Overlevelsesanalyse

Den loglogistiske fordelingen gir en parametrisk modell for overlevelsesanalyse. I motsetning til den vanlige Weibull-fordelingen tillater denne tettheten en ikke- monoton risikofunksjon (svikt) : når β> 1, er risikofunksjonen unimodal (når β ≤ 1, reduseres risikoen monotont). Å ha et eksplisitt uttrykk for distribusjonsfunksjonen er en fordel for overlevelsesanalyse med avkortede (eller sensurerte ) data.

Overlevelsesfunksjonen er:

{\ displaystyle S (t) = 1-F (t) = \ left [1+ \ left ({\ frac {t} {\ alpha}} \ right) ^ {\ beta} \ right] ^ {- 1} }

og risikofunksjonen:

{\ displaystyle h (t) = {\ frac {f (t)} {S (t)}} = {\ frac {{\ dfrac {\ beta} {\ alpha}} \ left ({\ dfrac {t} {\ alpha}} \ right) ^ {\ beta -1}} {1+ \ left ({\ dfrac {t} {\ alpha}} \ right) ^ {\ beta}}}}

Hydrologi

Den loglogistiske fordelingen gjorde det mulig å modellere strømmen av elver eller til og med nedbør.

Økonomi

Den loglogistiske fordelingen tillater i økonomien å bare modellere inntektsulikheter , ofte under betegnelsen "Fisk-fordeling". Dens Gini-koeffisient er . $1 / \ beta$

Tilknyttede distribusjoner

Hvis X har en loglogistisk fordeling med skalaparameter α og formparameter β, fordeles Y = log ( X ) i henhold til en logistisk lov , med posisjonsparameterlogg (α) og skalaparameter 1 / β.
Når formparameteren β øker, nærmer den loglogistiske fordelingen seg mer og mer en logistisk fordeling. Eller uformelt når , $\ beta \ til \ infty$ ${\ displaystyle LL (\ alpha, \ beta) \ to L (\ alpha, \ alpha / \ beta)}$ .
Den loglogistiske fordelingen LL (β = 1, α) er identisk med en generalisert Pareto-fordeling , med posisjonsparameter , formparameter og skalaparameter α: $\ mu = 0$ $\ xi = 1$

{\ displaystyle LL (\ alpha, 1) = GPD (1, \ alpha, 1)}

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Log-logistic distribution " ( se listen over forfattere ) .

(en) MM Shukri , IUM Mian og DS Tracy , " Sampling Properties of Estimators of the Log-Logistic Distribution with Application to Canadian Precipitation Data " , The Canadian Journal of Statistics , vol. 16 n o 3, 1988, s. 223-236 ( JSTOR 3314729 ).
(in) Fahim Ashkar og Smail Mahdi , " Fitting the log-logistic distribution by generalized times " , Journal of Hydrology , Vol. 328, 2006, s. 694-703 ( DOI 10.1016 / j.jhydrol.2006.01.014 ).
(i) Pandu R. Tadikamalla og Norman L. Johnson , " Systems of Frequency Curves Generated by Logistic Transformations of Variables " , Biometrika , vol. 69, n o to 1982, s. 461-465 ( JSTOR 2335422 ).
(in) Pandu R. Tadikamalla , " A Look at the Burr and Related Distributions " , International Statistical Review , vol. 48, n o 3,1980, s. 337-344 ( JSTOR 1402945 ).
(i) Michael P. McLaughlin , " A Compendium of Common Probability Distributions " ,2001(åpnet 15. februar 2008 ) , A-37.
(in) Steve Bennett , " Log-Logistic Regression Models for Survival Data " , Applied Statistics , vol. 32, n o to1983, s. 165-171 ( JSTOR 2347295 ).
(i) PR Fisk , " gradering av inntekt fordelinger " , Econometrica , vol. 29,1961, s. 171-185 ( JSTOR 1909287 ).
(in) C. Kleiber and S. Kotz , Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences , Hoboken, Wiley , 2003, 352 s. ( ISBN 978-0-471-15064-0 ).