Kompakt stabling

Den kompakte stakken er måten å arrangere kuler i rommet for å ha størst tetthet av kuler, uten at de overlapper hverandre.

Dette er et problem som man generelt stiller i euklidisk geometri i tredimensjonalt rom, men det kan også generaliseres til det euklidiske planet ("kulene" er da sirkler ), i et euklidisk rom med n- dimensjoner ( n > 3 ), med hypersfærer , eller i et ikke-euklidisk rom .

Kompakt arrangement av sirkler i et plan

På et plan kan maksimalt seks sirkler med radius r plasseres rundt en sirkel med samme radius. Sentrene til tre sirkler i kontakt definerer en like-sidig trekant siden de er 2 r fra hverandre. Hver vinkel er lik 60 ° ( π / 3 ), slik at vi kan sette 6 trekanter med et toppunkt til felles for å danne en vanlig sekskant .

Vi kan lett se at det er den mest kompakte organisasjonen som er ved å lagre kuler med samme volum i et kabinett av passende størrelse.

Overflatetettheten til dette arrangementet er:

Demonstrasjon

Tenk på fire sirkler i kontakt to og to. Sentrene i disse sirklene danner en rombe med side 2 r . Det er således mulig å kutte flyet i en tessellering av diamanter som definerer et nettverk.

Hver rombe består av to deler av en vinkelskive i midten 2π / 3 og to deler av en vinkelskive i midten π / 3 . Summen av disse fire vinklene i midten er altså lik 2π , så summen av arealene til de fire delene av skiven er lik arealet til en komplett plate, det vil si π r 2 .

Selve romben har for areal . Diskene opptar derfor en andel av arealet som er lik .

Joseph-Louis Lagrange beviste i 1773 at ingen vanlige ordninger er tettere. Dette er ikke tilfelle når sirklene ikke er like store (se arrangementet av sitrusskiver).

Kompakt kulebunke

Tenk på tre sfærer med samme diameter i kontakt med et plan (plan A). Vi kan plassere en fjerde kule, alltid med samme diameter, plassert på hulen mellom de tre første, sentrene til kulene danner en vanlig tetraeder .

Ved å således plassere kuler i hulene til kompaktplanet A, får vi et andre kompaktplan (plan B). Når vi legger til et tredje plan, kan vi sette kulene enten i samsvar med de i det første planet (plan A), eller i en tredje mulighet for plassering som definerer et nytt kompakt plan (plan C). Og så videre: superposisjon (vanlig eller ikke) av plan A, B eller C (to påfølgende bokstaver må alltid være forskjellige).

I 1611 antar Johannes Kepler at dette er det mest kompakte romlige arrangementet. I 1831 demonstrerte Carl Friedrich Gauss Keplers antagelser forutsatt at ordningen er vanlig (på et nettverk). Den generelle saken ble demonstrert av Thomas Hales i 1998 (etterfulgt av fire års verifikasjoner av matematikere) og formelt bevist i 2014, fremdeles av Thomas Hales.

Det er således tre typer kompakte plan A, B og C som ved å kombinere genererer et uendelig antall typer kompakte stablinger, som utgjør et eksempel på polytypisme  :

Uansett arrangement, er hver sfære omgitt av 12 andre kuler, og volumtettheten er i alle tilfeller:

Demonstrasjon  - Beregningen kan gjøres på en enkel måte på en ansiktssentrert kubisk stablingog på en kompakt sekskantet stabling (se den eksterne lenken for beregning av kompaktheten). For de andre kompakte stablene er det tilstrekkelig å kutte strukturen i grupper på tre plan for å havne i et av de nevnte tilfellene.

Høyere dimensjoner

I euklidiske rom med dimensjoner større enn 3 generaliserer det kompakte stablingsproblemet til overkuler . Tettheten til de mest kompakte vanlige ordningene er kjent opp til dimensjon 8 og for dimensjon 24 (se artikkelen "  Eremittkonstant  ").

I 2016 kunngjorde Maryna Viazovska at E-nettverket 8  (in) gir den optimale stakken (ikke nødvendigvis vanlig) i størrelse 8, og kort tid etter produserte den i samarbeid med andre matematikere lignende bevis som viste at nettverket de Leech er optimalt for dimensjon 24.

Asymptotisk synker tettheten til det mest kompakte arrangementet (vanlig eller ikke) eksponentielt som en funksjon av dimensjon n . Det er ingen grunn til å tro at de tetteste ordningene generelt er vanlige. Imidlertid er den mest kjente veiledningen den samme i begge tilfeller:

Påføring i krystallografi

I krystallografi kan atomer eller ioner organisere seg i kompakte lag. Dette er spesielt tilfelle for metallstrukturer, hvor krystallene bare er dannet av en type partikler. Hvis de er modellert av kuler, er stabelen kompakt når kulene er i kontakt.

De to hovedtyper av kompakt stabel er:

Eksempler:

Volumtettheten kalles kompakthet . Fyllingsgraden er omtrent 74  % (26% vakuum).

Struktur vs. Nettverk

I den kompakte kubiske strukturen er atomer lokalisert i samsvar med nodene til det ansiktssentrerte kubiske gitteret, og av denne grunn kalles den kompakte kubiske strukturen ofte også en ansiktssentrert kubisk struktur.

På den annen side, i den kompakte sekskantede strukturen, er ikke atomene på nettene i nettverket, men i posisjon ⅓, ⅔, ¼ og ⅔, ⅓, ¾, som er ekvivalente i romgruppen ( P 6 3 / mmc , n ° 194). Den nettverk av den kompakte sekskantede strukturen er en primitiv sekskantnett.

Referanser

  1. Conway og Sloane 1999 , kap. 1, s. 8.
  2. (i) Frank Morgan, "  Sphere Packing in size 8  " , på The Huffington Post ,21. mars 2016(åpnet 10. april 2016 )
  3. (de) Andreas Loos, "  Mathematik: So stapeln Mathematiker Melonen  " , Die Zeit ,21. mars 2016( ISSN  0044-2070 , lest online , åpnet 10. april 2016 )
  4. (en-US) Lisa Grossman , "  Nytt matte bevis viser hvordan man kan stable appelsiner i 24 dimensjoner  " , på New Scientist ,28. mars 2016(åpnet 10. april 2016 )
  5. (i) Erica Klarreich , "  Sphere emballasje Løst i høyere dimensjoner  " , Quanta Magazine ,30. mars 2016( les online , konsultert 23. mars 2021 )
  6. Conway og Sloane 1999 , kap. 1, s. 20.

Se også

Bibliografi

Relaterte artikler

Eksterne linker