Kvartisk ligning
I matematikk er en kvartligning en polynomligning av grad 4.
Kvartiske ligninger ble løst så snart metodene for å løse tredjegradsligninger var kjent . Ferrari- metoden og Descartes-metoden ble suksessivt utviklet .
Den metode for Lagrange , beskrevet nedenfor, er avledet fra egenskapene til symmetriske polynomer konstruert fra n røttene av et polynom av grad n .
Fragmenter av historien
Metoden for å løse den kvartiske ligningen er etablert i to århundrer av Ludovico Ferrari (1522-1565). Metoden hans gjør det mulig å redusere til en ligning av grad tre, kalt kubisk oppløsning (eller) - eller redusert - av ligningen til den fjerde graden; den ble utgitt for første gang i 1545 av Jérôme Cardan i sitt arbeid Ars Magna (Cardan sier eksplisitt der at denne metoden ble angitt for ham av Ferrari, på hans forespørsel). Metoden som er utviklet her bruker egenskapene til variasjonene av uttrykk som involverer røttene til polynomer. Denne analysen tilsvarer arbeidet til Joseph-Louis Lagrange som søker å forstå de generelle prinsippene som styrer oppløsningene til ligninger av grad to, tre og fire. Ideen om å betrakte røttene til polynomer som formelle mengder som griper inn i polynomer, symmetriske eller ikke, er et fruktbart initiativ som, anvendt på polynomer som er større enn eller lik 5, vil føre til setningen til Évariste Galois, som viser generelt er en polynomligning med grad 5 eller mer ikke radikal-løsbar .
Eliminering av grad 3 termin
Ved en teknikk som er felles for polynomiske ligninger (i hvilken som helst grad), ligningen
påx4+bx3+vs.x2+dx+e=0(1){\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0 \ quad (1)}![{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0 \ quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e5592e707ca3b9568205ba6e1489665b506f565)
reduserer, etter divisjon med a og endring av variabel til en ligning av skjemaetx=y-b4på{\ displaystyle x = y - {\ frac {b} {4a}}}![{\ displaystyle x = y - {\ frac {b} {4a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6057fc0406b5f974ca00bb006971bf37abe362)
y4+sy2+qy+r=0(2){\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0 \ quad (2)}![{\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0 \ quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9364bfd1f40a290767f18aa334857bacaaeb4dc1)
med
s=vs.på-3b28på2,q=dpå-bvs.2på2+b38på3ogr=epå-bd4på2+vs.b216på3-3b4256på4{\ displaystyle p = {\ frac {c} {a}} - {\ frac {3b ^ {2}} {8a ^ {2}}} \ quad {\ text {,}} \ quad q = {\ frac {d} {a}} - {\ frac {bc} {2a ^ {2}}} + {\ frac {b ^ {3}} {8a ^ {3}}} \ quad {\ text {and}} \ quad r = {\ frac {e} {a}} - {\ frac {bd} {4a ^ {2}}} + {\ frac {cb ^ {2}} {16a ^ {3}}} - { \ frac {3b ^ {4}} {256a ^ {4}}}}![{\ displaystyle p = {\ frac {c} {a}} - {\ frac {3b ^ {2}} {8a ^ {2}}} \ quad {\ text {,}} \ quad q = {\ frac {d} {a}} - {\ frac {bc} {2a ^ {2}}} + {\ frac {b ^ {3}} {8a ^ {3}}} \ quad {\ text {and}} \ quad r = {\ frac {e} {a}} - {\ frac {bd} {4a ^ {2}}} + {\ frac {cb ^ {2}} {16a ^ {3}}} - { \ frac {3b ^ {4}} {256a ^ {4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2848a41fa9c1e2b4c3dce865bb3b004d3e4de059)
.
Man kan da løse ligningen (2) ved hjelp av metoden til Ferrari , den til Descartes , eller den under “av Lagrange”. Alle tre gir, under forskjellige fremtoninger, den samme formelen for de fire løsningene.
Lagrange-metoden
Prinsipp for metoden
Det er et spørsmål om å finne et uttrykk som involverer de 4 røttene til
y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}![{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8660a76af3e499ab7a86c73d6577e873ffabbdb3)
y4+sy2+qy+r=0{\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0}![{\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912d799d255d5557a8bfba6e411059b9cb1592fa)
og tillater å få, ved permutasjoner, bare 3 forskjellige verdier.
Dette er for eksempel tilfellet som ved permutasjoner bare tillater å gi verdiene
-(y1+y2)(y3+y4){\ displaystyle - (y_ {1} + y_ {2}) (y_ {3} + y_ {4})}![{\ displaystyle - (y_ {1} + y_ {2}) (y_ {3} + y_ {4})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca68cb7d644b6193afca7eb376d511e89b7b68ba)
z1=-(y1+y2)(y3+y4){\ displaystyle z_ {1} = - (y_ {1} + y_ {2}) (y_ {3} + y_ {4})}![{\ displaystyle z_ {1} = - (y_ {1} + y_ {2}) (y_ {3} + y_ {4})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e9b91276e4de28aed87d335c85653ae44f99a8)
,
z2=-(y1+y3)(y2+y4){\ displaystyle z_ {2} = - (y_ {1} + y_ {3}) (y_ {2} + y_ {4})}![{\ displaystyle z_ {2} = - (y_ {1} + y_ {3}) (y_ {2} + y_ {4})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1067ea3167def1f52e49fdcbff03aba134904ee5)
,
z3=-(y1+y4)(y2+y3){\ displaystyle z_ {3} = - (y_ {1} + y_ {4}) (y_ {2} + y_ {3})}![{\ displaystyle z_ {3} = - (y_ {1} + y_ {4}) (y_ {2} + y_ {3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76305f10f7d652cd793279fe557d9fea1c8d3d97)
.
Ethvert symmetrisk polynom av kan uttrykkes som et symmetrisk polynom av .
z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}
y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}![{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8660a76af3e499ab7a86c73d6577e873ffabbdb3)
Spesielt kan polynomets koeffisienter uttrykkes ved bruk av p , q og r . Det er sikkert at eiendommen
R(z)=(z-z1)(z-z2)(z-z3){\ displaystyle R (z) = (z-z_ {1}) (z-z_ {2}) (z-z_ {3})}![{\ displaystyle R (z) = (z-z_ {1}) (z-z_ {2}) (z-z_ {3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1355491b36d2e634724273797a4acc0093cc3956)
y1+y2+y3+y4=0{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} + y_ {4} = 0}![{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} + y_ {4} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f0481536e04db14285768a3f026a1757af4fcf)
legger til rette for beregninger.
Vi viser det da:
-
z1+z2+z3=-2s{\ displaystyle z_ {1} + z_ {2} + z_ {3} = - 2p}
;
-
ΣJeg<jzJegzj=s2-4r{\ displaystyle \ Sigma _ {i <j} z_ {i} z_ {j} = p ^ {2} -4r}
;
-
z1z2z3=q2{\ displaystyle z_ {1} z_ {2} z_ {3} = q ^ {2}}
.
De tre reelle tallene er da løsninger av ligningen
z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}![{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4fef309bda9cb59b403ecd1842473e93f4875e)
z3+2sz2+(s2-4r)z-q2=0(3){\ displaystyle z ^ {3} + 2pz ^ {2} + (p ^ {2} -4r) zq ^ {2} = 0 \ quad (3)}![{\ displaystyle z ^ {3} + 2pz ^ {2} + (p ^ {2} -4r) zq ^ {2} = 0 \ quad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c9ea74a2a16b698d837e746b527b8f82e07c13)
.
Det gjenstår nå å bli funnet basert på å vite det .
y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}
z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}
y1+y2+y3+y4=0{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} + y_ {4} = 0}![{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} + y_ {4} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f0481536e04db14285768a3f026a1757af4fcf)
Vi merker det da
z1=(y1+y2)2=(y3+y4)2{\ displaystyle z_ {1} = (y_ {1} + y_ {2}) ^ {2} = (y_ {3} + y_ {4}) ^ {2}}
z2=(y1+y3)2=(y2+y4)2{\ displaystyle z_ {2} = (y_ {1} + y_ {3}) ^ {2} = (y_ {2} + y_ {4}) ^ {2}}
z3=(y1+y4)2=(y2+y3)2{\ displaystyle z_ {3} = (y_ {1} + y_ {4}) ^ {2} = (y_ {2} + y_ {3}) ^ {2}}
så det
y1+y2=z1{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} = {\ sqrt {z_ {1}}}}![{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} = {\ sqrt {z_ {1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4faa1037ca4c8fbdcf928e8b9867b178d1cb146b)
og ,
y3+y4=-z1{\ displaystyle y_ {3} + y_ {4} = - {\ sqrt {z_ {1}}}}
y1+y3=z2{\ displaystyle y_ {1} + y_ {3} = {\ sqrt {z_ {2}}}}![{\ displaystyle y_ {1} + y_ {3} = {\ sqrt {z_ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c0c38791922e214560f562036e58674173c1549)
og ,
y2+y4=-z2{\ displaystyle y_ {2} + y_ {4} = - {\ sqrt {z_ {2}}}}
y1+y4=z3{\ displaystyle y_ {1} + y_ {4} = {\ sqrt {z_ {3}}}}![{\ displaystyle y_ {1} + y_ {4} = {\ sqrt {z_ {3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a67d2da75fb8557ee38e01a4fa2a55c22579c907)
og
y2+y3=-z3{\ displaystyle y_ {2} + y_ {3} = - {\ sqrt {z_ {3}}}}
(notasjonen skal her forstås som en av kvadratrøttene til ).
zJeg{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}
zJeg{\ displaystyle z_ {i}}![z_i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c6e920bac39ad09fff4efef16254595091a1025)
Verdiene av blir deretter funnet ved enkel tilsetning.
yJeg{\ displaystyle y_ {i}}![y_i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d30d30b6c2dbe4d6f150d699de040937ecc95f)
Balanse
Løsninger
y4+sy2+qy+r=0{\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0}![{\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912d799d255d5557a8bfba6e411059b9cb1592fa)
er
y1=12(z1+z2+z3){\ displaystyle y_ {1} = {\ tfrac {1} {2}} ({\ sqrt {z_ {1}}} + {\ sqrt {z_ {2}}} + {\ sqrt {z_ {3}} })}
y2=12(z1-z2-z3){\ displaystyle y_ {2} = {\ tfrac {1} {2}} ({\ sqrt {z_ {1}}} - {\ sqrt {z_ {2}}} - {\ sqrt {z_ {3}} })}
y3=12(-z1+z2-z3){\ displaystyle y_ {3} = {\ tfrac {1} {2}} (- {\ sqrt {z_ {1}}} + {\ sqrt {z_ {2}}} - {\ sqrt {z_ {3} }})}
y4=12(-z1-z2+z3){\ displaystyle y_ {4} = {\ tfrac {1} {2}} (- {\ sqrt {z_ {1}}} - {\ sqrt {z_ {2}}} + {\ sqrt {z_ {3} }})}
hvor , og er de tre røttene til polynomet R , av grad 3 , kalt resolving cubic, eller redusert:
z1{\ displaystyle z_ {1}}
z2{\ displaystyle z_ {2}}
z3{\ displaystyle z_ {3}}![z_ {3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d5bb8bf0e4b1fb0015e4f412632d57b3d6771a)
R(z)=z3+2sz2+(s2-4r)z-q2{\ displaystyle R (z) = z ^ {3} + 2pz ^ {2} + (p ^ {2} -4r) zq ^ {2}}![{\ displaystyle R (z) = z ^ {3} + 2pz ^ {2} + (p ^ {2} -4r) zq ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231bf710645a6eaee51569b38f0fb5371bba4a44)
.
Av , må vi forstå, ett av numrene som plassen er verdt . Vi merker at samtidig forvandle alt til deres motsetninger forvandler det hele til . Det er derfor nødvendig å velge "gode" kvadratrøtter, slik at produktet er verdt –q .
zJeg{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}
zJeg{\ displaystyle z_ {i}}
zJeg{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}
{y1,y2,y3,y4}{\ displaystyle \ {y_ {1}, \, y_ {2}, \, y_ {3}, \, y_ {4} \}}
{-y1,-y2,-y3,-y4}{\ displaystyle \ {- y_ {1}, - y_ {2}, - y_ {3}, - y_ {4} \, \}}
z1z2z3{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {1}}} {\ sqrt {z_ {2}}} {\ sqrt {z_ {3}}}}![{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {1}}} {\ sqrt {z_ {2}}} {\ sqrt {z_ {3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292d19709c84445056e73c813f5968e3a2389f82)
Saksbeholdning
Hvis koeffisientene p , q og r er reelle, legger vi merke til at produktet av røttene til polynomet R er , vi er derfor begrenset til formen på røttene til polynomet R og på løsningene til kvartligningen.
q2{\ displaystyle q ^ {2}}![q ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024d4dbdf3feb09055609f33baa8a7ae23aef1d5)
- Hvis de tre røttene til R er reelle positive, får vi fire reelle verdier.
- Hvis alle tre røttene til R er reelle og to er negative, får vi to par konjugerte komplekser.
- hvis R har en ekte rot og to konjugerte komplekse røtter, er den virkelige roten positiv, og vi får to reelle verdier og to konjugerte komplekser.
Spesielle ligninger
Blant ligningene av grad fire kan noen, spesielt, bare løses ved hjelp av kvadratiske ligninger ; dette er tilfelle for tosidede ligninger og symmetriske ligninger eller, mer generelt, ligninger som f.eks .
påx4+bx3+vs.x2+dx+e=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0}
påd2=eb2{\ displaystyle annonse ^ {2} = eb ^ {2}}![{\ displaystyle annonse ^ {2} = eb ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d1ef73da3b36d394d966961b756a352be00245)
Firedoble ligninger
De er skrevet i skjemaet
påx4+bx2+vs.=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {2} + c = 0}![{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {2} + c = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76da3e4d0b41df07961b4c31d29d2bdaf1c76a3d)
og løses ved å endre variabelen
y=x2{\ displaystyle y = x ^ {2}}![y = x ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1108c4c9ee8ac7de90b77f9bd27415b13b6bf1)
og oppløsningen av
påy2+by+vs.=0{\ displaystyle ay ^ {2} + av + c = 0}![{\ displaystyle ay ^ {2} + av + c = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f71dcb121aca8f9ae83c364dd7024599c1f7306)
.
Fire ligninger, så vel som noen andre ligninger av grad 4, kan også løses ved sirkulær eller hyperbolsk trigonometri .
Symmetriske ligninger
De er skrevet i skjemaet
påx4+bx3+vs.x2+bx+på=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + bx + a = 0}![{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + bx + a = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee66f9ac7fc9c7c2cc0ab9e02e66267dba6ea255)
og løses ved å endre variabelen
z=x+1x{\ displaystyle z = x + {\ frac {1} {x}}}![{\ displaystyle z = x + {\ frac {1} {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e1a3822a756df1a0f830528851144ac3c63591)
og oppløsningen av
påz2+bz+vs.-2på=0{\ displaystyle az ^ {2} + bz + c-2a = 0}![{\ displaystyle az ^ {2} + bz + c-2a = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f11cf9e2297e7dc61f20c9d2ceffce4bcb3c46)
.
Denne prosessen er generalisert til ligninger av skjemaet
påx4+bx3+vs.x2+kbx+k2på=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + kbx + k ^ {2} a = 0}![{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + kbx + k ^ {2} a = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ed32e9ae367f66e3f1d010bbabf839f2d8b63b)
(med k ≠ 0 ), som løses ved innstilling
z=x+kx{\ displaystyle z = x + {\ frac {k} {x}}}![{\ displaystyle z = x + {\ frac {k} {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5437ac64123fd4f57c1be376fb7a88a2259eb2bf)
.
Merknader og referanser
-
van der Waerden 1985 .
-
Joseph Louis de Lagrange , Refleksjoner om den algebraiske oppløsningen av ligninger ,1770( les online ) , s. 263-268.
-
Olivier Gebuhrer, " Invitasjon til refleksjoner om den algebraiske oppløsningen av ligninger ", L'Ouvert , IREM de Strasbourg, nr . 45,1986, s. 31-39 ( les online ).
-
Se for eksempel kapittel 4 (Spesielle løsningsmetoder) og øvelse 4-6 i leksjonen til Wikiversity om ligningene til grad 4, ved å følge lenken nederst på denne siden .
-
For en mer trofast redegjørelse for metodene i Lagrange 1770 , se Serret 1879 , s. 475-480, eller slutten på kapitlet “Lagrange-metoden” på Wikiversity .
-
For mer informasjon om hele denne delen, se kapittel 4 (Spesielle løsningsmetoder) i Wikiversitys leksjon om 4. graders ligninger .
Se også
Relaterte artikler
Bibliografi
: dokument brukt som kilde til denne artikkelen.
-
Liten leksikon om matematikk , Didier
-
Jacqueline Lelong-Ferrand og Jean-Marie Arnaudiès , matematikkurs - Algebra , Dunod
-
Joseph-Alfred Serret , Course of higher algebra , t. 2,1879, 4 th ed. ( 1 st ed. 1849) ( lese linjen ) , s. 471-482
-
(en) BL van der Waerden , A History of Algebra , Springer ,1985( ISBN 3-642-51601-7 )