De matematikk (eller matematisk ) er et sett med kunnskap abstrakt resulterer fra resonnement logikk benyttes på forskjellige gjenstander slik som sett matematikk, tall , de former , de strukturene , de transformasjoner , etc. ; samt matematiske forhold og operasjoner som eksisterer mellom disse objektene. De er også forskningsfeltet som utvikler denne kunnskapen, samt disiplinen som lærer den.
De har flere grener som: aritmetikk , algebra , analyse , geometri , matematisk logikk , etc. Det er også et visst skille mellom ren matematikk og anvendt matematikk .
Matematikk skiller seg fra andre vitenskaper ved en bestemt relasjon til virkeligheten fordi observasjonen og eksperimentet ikke forholder seg til fysiske objekter; matematikk er ikke en empirisk vitenskap . De er fullstendig intellektuelle, basert på aksiomer som er erklært sanne eller på postulater som er midlertidig akseptert. Disse aksiomene utgjør dens grunnlag og er derfor ikke avhengig av noe annet forslag. En matematisk uttalelse - vanligvis kalt, etter å ha blitt validert, en setning , proposisjon, lemma , faktum, scholia eller følge - anses å være gyldig når den formelle diskursen som etablerer sannheten respekterer en viss rasjonell struktur som kalles demonstrasjon eller logisk deduktiv resonnement. En uttalelse som ennå ikke er demonstrert, men som likevel anses som sannsynlig , kalles en formodning .
Selv om matematiske resultater er rent formelle sannheter, finner de anvendelser innen andre vitenskaper og innen forskjellige teknologifelt . Dette er hvordan Eugene Wigner snakker om "den urimelige effektiviteten i matematikk i naturvitenskapen".
Ordet "matematisk" kommer fra gresk til latin . Ordet μάθημα ( máthēma ) er avledet av verbet μανθάνω ( manthánô ) ("å lære"). Det betyr "vitenskap, kunnskap" og deretter "matematikk" av μαθὴματα ; den fødte adjektivet μαθηματικός ( mathematikos ), først "relatert til kunnskap" deretter "som gjelder matematisk vitenskap". Dette adjektiv ble vedtatt i Latin ( mathematicus ) og i de romanske språkene etterpå ( "matematikk" i fransk , matematica i italiensk , etc. ), så vel som i mange andre språk.
Den nøytrale formen til adjektivet μαθηματικός har blitt underbygget i τα μαθηματικά ( ta mathēmatiká ) for å betegne de matematiske vitenskapene som en helhet. Denne flertallsformen, brukt av Aristoteles , forklarer bruken av flertall for substantivet på latin i Cicero ( mathematica ), deretter på fransk og på visse andre europeiske språk.
Bruk av flertall er en arv fra eldgamle tider , da quadrivium samlet de fire såkalte "matematiske" kunstene: aritmetikk, geometri, astronomi og musikk. Singular ("matematikk") brukes noen ganger på fransk, men "ordet gir deretter sammenhengen et anstreng av arkaisme eller didaktikk ". Imidlertid insisterer noen forfattere, etter Nicolas Bourbaki , på bruk av entall, for å vise standardiseringen med den moderne aksiomatiske tilnærmingen: Jean Dieudonné ser ut til å være den første som har insistert på dette punktet, og den store avhandlingen de Bourbaki (av som han er en av hovedredaktørene) har tittelen Elementer av matematikk , mens derimot den historiske fiksjonen som følger med den har tittelen Elementer av matematikkens historie . Cédric Villani anbefaler bruk av entall for å bekrefte enhetens domene.
I skoleslangen blir begrepet "matematikk" ofte apokopiert i "matematikk", noen ganger også skrevet "matematikk".
Det er sannsynlig at mennesket utviklet matematiske ferdigheter før begynnelsen av skrivingen . De tidligste gjenkjente objektene med beregningsferdigheter er å telle pinner , for eksempel beinet til Ishango (i Afrika ) som dateres fra 20 000 fvt. Utviklingen av matematikk som kunnskap overført i de første sivilisasjonene er knyttet til deres konkrete anvendelser: handel , høsthåndtering , måling av områder , spådom av astronomiske hendelser , og noen ganger gjennomføring av religiøse ritualer .
Den første utviklingen av matematikk involverte utvinning av kvadratrøtter , terningrøtter , oppløsning av polynomiske ligninger , trigonometri , brøkberegning , aritmetikk av naturlige tall ... De løp i sivilisasjoner akkadiske , babyloniske , egyptiske , kinesiske eller indusene Valley .
I den greske sivilisasjonen søkte matematikk, påvirket av tidligere arbeid og filosofiske spekulasjoner, mer abstraksjon. Begrepene bevis og aksiomatisk definisjon er spesifisert. To grener skiller seg ut, regning og geometri . På III th århundre f.Kr.. J. - C. , Elements of Euclid oppsummerer og ordner den matematiske kunnskapen til Hellas.
De kinesiske matematikk og indisk (spesielt Indus-dalen ) nådde i Vesten av islamsk sivilisasjon gjennom bevaring av kulturarv gresk og kryssing med funnene, spesielt når det gjelder antall representasjon . Matematisk arbeid er betydelig utviklet både i trigonometri (innføring av trigonometriske funksjoner) og i aritmetikk . Den kombinatorisk analyse , den numerisk analyse og polynom algebra er oppfunnet og utviklet.
Under " gjenfødelsen av XII - tallet ", blir en del av de greske og arabiske tekstene studert og oversatt til latin . Matematisk forskning er konsentrert i Europa. På 1500 - tallet vokser ideen om at det er en universell vitenskap ( mathesis universalis ) som det er mulig å basere all kunnskap på - inkludert Pierre La Ramee . Descartes så fra 1629 , i reglene for sinnets retning , mulighetene som matematikken tilbyr for å spille denne rollen. Descartes understreker, i Discourse on Method , tiltrekningen av matematikk, "på grunn av sikkerheten og åpenbarheten av deres årsaker". Den algebra deretter utvikles som et resultat av arbeidet til Vieta og Descartes . Newton og Leibniz oppfinner uavhengig den uendelige kalkulatoren .
I XVII th århundre , Galileo innså at matematikk er det ideelle verktøy for å beskrive den fysiske verden, kan vi oppsummere med at naturlovene er skrevet i matematisk språk . Matematikk utgjør derfor, sammen med den eksperimentelle tilnærmingen , en av de to søylene i utviklingen av moderne vitenskap .
I løpet av XVIII th århundre og XIX th århundre , matematikk opplever sterk utvikling med det systematiske studiet av strukturer , starter med grupper fra arbeidet til Galois på polynomligninger og ringer introdusert av Dedekind .
Den XIX E århundre sag med Cantor og Hilbert utvikling av en aksiomatisk teori på alle de undersøkte objekter, det vil si forskning av de matematiske grunnlaget . Denne utviklingen vil føre aksiomatisk flere matematikere av XX th århundre for å prøve å definere alle matematikk ved hjelp av et språk, matematisk logikk .
Den XX th århundre har sett sterk utvikling i matematikk med et fordypningsområdene og fødsel eller utvikling av mange nye grener ( måle teori , spektral teori , algebraisk topologi og algebraisk geometri , for eksempel). Den datamaskinen hadde en innvirkning på forskning. På den ene siden la det til rette for kommunikasjon og kunnskapsdeling, på den andre siden ga det et formidabelt verktøy for å konfrontere eksempler. Denne bevegelsen førte naturlig til modellering og digitalisering .
Inndelinger av matematikk i to, tre eller fire forskjellige felt foreslås: algebra og analyse, eller algebra, analyse og geometri, eller algebra , analyse , geometri og sannsynlighet . Slike splittelser er ikke åpenbare, og grensene som skiller dem er alltid dårlig definert. Faktisk krever mange resultater en rekke matematiske ferdigheter. Den Fermat-Wiles teorem , etablert i 1994, er et eksempel. Selv om utsagnet er formulert på en såkalt aritmetisk måte, krever beviset dype ferdigheter innen analyse og geometri.
Den algebra er det sett av matematiske metoder for å studere og utvikle algebraiske strukturer og forstå relasjonene de har med hverandre. Algebra i moderne forstand, historisk sett sin opprinnelse i forståelsen av polynomiske ligninger og utviklingsmetoder for utvikling: forskning på disse områdene har ført til fremveksten av begrepene som ligger til grunn for teorien om grupper , Galois-teorien eller algebraisk geometri .
I en meget restriktiv forstand er analyse den delen av matematikken som er opptatt av spørsmål om regelmessigheten av anvendelsene av en reell eller kompleks variabel: man snakker deretter lettere om reell analyse eller om kompleks analyse . I vid forstand omfatter den alle relaterte matematiske metoder, og en rekke metoder for å forstå og analysere funksjonsrom.
Den geometri prøver å forstå første av alle objekter i verdensrommet og dermed er interessert i egenskapene til mer abstrakte objekter, flerdimensjonale, som ble introdusert i flere tilnærminger, og bemerker at mye av analysen av algebra.
De sannsynlig prøver å formalisere alt som er relatert til tilfeldigheten. Selv om de er gamle, har de opplevd en vekkelse med teorien om måling .
Den statistikken er å samle, bearbeide og syntetisere et sett med data, vanligvis mange.
Mange forskningsområder ligger tvers i forhold til sammenbruddet gitt ovenfor:
Noen ganger skilles det mellom ren matematikk og anvendt matematikk:
I Frankrike strukturerer dette skillet ofte forskerteam, uten nødvendigvis å kompromittere mulighetene for interaksjoner mellom dem. Relevansen av dette skillet blir imidlertid stilt spørsmål ved et visst antall matematikere. Utviklingen av felt og deres studieobjekter kan også bidra til å forskyve en mulig grense eller forestilling om separasjon. I følge et spørsmål fra Ian Stewart , forfatter av en rekke verk om populær matematikk, i sitt arbeid med tittelen My Cabinet of Mathematical Curiosities , “Forholdet mellom rene og anvendte matematikere er basert på tillit og forståelse. Rene matematikere stoler ikke på anvendte matematikere, og anvendte matematikere forstår ikke rene matematikere . ” Anvendt matematikk, i en dårlig definert forstand, inkluderer blant annet numerisk analyse , anvendt statistikk og teori om teori. Matematisk optimalisering . Noen forskningsområder innen matematikk ble født ved grensen til andre vitenskaper (se nedenfor).
De tradisjonelle spørsmålene som filosofien stiller om matematikk kan klassifiseres etter tre temaer:
Matematikk blir noen ganger referert til som "vitenskapens dronning". Uttrykket går imidlertid tilbake til Carl Friedrich Gauss : Regina Scientiarum og ordet scientiarium betyr egentlig " kunnskap ".
Angivelig bruker matematikk logikk som et verktøy for å demonstrere sannheter organisert i teorier . En første analyse lar håpe at en kraftig bruk av dette så sikre verktøyet, en stadig grundigere reduksjon av basene, aksiomene som den matematiske bygningen er bygget på, vil ende opp med å føre til en mengde ubestridelige fakta. Flere hindringer står imidlertid opp.
På den ene siden, som en menneskelig aktivitet, beveger matematikken seg bort fra modellen til en konstruksjon som nøye følger logikkens lover og uavhengig av virkeligheten. La oss sitere et faktum og et fenomen for å illustrere dette. Først og fremst er bevisene som matematikere skriver, ikke formalisert til det punkt at de følger logikkens lover i detalj, fordi dette er umulig på en rimelig kort tid. Som med all vitenskap hviler til slutt aksept av sannheten til et bevis, og derfor av en teorem, til slutt på konsensus av spesialister om gyldigheten av den foreslåtte formelle bevistilnærmingen (se La Structure of Scientific Revolutions av Thomas Samuel Kuhn ). Ankomsten av datateknologi har imidlertid endret situasjonen, i hvert fall marginalt, siden det gjør det mulig å formalisere og kontrollere stadig mer komplekse demonstrasjoner.
Imidlertid er matematisk aktivitet langt fra redusert til jakten på bevis og til deres bekreftelse. Tilliten som det matematiske samfunnet legger til et av medlemmene som foreslår et nytt resultat, griper inn i resepsjonen som dette resultatet vil ha, og desto mer hvis det er uventet eller endrer måten å se ting på. Vi kan for eksempel ta den historiske kontroversen over ikke-euklidiske geometrier i XIX - tallet, hvor arbeidet til Lobachevsky stort sett ble ignorert; eller i en annen retning vanskeligheten med å motta arbeidet til den unge republikanske Galois i begynnelsen av samme århundre, særlig av Cauchy . Sosiologien til matematikk studerer slike fenomener (se vitenskapssosiologi ).
På den annen side kan selve soliditeten til basene ikke baseres på matematikk alene. Faktisk de ufullstendighet teoremer , bevist av Kurt Gödel i første halvdel av XX th -tallet viser at, i motsetning til hva håpet på David Hilbert , er det umulig å formelt redusere det grunnleggende matematikk i et system der sikkerhet er beviser fra disse, og dette innebærer at visse egenskaper som betraktes som "sanne" vil forbli utilgjengelige for demonstrasjonen, uansett hvilke aksiomer du velger.
Undervisning i matematikk kan referere til læring av grunnleggende eller grunnleggende matematiske forestillinger, samt til læring og innvielse til forskning ( høyere utdanning i matematikk ). Avhengig av tid og sted, endres valg av emner som undervises og undervisningsmetoder ( moderne matematikk , Moores metode , klassisk utdanning osv. ). I noen land foretas valg av skoleplaner i offentlig utdanning av offisielle institusjoner.
Cédric Villani , på en TED-konferanse , minner om en viktig vanskelighetsgrad som undervisningen i matematikk ikke vil løse på egen hånd: prosessen med en matematisk oppdagelse forholder seg ikke til matematikk. George Polya indikerte imidlertid mid- 20 th århundre noen teknikker for å løse eksisterende problemer, i sin bok Hvordan å posere og løse et problem ( "Hvordan løse det").
Omtrent samtidig foreslo noen arbeider å tilegne seg oppløsningsmekanismene ved en rekke øvelser som ble foreslått med deres detaljerte rettelse motsatt. I Frankrike og for matematikk var det verk av Pierre Louquet på ungdomsskolen. I den engelskspråklige verdenen og i et bredt spekter av disipliner forfølger serien av Schaums Outlines (in) dette målet.
I dag tillater mange studier oss å forstå hvilke faktorer som har innflytelse på undervisningen i matematikk. Studier i industriland har vist at barn av mer utdannede foreldre tar mer videregående matematikk og naturfag og gjør det bedre. Andre studier som sammenligner flere påvirkninger på barns matteprestasjoner, har funnet at mødres utdanningsnivå har størst effekt. Høyere sosioøkonomisk status har vist seg å være assosiert med høyere mattepoeng for både gutter og jenter. PISA 2015-studien fant at en økning av en enhet i PISA-indeksen for økonomisk, sosial og kulturell status resulterte i en økning på 38 poeng i naturfag og 37 poeng i matematikk. Denne økningen kan ha sammenheng med at foreldre gir mer støtte til læring på skolen og hjemme, med høyere faglige forventninger, og mindre tradisjonell tro på kjønnsroller og holdninger. Karriereveier i disse sammenhengene. Barnas interesse for STEM og deres suksess i STEM kan også forbedres ved at foreldre ordner med å gi pedagogisk støtte, inkludert privat veiledning.
Matematisk forskning er ikke begrenset til bevis på teoremer . En av de mest vellykkede metodene for matematisk forskning er å bringe sammen domener som er på forhånd fjernt ved å bringe frem analoge fenomener (for eksempel euklidisk geometri og lineære differensiallikninger ). Identifiseringen av analoge fenomener kan føre til at man ønsker å tilpasse resultatene fra ett felt i matematikk til et annet, å omformulere beviselementer i ekvivalente termer, forsøke å aksiomatisere et objekt (for eksempel kan det være begrepet vektorrom ) som ville omgruppere de to domenene ... I sistnevnte tilfelle vil dette nye objektet bli et objekt for studier av seg selv. I noen tilfeller blir identifisering av tilsynelatende forskjellige objekter nødvendig: språket i kategorier gjør det mulig å gjøre denne typen ting.
En annen forskningsmetode er sammenligningen med eksempler og spesielle tilfeller. Denne konfrontasjonen kan gjøre det mulig å tilbakevise egenskaper som man trodde eller håpet å være sanne ( formodninger ). Tvert imot, det kan gjøre det mulig å verifisere egenskaper eller å formalisere dem. For eksempel, i Riemannian-geometri , førte studien av overflater (derfor objekter i dimensjon 2 ) og deres geodesikk til slutt Anosov til å formalisere Anosov diffeomorfisme , en transformasjon med interessante dynamiske egenskaper.
Matematikk bruker et eget språk. Visse termer i hverdagsspråk, som gruppe , ring , felt eller variasjon, kan lånes og omdefineres for å betegne matematiske objekter. Men ofte blir begreper dannet og introdusert etter behov: isomorfisme , topologi , iterasjon ... Det store antallet av disse begrepene gjør det vanskelig for ikke-matematikere å forstå matematikk.
Matematisk språk er også basert på bruk av formler. De inkluderer symboler , noen relatert til proposisjonskalkulus som den binære implikasjonskontakten eller den unære koblingen av negasjon , andre relatert til beregningen av predikater , som den universelle kvantifisereren eller den eksistensielle kvantifisereren . De fleste av notasjon som brukes i XXI th århundre ble innført etter XVII th eneste århundre.
Det er et matematisk språk som beskriver matematikk. I denne forstand sier vi at det handler om en metallspråk : det handler om matematisk logikk .
Matematikk har et spesielt forhold til alle vitenskaper , i bred forstand av begrepet. Dataanalyse (grafisk tolkning, statistiske data, etc.) krever en rekke matematiske ferdigheter. Men avanserte matematiske verktøy er involvert i modelleringen .
Alle de såkalte harde vitenskapene , med unntak av matematikk, har en tendens til forståelse av den virkelige verden. Denne forståelsen krever etablering av en modell, med tanke på et visst antall parametere som anses som årsaker til et fenomen. Denne modellen utgjør et matematisk objekt, hvis undersøkelse gir bedre forståelse av det studerte fenomenet, muligens en kvalitativ eller kvantitativ prediksjon om dens fremtidige utvikling.
Modellering krever ferdigheter som hovedsakelig er relatert til analyse og sannsynlighet, men algebraiske eller geometriske metoder er nyttige.
Matematikk oppsto fra et ønske om å forstå det omkringliggende rommet: geometri oppstår fra modellering av idealiserte former, og aritmetikk fra behovene til mengdestyring. Astronomi og geometri har lenge vært forvirret, selv i islamske sivilisasjoner. Etter å ha blitt differensiert har matematikk og fysikk holdt nære koblinger. I samtidshistorien til disse to vitenskapene har matematikk og fysikk påvirket hverandre. Moderne fysikk bruker omfattende matematikk og gjør systematisk modellering for å forstå resultatene av eksperimentene:
Et bestemt forskningsfelt, matematisk fysikk , har en tendens til å utvikle de matematiske metodene som brukes til bruk av fysikk.
Den nære forbindelsen mellom matematikk og fysikk gjenspeiles i høyere utdanning i matematikk. Undervisning i fysikk innebærer matematikkurs for fysikere; og det er ikke uvanlig at matematikkurs på universitetene inkluderer en valgfri introduksjon til fysikk.
Likevel er Albert Einstein en av de første som relativiserer matematikkfeltet ved å huske at fysikk bruker flere former, i henhold til dens behov, og ikke bare en. Hans teori om generell relativitet bruker for eksempel en ikke-euklidisk geometri formalisert av Minkowski . Han vil uttale: “Når det gjelder virkeligheten, er den euklidiske geometrien ikke nøyaktig. Som nøyaktig forholder det seg ikke til virkeligheten ”(Berlin-konferansen i 1921, geometri og erfaring ).
Utviklingen av teknikker XX th tallet banet vei for en ny vitenskap, den datamaskinen . Dette er nært knyttet til matematikk, på forskjellige måter: visse forskningsområder innen teoretisk informatikk kan betraktes som i hovedsak matematiske, andre grener av informatikk bruker mer matematikk. Ny kommunikasjonsteknologi har banet vei for applikasjoner til noen ganger veldig gamle grener av matematikk ( aritmetikk ), spesielt med hensyn til overføringssikkerhetsproblemer: kryptografi og kodeteori .
På den annen side påvirker informatikk den moderne utviklingen av matematikk.
Den diskrete matematikken er et nåværende forskningsfelt i matematikk for å utvikle metodene som brukes i informatikk, inkludert kompleksitetsteori , teori om informasjon , grafteori ... Blant de åpne problemene er blant annet den berømte P = NP i kompleksitetsteori, som er et av de syv tusenårsprisproblemene . Dette vil skje for å avgjøre om P og NP er forskjellige eller like vil motta $ 1 000 000 USD .
Informatikk har også blitt et viktig verktøy for å oppnå nye resultater (et sett med teknikker kjent som eksperimentell matematikk ) og til og med for å bevise visse teoremer. Det mest berømte eksemplet er Four Color Theorem , demonstrert i 1976 ved hjelp av en datamaskin, fordi noen av de nødvendige beregningene er for kompliserte til å gjøres for hånd. Denne utviklingen forstyrrer tradisjonell matematikk, der regelen var at matematikeren selv kunne verifisere hver del av beviset. I 1998 ser det ut til at Keplers antagelser også har vært delvis dataprøvd, og et internasjonalt team har siden arbeidet med å skrive et formelt bevis, som ble fullført (og verifisert) i 2015.
Faktisk, hvis beviset er skrevet på en formell måte, blir det mulig å verifisere det ved hjelp av spesiell programvare, kalt en bevisassistent . Dette er den beste teknikken som er kjent for å være (nesten) sikker på at en datamaskinstøttet demonstrasjon er feilfri . I løpet av rundt tretti år ble forholdet mellom matematikere og informatikk derfor fullstendig omvendt: først et mistenkt instrument som om mulig skulle unngås i matematisk aktivitet, har datamaskinen tvert imot blitt et viktig verktøy.
Den biologi er en stor forbruker av matematikk, inkludert sannsynlighet. Dynamikken til en populasjon modelleres ofte av Markov-kjeder (teori om diskrete prosesser) eller av koblede differensiallikninger . Det samme gjelder evolusjonen av genotyper: Hardy-Weinberg-prinsippet , ofte nevnt i genetikk, er knyttet til generelle egenskaper på diskrete tidsprosesser (eksistensen av grenselover). Mer generelt bruker fylogeografi sannsynlighetsmodeller. I tillegg bruker medisin (statistiske) tester for å forstå gyldigheten av en bestemt behandling. Et bestemt forskningsfelt ved biologiens grense ble født: biomatematikk .
Siden begynnelsen av den XXI th århundre, organisk kjemi har brukt datamaskiner for å modellere molekyler i tre dimensjoner: det viser seg at som et makromolekyl biologi er variabel og bestemmer dens virkning. Denne modelliseringen krever euklidisk geometri ; atomene danner en slags polyhedron hvis avstander og vinkler er faste av interaksjonens lover.
De strukturgeologi og klimamodeller er avhengige av å kombinere sannsynlighets og analytiske metoder for å forutsi risikoen for naturkatastrofer. Kompleksiteten til modellene er slik at en forskningsgren ble født ved grensen til matematikk og geofysikk , nemlig matematisk geofysikk . Likeledes er meteorologi , oceanografi og planetologi store forbrukere av matematikk fordi de trenger modellering.
Forholdet mellom matematikk og humaniora skapes først og fremst gjennom statistikk og sannsynligheter , men også gjennom differensialligninger , stokastiske eller ikke, brukt i sosiologi , psykologi , økonomi , økonomi , virksomhetsledelse , lingvistikk, etc.
Den logikken er siden antikken en av de tre viktigste disiplinene filosofi , etikk og fysikk. Filosofer som Pythagoras og Thales of Miletus formaliserte de berømte geometriske setningene som bærer navnet deres. "At ingen kommer inn her hvis han ikke er en landmåler", ble gravert på portalen av Academy of Platon , for hvem matematikk er en mellommann for å få tilgang til en verden av ideer .
Spesielt er finansmatematikk en gren av anvendt matematikk som tar sikte på å forstå utviklingen i finansmarkedene og estimere risiko. Denne grenen av matematikk utvikler seg på grensen for sannsynlighet og analyse og bruker statistikk.
Mye mer subtil er tilfellet matematisk økonomi . Det grunnleggende postulatet i denne disiplinen er at økonomisk aktivitet kan forstås ut fra et aksiom av antropologisk art , det for den rasjonelle individuelle aktøren. I denne visjonen søker hver enkelt ved sine handlinger å øke en viss fortjeneste , og dette på en rasjonell måte . Denne typen atomistsyn på økonomien gjør det mulig å matematisere tenkningen relativt enkelt, siden individuell beregning blir overført til matematisk beregning. Denne matematiske modelleringen i økonomi gjør det mulig å avdekke økonomiske mekanismer som bare kunne blitt oppdaget med store vanskeligheter ved en "litterær" analyse. For eksempel er forklaringer på konjunkturer ikke trivielle. Uten matematisk modellering er det vanskelig å gå utover enkle statistiske funn eller uprøvde spekulasjoner. Imidlertid avviser visse sosiologer, som Bourdieu , og til og med visse økonomer, dette postulatet av homo œconomicus , og bemerker at motivasjonen til enkeltpersoner ikke bare inkluderer donasjonen , men også avhenger av andre spørsmål hvis økonomiske interesse ikke er en del, eller ganske rett og slett ikke er rasjonelle. Den matematisering er derfor, i henhold til dem, et dekke for en vitenskapelig utnyttelse av materialer.
Vi er også vitne til begynnelsen av XX th århundre , en refleksjon å sette de historiske bevegelser i formel, som gjør Nikolai Kondratiev , som aner en syklus grunnlag for å forklare bommer og politisk økonomi i krise, eller Nicolas- Remi Brück og Charles Henri Lagrange som fra slutten av XIX E århundre forsterket sin analyse til de trengte inn i feltet geopolitikk , ved å ønske å etablere eksistensen, i historien, av bevegelser med stor amplitude som leder folk på sitt høydepunkt, deretter ved deres forfall.
En matematisering av humanvitenskapen er imidlertid ikke uten fare. I de kontroversielle essay bedrag intellectuelles , Sokal og Bricmont fordømmer forholdet, ubegrunnet eller støtende, vitenskapelig terminologi, spesielt matematikk og fysikk, i den menneskelige vitenskaper. Studiet av komplekse systemer (utvikling av arbeidsledighet, kapital i et selskap, demografisk utvikling av en befolkning, etc.) krever elementær matematisk kunnskap, men valget av tellekriterier, spesielt når det gjelder arbeidsledighet, eller modellering kan være kontroversielt.
Økologi bruker også et stort antall modeller for å simulere populasjonsdynamikk , studere økosystemer som byttedyrmodellen, måle spredning av forurensning eller vurdere klimaendringer som følge av oppvarming. Disse verktøyene gjør det mulig å kommunisere på krypterte data, for muligens å kritisere dem eller sammenligne dem med hverandre. Problemet oppstår da med å validere disse modellene, spesielt i tilfelle hvor resultatene kan påvirke politiske avgjørelser og der eksistensen av motstridende modeller gjør det mulig for stater å velge de mest gunstige for deres beslutning.
Matematikk har lenge hatt veldig tette bånd til astrologi . Dette, gjennom stjernekart, fungerte som motivasjon i studiet av astronomi. Kjente matematikere ble også ansett som store astrologer. Vi kan sitere Ptolemaios , de arabisktalende astronomene, Regiomontanus , Cardan , Kepler eller John Dee . I middelalderen ble astrologi ansett som en vitenskap som faller innenfor matematikk. Således indikerer Theodor Zwingler i sin store leksikon om astrologi, at det er en matematisk vitenskap som handler om "kroppens aktive bevegelse i den grad de virker på andre kropper" og forbeholder seg matematikken omsorg for å "beregne med sannsynlighet påvirkningene [ av stjernene] ” ved å forutse deres “ konjunkturer og opposisjoner ” . De vestlige astrologiske teoriene kan skryte av følge vitenskapelige metoder. Spesielt bruker statistisk astrologi statistiske tester for å markere mulige sammenhenger mellom stjernenes posisjon og skjebnen til menn. Imidlertid har disse studiene initiert av Choisnard og Gauquelin , utført i utkanten av vitenskapelig forskning, fra 2009 ikke vært produktive og har ikke gitt noe tillatt bevis på årsak og virkning.
Matematikk er også en komponent i esoterisme . Svært ofte har matematikere selv blitt fristet til å finne i figuren eller tallet en skjult betydning som fungerer som en nøkkel til oppdagelsen av verden. I Pythagoras-skolen har hvert tall en symbolsk betydning, og de innviedes ed ville ha blitt uttrykt foran et tretraktys . På samme måte er Platon ikke fornøyd med å oppregne de faste stoffene som bærer navnet hans, han tillegger hver av dem en natur (vann, jord, ild, luft, univers). Aritmosofi, numerologi , gematria , aritmancy prøver, gjennom beregninger på tall, å finne betydninger skjult i tekster eller å hente prediktive egenskaper fra dem. Vi finner denne fascinasjonen for tallet og figuren selv i våre dager der noen tillegger skjulte dyder til et pentakel eller et gyldent tall .
I XXI th århundre, disse disiplinene er ikke lenger ansett som vitenskap.
Notatene som høres bra ut sammen til et vestlig øre er lyder som grunnleggende vibrerende frekvenser er i enkle forhold. For eksempel er oktaven en dobling av frekvensen, den femte en multiplikasjon med 3 ⁄ 2 .
Denne sammenhengen mellom frekvenser og harmoni er spesielt beskrevet i avhandlingen om harmoni redusert til sine naturlige prinsipper av Jean-Philippe Rameau , fransk barokkomponist og musikkteoretiker. Den er delvis basert på analysen av harmoniske ( bemerket 2 til 15 i den følgende figuren) av en lav C grunnleggende lyd ( bemerket 1 ), de første harmoniske og oktavene deres høres godt ut mellom dem.
Hvis kurven tegnet i rødt, som følger de harmoniske tonene, har et logaritmisk utseende , tilsvarer dette forholdet mellom to fenomener:
Vestlige forbinder en viss skjønnhet med symmetriske figurer. En symmetri av en geometrisk figur er intuitivt eksistensen av et mønster av figuren som gjentar seg etter en presis regel, mens den delvis blir transformert. Matematisk er en symmetri eksistensen av en ikke-triviell handling av en gruppe , veldig ofte ved isometri , det vil si som bevarer avstandene på figuren. Med andre ord realiseres intuisjonen til regelen matematisk av det faktum at det er en gruppe som virker på figuren, og følelsen av at en regel styrer symmetrien skyldes nettopp den algebraiske strukturen til denne gruppen.
For eksempel er gruppen relatert til speilsymmetri den to-elementers sykliske gruppen , ℤ / 2ℤ. En Rorschach-test er en figur invariant av denne symmetrien, som en sommerfugl og mer generelt dyrenes kropp, i det minste på overflaten. Når vi tegner havoverflaten, har alle bølgene en symmetri ved oversettelse: å flytte blikket lengden som skiller mellom to bølger, endrer ikke utsikten vi har av havet. Symmetri, denne gangen ikke isometrisk og nesten alltid bare omtrentlig , er det som presenteres av fraktaler : et visst mønster gjentas i alle synsskalaer.
Den Målet for utbredelsen av matematikk er til stede matematikk i et språk uten tekniske begreper. Ettersom objektet for matematikkstudier ikke har noen fysisk virkelighet, bruker popularisering ofte et billedlig vokabular, og ikke-strenge sammenligninger eller analogier, for å formidle ideen om matematisk utvikling. Blant verkene som setter dette målet er Oh, matematikken til Yakov Perelman og The book that makes you gal av Raymond Smullyan . Imidlertid er matematikk sjelden populært i trykte aviser eller TV-aviser.
Hvis en rekke biografier forholder seg til matematikere, er matematikk absolutt et emne som lite utnyttes i litteratur eller filmografi, men er til stede.
Romaner