Langevins ligning

Den Langevin ligning (1908) er en ligning stokastisk for Brownske bevegelser .

${\ displaystyle \ underbrace {m {\ frac {d ^ {2} x (t)} {d ^ {2} t}}} _ {\ text {inertial force}} = \ underbrace {-6 \ pi \ eta R {\ frac {dx (t)} {dt}}} _ {\ text {Stokes force}} + \ underbrace {- {\ frac {F} {L}} x (t)} _ {\ text {ekstern force}} + \ understøtte {f_ {a} (t)} _ {\ text {random force}}}$

Langevin teori om brunian bevegelse

I Langevin sin teoretiske tilnærming , en stor Brownske partikkel av massen m , som antas å bli animert ved tidspunktet t med en hastighet , underkastes to svært forskjellige krefter: ${\ displaystyle {\ vec {v}} (t)}$

en flytende friksjonskraft av typen , der k er en positiv konstant. Når det gjelder en sfærisk partikkel med radius a , skrives denne konstanten eksplisitt: (Stokes lov). ${\ displaystyle {\ vec {f}} \, = \, - \, k \, {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle k = 6 \ pi \ eta a}$
en komplementær kraft, bemerket , som syntetiserer resultatet av tilfeldige støt i de omkringliggende væskemolekylene. Langevin skriver om denne tilleggskraften at " den er positiv og negativ likegyldig, og dens størrelse er slik at den opprettholder agitasjonen av partikkelen at uten den ville den viskøse motstanden til slutt stoppe ." Kalt XXI th århundre slik kraft en hvit støy Gaussian. ${\ displaystyle {\ vec {\ eta}} (t)}$

Langevins ligning

Vi bruker det grunnleggende prinsippet i Newtons dynamikk, som fører til Langevins stokastiske ligning:

${\ displaystyle m \, {\ frac {d {\ vec {v}} (t)} {dt}} \ = \ - \, k \, {\ vec {v}} (t) \ + \ {\ vec {\ eta}} (t)}$

Langevins løsning (1908)

Omskriver Langevin-ligningen

La oss ta prikkproduktet av denne ligningen med posisjonsvektoren (utelate tidsavhengigheten for å forenkle notasjonene): ${\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}$

${\ displaystyle m \ {\ vec {r}} \ cdot {\ frac {d ^ {2} {\ vec {r}}} {dt ^ {2}}} \ = \ - \, k \ {\ vec {r}} \ cdot {\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}} \ + \ {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {\ eta}}}$

La oss da merke på den ene siden at:

${\ displaystyle {\ frac {d || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt}} \ = \ {\ frac {d ({\ vec {r}} \ cdot {\ vec { r}})} {dt}} \ = \ 2 \ {\ vec {r}} \ cdot {\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}}}$

${\ displaystyle \ Longrightarrow \ quad {\ vec {r}} \ cdot {\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}} \ = \ {\ frac {1} {2}} \ {\ frac {d || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt}}}$

og på den annen side at:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt ^ {2}}} \ = \ {\ frac {d ~} {dt}} \ \ left [{\ frac {d || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt}} \ right] \ = \ {\ frac {d ~} {dt}} \ \ left [ \, 2 \ {\ vec {r}} \ cdot {\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}} \, \ right] \ = \ 2 \, || {\ vec {v}} || ^ {2} \ + \ 2 \ {\ vec {r}} \ cdot {\ frac {d ^ {2} {\ vec {r}}} {dt ^ {2}}}}$

${\ displaystyle \ Longrightarrow \ quad {\ vec {r}} \ cdot {\ frac {d ^ {2} {\ vec {r}}} {dt ^ {2}}} \ = \ {\ frac {1} {2}} \ {\ frac {d ^ {2} || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt ^ {2}}} \ - \ || {\ vec {v}} || ^ {2}}$

Ved å erstatte disse uttrykkene i prikkproduktet hentet fra Langevin-ligningen, får vi en ny form for differensiallikningen:

${\ displaystyle m \ {\ frac {d ^ {2} || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt ^ {2}}} \ = \ - \, k \ {\ frac { d || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt}} \ + \ 2 \, m \ || {\ vec {v}} || ^ {2} \ + \ 2 \, {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {\ eta}}}$

Gjennomsnitt over gaussisk hvit støy

Vi tar deretter gjennomsnittet av forrige ligning over alle mulige realiseringer av Gaussisk hvit støy. Han kommer :

{\ displaystyle m \ \ left \ langle \ {\ frac {d ^ {2} || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt ^ {2}}} \ \ right \ rangle \ = \ - \, k \ \ left \ langle \ {\ frac {d || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt}} \ \ right \ rangle \ + \ 2 \, m \ \ venstre \ langle \ || {\ vec {v}} || ^ {2} \ \ høyre \ rangle \ + \ 2 \, \ venstre \ langle \ {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {\ eta }} \ \ right \ rangle}

Vi antar med Langevin at gjennomsnittsverdien av støybegrepet er null:

{\ displaystyle \ left \ langle \ {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {\ eta}} \ \ right \ rangle \ = \ 0}

I tillegg bytter støymedieringsprosessen med tidsderivatet:

{\ displaystyle \ left \ langle \ {\ frac {d || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt}} \ \ right \ rangle \ = \ {\ frac {d ~} {dt }} \ \ left \ langle \ || {\ vec {r}} || ^ {2} \ \ right \ rangle \ quad \ mathrm {and} \ quad \ left \ langle \ {\ frac {d ^ {2 } || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt ^ {2}}} \ \ right \ rangle \ = \ {\ frac {d ^ {2} ~} {dt ^ {2} }} \ \ left \ langle \ || {\ vec {r}} || ^ {2} \ \ right \ rangle}

som fører til differensiallikningen for midlene:

{\ displaystyle m \ {\ frac {d ^ {2} ~} {dt ^ {2}}} \ \ left \ langle \ || {\ vec {r}} || ^ {2} \ \ right \ rangle \ = \ - \, k \ {\ frac {d ~} {dt}} \ \ left \ langle \ || {\ vec {r}} || ^ {2} \ \ right \ rangle \ + \ 2 \ , m \ \ left \ langle \ || {\ vec {v}} || ^ {2} \ \ right \ rangle}

Vi spør da:

{\ displaystyle u (t) \ = \ {\ frac {1} {2}} \ {\ frac {d ~} {dt}} \ \ left \ langle \ || {\ vec {r}} (t) || ^ {2} \ \ right \ rangle}

slik at differensiallikningen kan skrives om i den enkle formen:

{\ displaystyle m \ {\ frac {du (t)} {dt}} \ = \ - \, k \ u (t) \ + \ m \ \ left \ langle \ || {\ vec {v}} | | ^ {2} \ \ right \ rangle}

Energiutveksling

Dette gir et estimat av den siste termen av rms-hastighet ved bruk av ekvipartisjonssatsen til energi fra klassisk statistisk fysikk . For bevegelsen til en partikkel i et d- dimensjonalt rom får vi:

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ m \ \ langle \ || {\ vec {v}} || ^ {2} \ \ rangle \ = \ {\ frac {d} {2}} \ k_ {B} \ T}$

hvor er Boltzmann-konstanten, og den absolutte temperaturen i kelvin . Den gjennomsnittlige termiske energien per partikkel kan skrives om: $k_ {B}$ $T$ $k_ {B} T$

${\ displaystyle k_ {B} \ T \ = \ {\ frac {R \, T} {{\ mathcal {N}} _ {A}}}}$

hvor er den ideelle gasskonstanten, og Avogadro-tallet. Differensiallikningen blir derfor endelig satt i form: $R$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {A}}$

${\ displaystyle m \ {\ frac {du (t)} {dt}} \ + \ k \ u (t) \ = \ {\ frac {d \, RT} {{\ mathcal {N}} _ {A }}}}$

Denne første ordens lineære differensialligning med konstante koeffisienter med andre medlem innrømmer den nøyaktige løsningen:

${\ displaystyle u (t) \ = \ {\ frac {d \, RT} {k \, {\ mathcal {N}} _ {A}}} \ + \ \ lambda \ \ mathrm {e} ^ {- \, t / \ tau}}$

hvor er en konstant, og den karakteristiske avslapningstiden, som er lik: $\ lambda$ $\ tau$

${\ displaystyle \ tau \ = \ {\ frac {m} {k}} \ = \ {\ frac {m} {6 \ pi \ eta a}} \ \ simeq}$ 10 -8 sekunder

under betingelsene for vanlige eksperimentelle observasjoner av bruniansk bevegelse.

Einstein diffusjonskoeffisient

Under de vanlige eksperimentelle forholdene er vi alltid i regimet der:, og vi observerer deretter: $t \ gg \ tau$

${\ displaystyle u (t) \ \ sim \ {\ frac {d \, RT} {k \, {\ mathcal {N}} _ {A}}} \ = \ {\ frac {d \, RT} { 6 \ pi \ eta a \, {\ mathcal {N}} _ {A}}}$

Med tanke på definisjonen av har vi: $u (t)$

${\ displaystyle u (t) \ = \ {\ frac {1} {2}} \ {\ frac {d ~} {dt}} \ \ langle \ || {\ vec {r}} (t) || ^ {2} \ \ rangle \ \ sim \ {\ frac {d \, RT} {6 \ pi \ eta a \, {\ mathcal {N}} _ {A}}}}$

som ved integrering med hensyn til tid t gir den klassiske diffusjonsloven:

${\ displaystyle \ langle \ || {\ vec {r}} (t) || ^ {2} \ \ rangle \ \ sim \ {\ frac {2d \, RT} {6 \ pi \ eta a \, { \ mathcal {N}} _ {A}}} \ t \ = \ 2d \ D \ t}$

der diffusjonskoeffisienten er skrevet eksplisitt: $D$

${\ displaystyle D \ = \ {\ frac {RT} {6 \ pi \ eta a \, {\ mathcal {N}} _ {A}}}}$

Vi finner resultatet av Einstein (1905).

Moderne løsning

Kobling til distribusjonen av Boltzmann

Et interessant element i Langevin-ligningen er at det gjør det mulig å lage koblingen mellom den termiske støyen til en partikkel som er dempet i et potensial og Boltzmann-statistikken .

Demonstrasjon

La oss ta det enkle tilfellet av en partikkel som beveger seg i en dimensjon med banen i potensialet . Bevegelsen styres deretter av Langevin-ligningen: $x (t)$ $V (x)$

{\ displaystyle \ gamma {\ frac {dx} {dt}} = - {\ frac {\ partial V (x)} {\ partial x}} + \ zeta (t),}

hvor er en termisk hvit støy preget av og er dempekonstanten. Vi ønsker å bestemme fordelingen av partikkelens posisjon for det stasjonære regimet der det er sannsynlighet for å finne partikkelen i tide . For å oppnå denne fordeling, innfører vi enhver testfunksjon , og vi interesse til gjennomsnittet av denne funksjon på den annen utførelsesform av banen i den stabile tilstand, det vil si, den endelige verdi av: . ${\ displaystyle \ zeta (t)}$ ${\ displaystyle \ langle \ zeta (t) \ zeta (t ') \ rangle = 2 \ gamma kT \ delta (t-t')}$ $\ gamma$ ${\ displaystyle p (x) = \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} p (x, t)}$ ${\ displaystyle p (x, t)}$ $x$ $t$ $f (x)$ ${\ displaystyle \ langle f (x) \ rangle (t) = \ int f (x) p (x, t) \, \ mathrm {d} x}$

Ved å drive med hensyn til tiden får vi:

{\ displaystyle {\ frac {d \ langle f (x (t)) \ rangle} {dt}} = \ left \ langle {\ frac {dx} {dt}} f '(x (t)) \ right \ rangle = \ left \ langle - {\ frac {1} {\ gamma}} {\ frac {\ partial V} {\ partial x}} f '(x (t)) \ right \ rangle + \ left \ langle { \ frac {1} {\ gamma}} \ zeta (t) f '(x (t)) \ høyre \ rangle.}

Tydeligvis er tidsderivatet i det stasjonære regimet null. I tillegg kan vi bruke Stratonovitchs regel for å fjerne avhengigheten i siste periode. Vi får dermed: $\ zeta$

{\ displaystyle - {\ frac {1} {\ gamma}} \ left \ langle {\ frac {\ partial V} {\ partial x}} f '(x) \ right \ rangle + {\ frac {kT} { \ gamma}} \ langle f '' (x) \ rangle = 0,}

Vi bruker deretter definisjonen av gjennomsnittet på de forskjellige realiseringene for å avsløre fordelingen som interesserer oss $p (x)$

{\ displaystyle \ int \ left (- {\ frac {\ partial V} {\ partial x}} f '(x) p (x) + {kT} f' '(x) p (x) \ right) \ mathrm {d} x = \ int \ left (- {\ frac {\ partial V} {\ partial x}} f '(x) p (x) + {kT} f' (x) p '(x) \ høyre) \ mathrm {d} x = 0,}

der vi brukte integrering av deler . Siden denne formelen gjelder for alle, må vi ha: $f$

{\ displaystyle - {\ frac {\ partial V} {\ partial x}} p (x) + {kT} p '(x) = 0.}

Dette gjør at vi kan finne Boltzmann-distribusjonen: ${\ displaystyle p (x) \ propto \ exp {\ frac {V (x)} {kT}}.}$

Relaterte artikler

Bibliografi

Paul Langevin; På teorien om brunian bevegelse , Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences 146 (1908), 530-532. Les online på Gallica .
Bertrand Duplantier; Brownian motion , (2005), i: Poincaré Einstein Seminar , 1905-2005 , (Paris,8. april 2005). Les online .

Merknader og referanser

I moderne termer er Gaussisk hvit støy en stokastisk prosess med null gjennomsnitt: ${\ displaystyle \ langle \, {\ vec {\ eta}} (t) \, \ rangle \ = \ {\ vec {0}}}$ og helt avkorrelert over tid; dets to-punkts korrelasjonsfunksjon er virkelig verdt: ${\ displaystyle \ langle \, \ eta _ {i} (t_ {1}) \ \ eta _ {j} (t_ {2}) \, \ rangle \ = \ \ Gamma \ \ delta _ {ij} \ \ delta (t_ {1} -t_ {2})}$ I denne formel er en positiv konstant, den Kronecker-symbolet , og den Dirac-fordelingen , som er identisk lik null når I disse to formler, er den gjennomsnittlige tatt over alle mulige realiseringer av gaussisk hvit støy . $\ Gamma$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ delta (t)}$ ${\ displaystyle t_ {1} \ neq t_ {2}}$
Langevin skriver:
“Den gjennomsnittlige verdien av begrepet er åpenbart null på grunn av uregelmessighetene i komplementære handlinger . " ${\ displaystyle {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {\ eta}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ eta}}}$

Det er faktisk ikke så opplagt; les for eksempel artikkelen av Bertrand Duplantier, side 176, note 52. Denne forfatteren gir litt senere i samme artikkel den moderne avledningen av løsningen av den stokastiske ligningen til Langevin (avsnitt 1.5.3, s. 177).
Energien equipartition teorem for klassisk statistisk mekanikk sier at den midlere verdi av energien forbundet med en kvadratisk frihetsgrad av et mekanisk system i termisk likevekt med en termostat ved en temperatur som er lik . For en punktpartikkel som ikke utsettes for noen kraft i et d- dimensjonalt rom , er det nøyaktig d kvadratiske frihetsgrader , som tilsvarer d bidragene til kinetisk energi: derav resultatet brukt her. $T$ ${\ displaystyle k_ {B} T / 2}$ ${\ displaystyle mv_ {1} ^ {2} / 2, \, mv_ {2} ^ {2} / 2, \, \ dots, mv_ {d} ^ {2} / 2}$