Kronecker-symbol

I matematikk er Kronecker-deltaet en funksjon av to variabler som er lik 1 hvis de er like, og 0 ellers. Det er symbolisert med bokstaven δ ( små bokstaver delta ) i det greske alfabetet .

\ delta _ {{ij}} = \ delta _ {i} ^ {j} = \ delta ^ {{ij}} = {\ begin {cases} 1 og {\ mbox {si}} i = j \\ 0 & {\ mbox {si}} i \ neq j \ end {cases}}

eller, i tensjonsnotasjon :

\ delta _ {i} ^ {j} = \ delta _ {i} \ cdot \ delta ^ {j}

hvor $δ i$ og $δ j$ er enhetsvektorer slik at bare $i$ -th (henholdsvis $j-$ th) -koordinaten er ikke-null (og derfor er verdt 1).

Når en av variablene er lik 0, blir den vanligvis utelatt, derav:

\ delta _ {i} = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {si}} i = 0 \\ 0 & {\ mbox {si}} i \ neq 0 \ end {cases}}

Historie

Det samme navnet på Kronecker er matematikeren Leopold Kronecker (1823-1891) som introduserte den i 1866.

Eksempler

Kronecker Delta brukes i mange områder av matematikken. For eksempel :

i lineær algebra kan identitetsmatrisen til ordre 3 skrives: $(\ delta _ {{ij}}) _ {{(i, j) \ in \ {1,2,3 \} ^ {2}}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}$ ;
under summasjoner fører Kronecker-deltaet til forenklinger: ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ delta _ {k, i} = \ left \ {{\ begin {array} {cl} a_ {i} & {\ textrm { si}} \ quad 1 \ leq i \ leq n \\ 0 & {\ textrm {ellers.}} \ quad \ end {array}} \ right.}$

Merknader og referanser

Merknader

Den Kronecker-symbolet er også kjent som en kronecker-delta symbol eller kronecker-delta .

Referanser

Barrau og korn 2016 , s. 53 og 108.
Gourgoulhon 2010 , s. 10 og 22.
Heyvaerts 2012 , s. 132 og 140.
Semay og Silvestre-Brac 2016 , s. 137.
Crépieux 2019 , kap. 2 , sekte. 2 , § 2.1 , s. 34.
Penrose 2007 , kap. 12 , § 12.8 , s. 234, fig. 12.17 .
Frey 2006 , kap. 1. st. , Sek. 1.7 , § 1.7.3 , s. 8.
Penrose 2007 , s. 251.
Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv Kronecker (delta de), s. 414, kol. 2 .
Diu 2010 , 5 th del. , kap. 17 , s. 229.
Frey 2006 , kap. 1. st. , Sek. 1.7 , § 1.7.3 , s. 7-8.
Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv delta [δ], 3, s. 193, kol. 1 .
Cooke 2017 , en st del. , kap. 2 , sekte. 10 , § 10.2 , s. 108, n. 11 .
Hawkins 1977 , s. 136, n. 11 .
Kuptsov 1990 , s. 309, kol. 1 .

Se også

Bibliografi

[Cooke 2017] (en) R. Cooke , Det er på tide : elementære matematiske aspekter av relativitet , Providence, AMS , monogr. utenfor koll. ( N o 102)Feb. 2017, 1 st ed. , 1 vol. , XIX -403 s. , 18,4 × 25,4 cm ( ISBN 978-1-4704-3483-0 og 978-2-88915-009-0 , EAN 9781470434830 , OCLC 987376376 , DOI 10.1090 / mbk / 102 , SUDOC 200727192 , online presentasjon , les online ).
[Frey 2006] F. Frey , Solid mechanics , Lausanne, PPUR , koll. "Civil Agreement of the Federal Institute of Technology Lausanne / Analysis of Structural and Continuum" ( nr . 3)1990( Repr. 2006), en st ed. , 1 vol. , XII -192 s. , syk. , 19 × 24 cm ( EAN 9782880743581 , OCLC 468099866 , merknad BnF n o FRBNF36971146 , SUDOC 008236720 , online presentasjon , les online ) , kap. 1. st. , Sek. 1.7 , § 1.7.3 (“Kronecker symbol”), s. 7-8
[Hawkins 1977] (no) Th. Hawkins , “ Weierstrass and the theory of matrices ” , Arch. Hist. Nøyaktig Sci. , vol. 17, n o toJul. 1977, kunst. n o 2, s. 119-163 ( DOI 10.1007 / BF02464978 , JSTOR 41133484 ).
[Penrose 2007] R. Penrose ( oversatt fra engelsk av C. Laroche ), Discovering the Laws of the Universe: the Astonishing History of Mathematics and Physics [" The road to reality: a complete guide to the Laws of the Universe "], Paris, O. Jacob , koll. "Vitenskap",august 2007, 1 st ed. , 1 vol. , XXII -1061 s. , syk. og fig. 15,5 x 24 cm ( ISBN 978-2-7381-1840-0 , EAN 9782738118400 , OCLC 209,307,388 , varsel BNF n o FRBNF41131526 , SUDOC 118,177,311 , elektronisk presentasjon , lese på nettet ).

Populariseringsbøker

[Diu 2010] B. Diu , Matematikken til fysikeren , Paris, O. Jacob , koll. "Vitenskap",mars 2010, 1 st ed. , 1 vol. , 380 s. , syk. og fig. , 14,5 × 22 cm ( ISBN 978-2-7381-2448-7 , EAN 9782738124487 , OCLC 690805807 , merknad BnF n o FRBNF42179060 , SUDOC 143407058 , online presentasjon , les online ).
[Gourgoulhon 2010] É. Gourgoulhon , Begrenset relativitet: Fra partikler til astrofysikk , Les Ulis og Paris, EDP Sciences og CNRS , koll. "Nåværende kunnskap / fysikk",Mai 2010, 1 st ed. , 1 vol. , XXVI -776 s. , syk. , 23 cm ( ISBN 978-2-7598-0067-4 og 978-2-271-07018-0 , EAN 9782759800674 , OCLC 731,758,818 , varsel BNF n o FRBNF41411713 , SUDOC 14466514X , elektronisk presentasjon , lese på nettet ).

Ordbøker og leksika

[Kuptsov 1990] (en) LP Kuptsov , “ Kronecker symbol ” , i M. Hazewinkel ( red. ), Encyclopaedia of mathematics , t. V : I - Lituus , Dordrecht, Boston og London, Kluwer Acad. ,1990, 1 st ed. , 1 vol. , IX -534 s. , syk. , 30 cm ( ISBN 978-1-55608-004-3 og 978-94-009-5990-3 , EAN 9781556080043 , OCLC 491733136 , merknad BnF n o FRBNF37357904 , DOI 10.1007 / 978-94-009-5988-0 , SUDOC 075475111 , online presentasjon , les online ) , sv Kronecker symbol [“Kronecker symbol”], s. 309, kol. 1-2.
[Taillet, Villain and Febvre 2018] R. Taillet , L. Villain and P. Febvre , Dictionary of physics , Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup. , unntatt koll. ,Jan 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. Mai 2008), 1 vol. , X -956 s. , syk. og fig. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , SUDOC 224228161 , online presentasjon , les online ) , sv Kronecker (delta de), s. 414, kol. 2.

Manualer og kursnotater

[Barrau og Grain 2016] A. Barrau og J. Grain , generell relativitet (kurs og korrigerte øvelser), Malakoff, Dunod , koll. "Sciences Sup. ",august 2016, 2 nd ed. ( 1 st ed. august 2011), 1 vol. , VIII -231 s. , 17 x 24 cm ( ISBN 978-2-10-074737-5 , EAN 9782100747375 , OCLC 958,388,884 , varsel BNF n o FRBNF45101424 , SUDOC 195,038,134 , elektronisk presentasjon , lese på nettet ).
[Crépieux 2019] A. Crépieux , Introduksjon til kondensmateriens fysikk: elektroniske egenskaper (kurs og korrigerte øvelser), Malakoff, Dunod , koll. "Sciences Sup. ",Feb. 2019, 1 st ed. , 1 vol. , XII -276 s. , syk. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-078944-3 , EAN 9782100789443 , OCLC 1085246645 , merknad BnF n o FRBNF45664071 , SUDOC 233879323 , online presentasjon , les online ).
[Feynman 2001] R. Ph. Feynman ( overs. Av engl. Amerikansk mote. Av C. Laroche ), gravitation on Lessons [" Feynman Lectures on Gravitation "], Paris, O. Jacob , koll. "Vitenskap",Oktober 2001( repr. Feb. 2006), 1 st ed. , 1 vol. , 278 s. , syk. , 14,5 × 22 cm ( ISBN 2-7381-1038-X , EAN 9782738110381 , OCLC 50419539 , merknad BnF n o FRBNF37719654 , SUDOC 059349336 , online presentasjon , les online ).
[Heyvaerts 2012] J. Heyvaerts , Astrofysikk: stjerner, univers og relativitet (kurs og korrigerte øvelser), Paris, Dunod , koll. "Sciences Sup. ",August 2012, 2 nd ed. ( 1 st ed. Sep 2006), 1 vol. , X -384 s. , syk. og fig. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-058269-3 , EAN 9782100582693 , OCLC 816556703 , merknad BnF n o FRBNF42740481 , SUDOC 163817030 , online presentasjon , les online ).
[Semay og Silvestre-Brac 2016] C. Semay og B. Silvestre-Brac , Begrenset relativitet: baser og applikasjoner (kurs og korrigerte øvelser), Malakoff, Dunod , koll. "Sciences Sup. ",mars 2016, 3 e ed. ( 1 st ed. Okt 2005), 1 vol. , X -309 s. , syk. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-074703-0 , EAN 9782100747030 , OCLC 945975983 , merknad BnF n o FRBNF45019762 , SUDOC 192365681 , online presentasjon , les online ).

Original artikkel

(de) L. Kronecker , “ Über bilineare Formen ” , Monatsberichte der Königlichen Preussischen Akademie zu Berlin ,1867, s. 597-612.
(de) L. Kronecker , “ Ueber bilineare Formen ” , Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 68,1868, s. 273-285 ( les online ).

Relaterte artikler