Riktig ligning
I affin geometri gjør en ligning med rett linje , i vid forstand, det mulig å beskrive settet med punkter som tilhører denne rette linjen .
En linje i et affinplan av dimensjon 2 bestemmes av en kartesisk ligning ; en linje i et affinert rom med dimensjon 3, bestemmes av et system med to kartesiske ligninger som definerer to sekantplan hvor linjen er skjæringspunktet; etc.
Definisjon
Ligningen for en rett linje D er en (eller flere) ligning (e) av første grad til flere ukjente (de koordinater ), og som har sett av løsninger danner rett D .
I planen
I planet kan settet med punkter M ( x , y ) som danner D representeres med en ligning av formen:
påx+by+vs.=0{\ displaystyle ax + av + c = 0}
hvor a , b og c er konstanter slik at ( a , b ) ≠ (0, 0) . I så fall,
D={(x,y)∈R2∣påx+by+vs.=0}.{\ displaystyle D = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid ax + by + c = 0 \}.}
I rommet
I et tredimensjonalt rom i kartesiske koordinater kan vi beskrive settet med punkter M ( x , y , z ) som danner linjen D ved å:
- en parametrisk ligning;
- et system med to ligninger av ikke- parallelle plan ;
- et overflødig system med tre ligninger, tilsvarende to av dem.
Et parametrisk system
Hvis A ( x A , y A , z A ) er et punkt av linje D og en retningsvektor av D , kan denne linjen beskrives ved hjelp av følgende parametriske ligning :
u→(påbvs.){\ displaystyle {\ vec {u}} {\ begin {pmatrix} a \\ b \\ c \ end {pmatrix}}}{x=påt+xPÅy=bt+yPÅz=vs.t+zPÅt∈R{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x = ved + x_ {A} \\ y = bt + y_ {A} \\ z = ct + z_ {A} \ end {matrix}} \ høyre. \ quad t \ in \ mathbb {R}}
Et system med to ligninger
Linje D kan også beskrives av et system med to ligninger av formen:
{påx+by+vs.z+d=0på′x+b′y+vs.′z+d′=0{\ displaystyle {\ begin {cases} ax + by + cz + d = 0 \\ a'x + b'y + c'z + d '= 0 \ end {cases}}}
der a , b , c , d , a ' , b' , c ' , d' er konstanter slik at tripler ( a , b , c ) og ( a ' , b' , c ' ) er ikke- kollinære , ellers sagt ikke- proporsjonal (spesielt må ingen av de to triplettene være null).
påx+by+vs.z+d=0{\ displaystyle ax + av + cz + d = 0}og er ligningene til to ikke-parallelle plan.
på′x+b′y+vs.′z+d′=0{\ displaystyle a'x + b'y + c'z + d '= 0}
Et overflødig system med tre ligninger
I orientert euklidisk rom av dimensjon 3, tilhører et punkt M ( x , y , z ) linjen som går gjennom A ( x A , y A , z A ) og av retningsvektor (ikke null) hvis og bare hvis kryssproduktet er nullvektoren (fordi og da er kollinær, ). Mer generelt , i et hvilket som helst affinert rom av dimensjon 3, bestemmes denne linjen av systemet med tre ligninger
u→(påbvs.){\ displaystyle {\ vec {u}} {\ begin {pmatrix} a \\ b \\ c \ end {pmatrix}}} u→∧PÅM→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ land {\ overrightarrow {AM}}}PÅM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AM}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}PÅM→=ku→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AM}} = k {\ vec {u}}}
{b(z-zPÅ)-vs.(y-yPÅ)=0vs.(x-xPÅ)-på(z-zPÅ)=0på(y-yPÅ)-b(x-xPÅ)=0,{\ displaystyle {\ begin {cases} b (z-z_ {A}) - c (y-y_ {A}) = 0 \\ c (x-x_ {A}) - a (z-z_ {A} ) = 0 \\ a (y-y_ {A}) - b (x-x_ {A}) = 0, \ end {cases}}}som er overflødig fordi det tilsvarer to av dem. Faktisk, hvis for eksempel a ≠ 0 blir den første ligningen trukket fra de to andre:
(z-zPÅ=vs.på(x-xPÅ) og y-yPÅ=bpå(x-xPÅ))⇒b(z-zPÅ)-vs.(y-yPÅ)=(bvs.på-vs.bpå)(x-xPÅ)=0.{\ displaystyle \ left (z-z_ {A} = {\ frac {c} {a}} (x-x_ {A}) {\ text {et}} y-y_ {A} = {\ frac {b } {a}} (x-x_ {A}) \ høyre) \ Rightarrow b (z-z_ {A}) - c (y-y_ {A}) = \ left (b {\ frac {c} {a }} - c {\ frac {b} {a}} \ right) (x-x_ {A}) = 0.}Spesielle tilfeller
I planet har en linje parallell med x-aksen (horisontal) en ligning av formen:
y=y0{\ displaystyle y = y_ {0}}for en viss reell .y0{\ displaystyle y_ {0}}
På samme måte har en linje parallell med y-aksen (vertikal) en ligning av formen:
x=x0{\ displaystyle x = x_ {0}}for en viss reell .x0{\ displaystyle x_ {0}}
Finne en linjeligning i flyet
Ved å løse et ligningssystem
La være to ikke-sammenfallende punkter på planet, M ( u , v ) og M ' ( u' , v ' ) .
Hvis linjen som går gjennom disse to punktene ikke er vertikal ( ), er ligningen .
u≠u′{\ displaystyle u \ not = u '}y=påx+b{\ displaystyle y = ax + b}
For å finne ligningen må vi løse systemet:
{v=påu+bv′=påu′+b{\ displaystyle {\ begin {cases} v = au + b \\ v '= au' + b \ end {cases}}}
Vi har (direktørkoeffisient).
på=v′-vu′-u{\ displaystyle a = {\ cfrac {v'-v} {u'-u}}}
For å finne konstanten b (y-skjæringspunkt) er det tilstrekkelig å erstatte variablene henholdsvis x og y med u og v (eller u ' og v' ).
Det har vi da .
v=påu+b⇔b=v-påu{\ displaystyle v = au + b \, \ Leftrightarrow \, b = v-au}
Fra hvor vi ved å erstatte i ligningen til høyre: (faktorisering)
y=påx+v-påu⇔y=på(x-u)+v{\ displaystyle y = ax + v-au \ Leftrightarrow y = a (xu) + v}
Ved å erstatte a med verdien (regissørkoeffisient), er ligningen på linjen endelig(MM′):y=v′-vu′-u(x-u)+v{\ displaystyle \ left (MM '\ right): y = {\ cfrac {v'-v} {u'-u}} (xu) + v}
(I det spesielle tilfellet finner vi således den horisontale ligningslinjen .)
v′=v{\ displaystyle v '= v}y=v{\ displaystyle y = v}
Eller mer generelt, vi kan verifisere at ligningslinjen med
påx+by+vs.=0{\ displaystyle ax + av + c = 0}{på=v′-vb=u-u′vs.=-(bv+påu){\ displaystyle {\ begin {cases} a = v'-v \\ b = u-u '\\ c = - (bv + au) \ end {cases}}}
er en linje som går gjennom punktene og uansett koordinater.
M(u,v){\ displaystyle M \ left (u, v \ right)}M′(u′,v′){\ displaystyle M '\ left (u', v '\ right)}
Ved kollinearitet av to vektorer
I planet bestemmer to forskjellige punkter A og B en rett linje .
(PÅB){\ displaystyle \ left (AB \ right)}
M(x,y){\ displaystyle M \ left (x, y \ right)}er et punkt på denne linjen hvis og bare hvis vektorene og er kollinære (vi ville oppnå den samme sluttligningen ved å invertere rollene til A og B ).
PÅB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}PÅM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AM}}}
Vi får ligningen av linjen ved å skrive
(xB-xPÅ)(y-yPÅ)-(yB-yPÅ)(x-xPÅ)=0.{\ displaystyle \ venstre (x_ {B} -x_ {A} \ høyre) \ venstre (y-y_ {A} \ høyre) - \ venstre (y_ {B} -y_ {A} \ høyre) \ venstre (x -x_ {A} \ right) = 0.}
Til slutt er ligningen på linjen :
(PÅB){\ displaystyle \ left (AB \ right)}(yB-yPÅ)x+(xPÅ-xB)y+xByPÅ-xPÅyB=0.{\ displaystyle \ left (y_ {B} -y_ {A} \ right) x + (x_ {A} -x_ {B}) y + x_ {B} y_ {A} -x_ {A} y_ {B} = 0.}
Når ender vi med samme ligning ved å resonnere om retningskoeffisienten og ved å skrive:
xB≠xPÅ{\ displaystyle x_ {B} \ neq x_ {A}}y-yPÅ=yB-yPÅxB-xPÅ(x-xPÅ).{\ displaystyle y-y_ {A} = {\ frac {y_ {B} -y_ {A}} {x_ {B} -x_ {A}}} (x-x_ {A}).}
tilsvarende :
y=yB-yPÅxB-xPÅx+(yPÅ-yB-yPÅxB-xPÅxPÅ).{\ displaystyle y = {\ frac {y_ {B} -y_ {A}} {x_ {B} -x_ {A}}} x + \ left (y_ {A} - {\ frac {y_ {B} - y_ {A}} {x_ {B} -x_ {A}}} x_ {A} \ høyre).}
Når er linjen rett og slett ligning .
xB=xPÅ{\ displaystyle x_ {B} = x_ {A}}x=xPÅ{\ displaystyle x = x_ {A}}
Eksempel:
I flyet har linjen som går gjennom punktene, og for ligning:
PÅ(-1;4){\ displaystyle A (-1; 4)}B(1;0){\ displaystyle B (1; 0)}y-4=0-41-(-1)(x-(-1)){\ displaystyle y-4 = {\ frac {0-4} {1 - (- 1)}} (x - (- 1))}
enten etter forenkling:
2x+y-2=0.{\ displaystyle 2x + y-2 = 0.}
Ved ortogonalitet av to vektorer
La A være et punkt på det euklidiske planet og en ikke-null vektor. Linjen som går gjennom A og med normalvektor er settet med punkt M i planet, slik som:ikke→{\ displaystyle {\ vec {n}}}ikke→{\ displaystyle {\ vec {n}}}PÅM→⋅ikke→=0.{\ displaystyle {\ overrightarrow {AM}} \ cdot {\ vec {n}} = 0.}
Merknader
- En linje kan ha en uendelig mengde ligninger som representerer den.
- I flyet innrømmer rett en ligning (kalt kartesisk) av formen .påx+by+vs.=0{\ displaystyle ax + av + c = 0}
Se også
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">