Null vektor

I et vektorrom E over et kommutativt felt er nullvektoren den unike vektoren som representerer det nøytrale elementet for vektortilsetningen. Dens eksistens er gitt ved definisjonen av strukturen til vektorområdet. Det kan noteres eller eller til og med , eller bare 0. K{\ displaystyle K}0E{\ displaystyle 0_ {E} \,}0{\ displaystyle \ mathbf {0}}0→{\ displaystyle {\ vec {0}}}

Som ethvert nøytralt element er nullvektoren unik. Beviset er elementært: hvis og er to nullvektorer med samme vektorrom E , så av nullitet av og av nullitet av , derfor . på{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}på=på+b{\ displaystyle a = a + b}b{\ displaystyle b}b=på+b{\ displaystyle b = a + b}på{\ displaystyle a}på=b{\ displaystyle a = b}

Egenskaper og merknader

• Det er et resultat av multiplikasjon med den skalare enhver vektor E .0K{\ displaystyle 0_ {K} \,}
• For alle vektorrom E og F , og en hvilken som helst lineær kartlegging , nullvektoren av E blir sendt ved f på nullvektoren F  : .f:E→F{\ displaystyle f: E \ rightarrow F}f(0E)=0F{\ displaystyle f (0_ {E}) = 0_ {F}}
• Det omvendte bildet av vektors underrom av E redusert til nullvektoren av et lineært kart kalles kjernen til det lineære kartet f .f{\ displaystyle f}
• Vektorrommet redusert til nullvektoren er det unike vektorrommet som bare har ett element, nullvektoren. Det kalles nullrom .

Eksempler

• K er et kommutativt felt, og i vektorområdet er nullvektoren additiv nøytralt element av , det vil si .(K,+,⋅){\ displaystyle (K, +, \ cdot)}K{\ displaystyle K}0K{\ displaystyle 0_ {K}}
• I K - vektorrommet K n , er nullvektoren den n -tuple der er identiteten element for tilsetning av legemet K .(0,...,0){\ displaystyle (0, \ ldots, 0)}0{\ displaystyle 0}
• Dersom E er et underrom av vektoren F , nullvektoren av E er nullvektoren F .
• For ethvert sett X er nullvektoren til rommet for virkelige funksjoner over X nullfunksjonen, som til enhver tid av X assosierer 0.F(X,R){\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, R)}
• I vektorområdet til kontinuerlige funksjoner fra inn er nullvektoren nullfunksjonen.VS(R,R){\ displaystyle {\ mathcal {C}} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R})}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
• I vektorområdet til polynomer med koeffisienter i et kommutativt felt , er nullvektoren nullpolynomet.K[X]{\ displaystyle K [X]}K{\ displaystyle K}
• Når vektoren er definert fra bipoints equipollent , er nullvektoren representert ved klasse par ( A , A ) er dannet fra et enkelt punkt A .
• Det unike K -vektorområdet som bare inneholder nullvektoren, er per definisjon null mellomrom . For ethvert vektorrom E eksisterer det en unik injeksjon av nullrommet mot E , som sender 0 videre . Den dimensjon av nullrommet er 0.{0}{\ displaystyle \ {0 \}}0E{\ displaystyle 0_ {E}}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">