Integrert ligning

En integralligning er en ligning som en av de ubestemte er en integral av . De er viktige på flere fysiske områder . De Maxwells ligninger er sannsynligvis deres mest kjente representanter. De vises i problemer med strålingsenergioverføringer og problemer med svingninger av en streng, en membran eller en akse. Oscilleringsproblemer kan også løses ved hjelp av differensiallikninger .

Eksempler

Fredholms ligning av den første typen

En av de enkleste integrerte ligningene er Fredholm integralligninger av den første typen:

{\ displaystyle f (x) = \ int _ {a} ^ {b} K (x, t) \, \ phi (t) \, {\ rm {d}} t.}

Notasjonen er den av Arfken og Weber. Her er den ukjente funksjonen, f er en kjent funksjon, og K er en annen kjent to-variabel funksjon, ofte kalt kjernen til den integrerte operatoren . Integrasjonsgrensene er konstante. Dette er hovedkarakteristikken for en Fredholm-ligning. $\ phi \,$

Fredholms ligning av den andre typen

Hvis den ukjente funksjonen forekommer både innenfor og utenfor integralen, er dette Fredholm-integralligningen av den andre typen:

{\ displaystyle \ phi (x) = f (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {b} K (x, t) \, \ phi (t) \, {\ rm {d}} t. }

Parameteren λ er en ukjent faktor, som spiller samme rolle som egenverdien i lineær algebra .

Volterra ligning av første og andre type

Hvis en av integrasjonsgrensene er variabel, er det en Volterra-integralligning . Volterra-ligningene av den første og andre typen er av formen:

{\ displaystyle f (x) = \ int _ {a} ^ {x} K (x, t) \, \ phi (t) \, {\ rm {d}} t,}

{\ displaystyle \ phi (x) = f (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {x} K (x, t) \, \ phi (t) \, {\ rm {d}} t. }

Kjennetegn

Hvis den kjente funksjonen f er identisk null, kalles integralligningen da "homogen integralligning". Hvis det er forskjellig fra null, kalles det en “ikke-homogen integralligning”.

Disse ligningene er klassifisert i henhold til tre dikotomier:

Integrasjonsgrenser
- begge fikset: Fredholm ligning
- en variabel: Volterras ligning
Sted for den ukjente funksjonen
- bare inne i integralen: første type
- inne og utenfor integralet: andre type
Den kjente funksjonens art f
- identisk null: homogen
- forskjellig fra null: ikke-homogen

Referanser

George Arfken og Hans Weber, Matematiske metoder for fysikere , Harcourt / Academic Press, 2000.
Andrei D. Polyanin og Alexander V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations , CRC Press, Boca Raton, 1998. ( ISBN 0-8493-2876-4 ) .
ET Whittaker og GN Watson, A Course of Modern Analysis , Cambridge Mathematical Library ( ISBN 0-521-58807-3 ) .

Eksterne linker

(en) Integrerte ligninger: Nøyaktige løsninger hos EqWorld: The World of Mathematical Equations.
(en) Integral Equations: Index to EqWorld: The World of Mathematical Equations.
(no) Integrerte ligninger med exampleproblems.com