De Śulba-sutraer er vedlegg til Vedaene beskriver reglene for å gjøre offer altere for visse vediske ritualer . For dette formål presenterer de en rekke geometriske konstruksjoner som avslører forseggjort matematisk kunnskap, spesielt den om det vi i dag kaller Pythagoras teorem .
Śulba-Sūtras er en del av Kalpa-Sūtras, manualer viet til vediske rituelle praksis som danner en av de seks Vedangene (vedaene til Veda), og mer presist av Śrauta-Sūtras, de av de håndbøkene som omhandler offerritualer.
Śulba-Sūtras er skrevet på sanskrit . De er skrevet i korte og vanskelige å tolke setninger som kalles sutraer , som bokstavelig talt betyr "regel" eller "instruksjon". Disse sutraene er vanligvis i prosa, men noen ganger kan de være i vers.
Tittelen Śulba-Sūtras kommer fra ordet sūtra og navnet śulba gitt til strengene som brukes til å lage altere. Det betyr etymologisk "tauets regler".
Historikere identifiserer 8 eller 9 Śulba-Sūtras, tilskrevet følgende forfattere: Baudhāyana, Mānava, Āpastamba, Kātyāyana, Laugāksi, Varāha, Vādhūla, Hiranyakeśin (og Maitrāyayana). De fire første inngår avhandlinger i seg selv, mens de andre er kapitler i de tilsvarende Śrauta-sūtras.
Anslagene for dateringen av Śulba-Sūtras er usikre og er kun basert på språklige argumenter (stil og grammatikk). De ville ha blitt komponert mellom 800 og 200 f.Kr. Den eldste kunne dateres fra 800 til 500 f.Kr., mens den siste ville være etter 350 f.Kr.
Śulba-sūtras er ment for bruk av familier av brahminer som er ansvarlige fra far til sønn for de viktigste vediske offerritualene. De beskriver mursteinskonstruksjonen av altere og ildsteder for obligatoriske ritualer og ritualer utført for spesifikke formål.
Imidlertid er det ikke klart nøyaktig hvordan konstruksjonene beskrevet i Śulba-Sūtras ble laget i praksis.
De forskjellige vediske ritualene som er beskrevet i Śulba-Sūtras, og de forskjellige målene som skal oppnås med disse ritualene, er assosiert med alter i forskjellige former (for eksempel et alter i form av en falk for å nå himmelen eller et alter i form av et likebeint trekant for å utslette fiender). Formene på disse alterene må lages veldig presist og bare ved hjelp av tau og innsatser, som krever geometrisk kunnskap for å bygge dem.
Det er også veldig vanlig at altere med forskjellige former, men som har samme område, må bygges, et faktum som historikere foreslår å forklare enten ved å si at tilsvarende altere må være av samme område eller ved å si at samme mengde d hellig energi ble sett på som i stand til å bli legemliggjort på forskjellige måter. Dette kravet krever transformasjonsteknikker for geometriske figurer som bevarer området.
Śulba-Sūtras inkluderer, i beskrivelsene av å lage altere, mange regler for å konstruere geometriske figurer. Følgende avsnitt presenterer noen av dem.
Tegning av en øst-vest linjeEttersom alle alter må orienteres med presisjon, er den første konstruksjonen som er utført av en øst-vestlinje. Denne konstruksjonen er ikke beskrevet i den første Śulba-Sūtras, men er beskrevet i den av Kātyāyana. Det gjøres som følger:
Fra øst-vest-linjen kan det trekkes en nord-sør-linje. Denne konstruksjonen, som i moderne matematiske termer tilsvarer å tegne den vinkelrette halveringen av et segment, er beskrevet i Kātyāyana's Śulba-Sutra som følger:
Śulba-Sūtras beskriver også metoder for å tegne en rett vinkel. En av dem er:
Denne metoden er basert på det omvendte av den såkalte Pythagoras-teoremet og involverer den pythagoriske tripletten (5,12,13). Lignende metoder, men med andre koeffisienter, brukes.
Bygging av et torgFlere metoder for å konstruere et firkant ved hjelp av tau og innsatser er beskrevet i Śulba-Sūtras. I tillegg til de som er basert på konstruksjon av rette vinkler, kan vi sitere:
Figurtransformasjoner er spesielt viktige i Śulba-Sūtras. De følgende avsnittene inneholder noen eksempler.
Summen og forskjellen på to firkanterEn første transformasjon beskrevet i Śulba-Sūtras består i å konstruere et kvadrat med areal som er lik summen av arealene til to andre firkanter. Metoden gitt for dette er:
En andre transformasjon består i å konstruere et kvadrat med areal som er lik forskjellen mellom arealene til to andre firkanter. Metoden er denne gangen:
Disse to reglene er basert på den såkalte Pythagoras-teoremet.
Transformere et rektangel til et kvadratEn annen transformasjon beskrevet i Śulba-Sūtras er transformasjonen av et rektangel til et kvadrat i samme område. Her er den foreslåtte metoden:
En annen transformasjon som kreves av konstruksjonen av altere er transformasjonen av et kvadrat til en sirkel av samme område (sirkulasjon av torget). Siden dette ikke kan gjøres nøyaktig med tau og innsatser, inneholder theulba-sūtras en regel for å oppnå denne konstruksjonen på en omtrentlig måte:
Den omvendte transformasjonen, en sirkel til et kvadrat i samme område ( kvadrering av sirkelen ), gir også opphav til en omtrentlig konstruksjon, selv om den ser ut til å ikke ha noen hellige applikasjoner:
Denne regelen har varianter, basert på det samme prinsippet, men med forskjellige koeffisienter.
Andre transformasjonerŚulba-Sūtras beskriver også følgende transformasjoner: transformere et kvadrat til et rektangel, transformere et rektangel eller kvadrat til et trapes og omvendt, transformere et kvadrat til en likestilt trekant og omvendt, transformere en rombe til et rektangel, kombinere flere firkanter av samme størrelse i en firkant og del en firkant i flere firkanter av samme størrelse.
I konstruksjonene beskrevet av byulba-Sūtras griper inn mange matematiske egenskaper. Noen, som den såkalte Pythagoras-setningen, er uttrykkelig oppgitt, men de fleste er ikke og viser bare implisitt.
"Pythagores teorem"Det vi i dag kaller Pythagoras-setningen , og historikere kaller lettere kvadratet til den diagonale teoremet i denne sammenhengen, er eksplisitt formulert i Śūlba-Sūtras som følger:
“ Diagonalen på torget er dobbelt så stor som området. »(Śulba-Sūtras of Baudhāyana - 1.9)
“ Arealene som er produsert av henholdsvis lengden og bredden på et rektangel gir til sammen arealet som er produsert av diagonalen. »(Śūlba-Sūtras of Baudhāyana - 1.12)
Merk at, i motsetning til hva vi er vant til, er dette resultatet ikke oppgitt for rette trekanter, men for firkanter og rektangler. Den brukes for eksempel i konstruksjonen av et kvadrat som er lik summen eller forskjellen på to firkanter.
Det omvendte av denne teoremet er ikke formulert eksplisitt, men brukes også, spesielt i konstruksjoner av rette vinkler.
ArealberegningerŚulba-sūtras vitner om kunnskapen om et visst antall forhold mellom områder og lengder. De inneholder spesielt bestemmelser av områder av firkanter, likebenede trapeser, likebenede trekanter, høyre trekanter og romber.
Romlige egenskaper til flyfigurerMange egenskaper til flyfigurene som er implisitt brukt, finnes også i Śulba-Sūtras. Noen konstruksjoner bruker det faktum at en sirkel er stedet for punkter i samme avstand fra et gitt punkt, eller at den vinkelrette halveringen av en linje er stedet for punkter i samme avstand fra de to endene. Kunnskap om mange forhold mellom sider og diagonaler skinner også gjennom, for eksempel om diagonalene til et rektangel krysser seg ved midtpunktet og deler det i fire like deler, eller diagonalene til en romb krysser seg ved midtpunktet. I rett vinkel.
Egenskaper av lignende figurerŚulba-Sūtras bruker to viktige egenskaper for like figurer, nemlig at sidene og linjene som tilsvarer hverandre i like figurer er proporsjonale, og at områdene med samme figurer er i samme forhold som kvadratene på sidene.
Noen regler for å transformere figurer involverer det vi i dag vil kalle tilnærminger av irrasjonelle tall , for eksempel:
Śulba-Sūtras vitner videre om bevisstheten om at noen av disse tilnærmingene er mer presise enn andre. Det er ingen indikasjoner på hvordan disse tilnærmingene ble oppnådd, verken i Śulba-Sūtras eller i tekstene rundt dem.
Tilnærmingen 13/15 for forholdet mellom siden av torget og diameteren til en sirkel i samme område er ikke veldig bra, feilen er mer enn 4%, men det ser ut til å ha blitt brukt mest, l Den andre tilnærming er mer presis, men med en feil på fortsatt 1,7%, og merkelig nok vil de to første begrepene av summen gi en bedre tilnærming.
Tilnærmingen for kvadratets diagonal er mye bedre: vi har faktisk √ 2 ≈ 1.4142136 opp til 10 −7 . Men ingenting i Śulba-Sūtras indikerer at jakten på presisjon var på spill, og det er den eneste som finnes der av dette presisjonsnivået. Tilnærmingen 1 + 5/12 brukes også der.
På den eneste bevis for denne tilnærmingen, og det faktum at minst i Kātyāyana er Śulba-Sutra er det presisert at det ikke er nøyaktig, enkelte historikere av vitenskap , spesielt på slutten av det 19. århundre og i begynnelsen av XX th århundre har konkludert med at irrasjonaliteten til kvadratroten av to var kjent for forfatterne av Sulba-sutras, men dette virker knapt forsvaret i dag.
Mange historikere har forsøkt å foreslå opprinnelsen til reglene som presenteres i Śulba-Sūtras. Denne delen nevner noen få, men ingen er eksplisitt bekreftet av tekstene.
Først av alt, kan likheter nevnes mellom Śulba-sutraer og Elements of Euclid : den såkalte Pythagoras 'læresetning som er angitt i Śulba-sutraer er gjenstand for Proposition I.47 av Elements , problemet Byggingen av figurer som er like i områder er kjernen i disse to avhandlingene, og konstruksjonen av geometriske figurer med et tau og en innsats i Śulba-Sūtras kan sammenlignes med konstruksjoner med en linjal og et kompass i elementene .
Imidlertid ser det ut til at visse geometriske egenskaper som setningen sier Pythagoras, allerede var kjent på tidspunktet for skriving av vediske eldre tekster som sūtras , brahmanas og sahmitas , selv om de ikke er eksplisitte. Ettersom disse tekstene er forut for de første greske matematiske tekstene, vil dette utelukke at geometrien til Śulba-Sūtras har sitt opphav i disse greske tekstene. Den greske opprinnelsen ble også avvist av en annen grunn: The Elements er en abstrakt avhandling langt fjernet i stil og metode fra tradisjonen til Śulba-Sūtras, og det ville ha vært vanskelig for forfatterne av sistnevnte å hente informasjon.
Historikere har også vurdert at noe matematisk kunnskap om Śulba-Sūtras kan ha kommet fra Mesopotamia , siden den såkalte Pythagoras-setningen er attestert i paleo-babylonske matematiske tekster fra begynnelsen av det andre årtusen f.Kr. Denne hypotesen er avvist, men etterfølgende arbeid ser ut til å ugyldiggjøre argumentet som brukes for den. Spørsmålet ser derfor ut til å forbli åpent.
Til slutt var en siste hypotese som ble foreslått at arerne , som ville ha invadert India rundt 1500 f.Kr., importerte disse geometriske ritualene fra Midtøsten. Sumerisk kunnskap kan da være den vanlige kilden til Śulba-Sūtras, paleo-babylonisk matematikk og pythagoreerne, men dette er langt fra sant.
Ingen matematisk tekst på sanskrit som har kommet ned til oss, gjør at Śulba-Sūtras kan kobles direkte til senere verk, sammensatt fra midten av det første årtusen e.Kr. Imidlertid finner vi noen ganger likheter mellom matematikken i disse to periodene, for eksempel den rike bruken av det såkalte Pythagoras-setningen eller bruken av de samme geometriske begrepene. I tillegg bruker arkitektoniske avhandlinger fra senere epoker metoder som er veldig lik de som er beskrevet i Śulba-Sūtras.