Multiple factor analyse

Den multiple faktoranalyse (AFM) er den faktorielle metode egnet for studium av tabellene, hvor et sett av enkeltpersoner kan beskrives ved et sett av variabler (kvantitativ og / eller kvalitativ) innrettet i grupper. Det kan sees på som en utvidelse:

• den viktigste komponentanalysen (PCA) når variablene er kvantitative,
• av multippel korrespondanseanalyse (MCA) når variablene er kategoriske,
• av Factorial Analysis of Mixed Data (AFDM) når de aktive variablene er av de to typene.

Innledende eksempel

Hva er årsakene til at vi introduserer flere grupper av variabler i eiendeler i samme faktoriale analyse?

Data

La oss plassere oss når det gjelder kvantitative variabler, det vil si i et rammeverk av PCA. Et eksempel på data fra økologisk forskning gir en nyttig illustrasjon. To typer målinger er tilgjengelige for 72 stasjoner.

1. Koeffisienten for overflod og dominans av 50 plantearter (koeffisienten varierer fra 0 = planten er fraværende til 9 = arten dekker mer enn tre fjerdedeler av overflaten). Settet med 50 koeffisienter definerer en stors blomsterprofil.
2. Elleve pedologiske målinger (= angående jorda): granulometri, fysikkjemi, etc. Alle disse elleve målingene definerer jordprofilen til en stasjon.

Tre mulige analyser

PCA of the flora (pedologi i tillegg) .
Vi er først interessert i variabiliteten til blomsterprofilene. To stasjoner er nærme hvis de har naboploristiske profiler. For det andre er hoveddimensjonene til denne variasjonen (dvs. hovedkomponentene) knyttet til jordmålingene som er introdusert i tillegg.

PCA for pedologi (flora i tillegg) .
Vi er først interessert i variasjonen i jordprofiler. To stasjoner er i nærheten hvis de har samme jordprofil. Hoveddimensjonene til denne variabiliteten (dvs. hovedkomponentene) er da knyttet til plantens overflod.

PCA på de to gruppene med aktive variabler .
Det kan være lurt å studere variasjonene til stasjoner fra det dobbelte synspunktet til flora og jord. I denne tilnærmingen bør to stasjoner være nær hvis de har lignende flora og lignende jordarter.

Balanse mellom grupper av variabler

Metodikk

Den tredje analysen av det innledende eksemplet antar implisitt en balanse mellom flora og jord. Imidlertid, i dette eksemplet, innebærer det enkle faktum at floraen er representert av 50 variabler og jorden med 11 variabler at PCA for de 61 variablene hovedsakelig vil bli påvirket av floraen (i det minste når det gjelder den første aksen). Det er ikke ønskelig.

Hjertet i AFM er basert på en faktoranalyse (PCA når det gjelder kvantitative variabler, ACM når det gjelder kvalitative variabler) der variablene vektes. Disse vektene er identiske for variablene i samme gruppe (og varierer fra en gruppe til en annen). De er slik at den maksimale aksiale tregheten til en gruppe er lik 1: med andre ord, ved å gjøre PCA (eller, hvis aktuelt, MCA) til en enkelt gruppe med denne vektingen, får vi en første egenverdi lik 1. For å oppnå denne egenskapen tildeler vi hver variabel i gruppen en vekt lik den inverse av den første egenverdien av analysen (PCA eller ACM, avhengig av typen variabel) i gruppen . j{\ displaystyle j}j{\ displaystyle j}

Formelt, ved å merke den første egenverdien til faktoranalysen til den eneste gruppen , tildeler AFM vekten til hver variabel i gruppen . λ1j{\ displaystyle \ lambda _ {1} ^ {j}}j{\ displaystyle j}1/λ1j{\ displaystyle 1 / \ lambda _ {1} ^ {j}}j{\ displaystyle j}

Det faktum å balansere maksimale aksiale treghet i stedet for total treghet (= antall variabler i normalisert PCA) gir AFM flere viktige egenskaper for brukeren. Mer direkte vises interessen i følgende eksempel.

Eksempel

La oss være to grupper av variabler definert på samme sett med individer.

1. Gruppe 1 består av de to ukorrelerte variablene A og B.
2. Gruppe 2 består av to variabler {C1, C2} identiske med samme variabel C lite korrelert med de to første.

Dette eksemplet er ikke helt urealistisk. Vi blir ofte ledet til å analysere flerdimensjonale og ensdimensjonale grupper samtidig.

Hver gruppe, som har samme antall variabler, har samme totale treghet.

I dette eksemplet er den første aksen til PCA nesten forvekslet med C. Det er faktisk to variabler i retning av C: med andre ord, gruppe 2, med all dens treghet konsentrert i en retning, har en dominerende innflytelse. akser. For sin del har gruppe 1, bestående av to ortogonale variabler (= ukorrelert), sin treghet jevnt fordelt i et plan (som genereres av de to variablene) og veier neppe på den første aksen.

Numerisk eksempel

Tabell 1. AFM. Testdata. A og B (gruppe 1) er ikke korrelert. {C1, C2} (gruppe 2) er identiske. PÅ{\ displaystyle A} B{\ displaystyle B} VS1{\ displaystyle C_ {1}} VS2{\ displaystyle C_ {2}} 1{\ displaystyle 1} 1 1 1 1 2{\ displaystyle 2} 2 3 4 4 3{\ displaystyle 3} 3 5 2 2 4{\ displaystyle 4} 4 5 2 2 5{\ displaystyle 5} 5 3 4 4 6{\ displaystyle 6} 6 1 2 2

Tabell 2. Testdata. Nedbrytning av treghet i PCA og AFM av dataene i tabell 1. F1{\ displaystyle F_ {1}} F2{\ displaystyle F_ {2}} AVS Treghet 2,14 (100%) 1 hvorav gruppe 1 0,24 (11%) 1 av hvilken gruppe 2 1,91 (89%) 0 AFM Treghet 1,28 (100%) 1 hvorav gruppe 1 0,64 (50%) 1 av hvilken gruppe 2 0,64 (50%) 0

Tabell 2 grupperer tregheten til de to første aksene av PCA og AFM i tabell 1.

Variablene i gruppe 2 bidrar til 88,95% av tregheten til akse 1 i PCA. Denne første aksen er nesten forvekslet med C: korrelasjonen mellom C og er verdt .976; F1{\ displaystyle F_ {1}}

Den første aksen til AFM (i tabell 1) gjør at de to gruppene av variabler kan spille en balansert rolle: bidraget til hver gruppe til tregheten til denne aksen er strengt lik 50%.

Den andre aksen avhenger på sin side bare av gruppe 1. Dette er naturlig siden denne gruppen er todimensjonal og den andre gruppen, endimensjonal, uttrykkes på den første aksen.

Rapporter om balansen mellom gruppene

Å introdusere som en ressurs flere grupper av variabler i en faktoranalyse antar implisitt en balanse mellom disse gruppene.

Denne balansen må ta hensyn til at en flerdimensjonal gruppe naturlig påvirker flere akser enn en endimensjonal gruppe (som bare kan være nært knyttet til en akse).

Vekten av AFM, som tilsvarer 1 maksimal aksial treghet for hver gruppe, spiller denne rollen.

Oversikt over noen bruksområder

Etterforskning. Spørreskjemaene er alltid strukturert i temaer. Hvert emne tilsvarer en gruppe variabler, for eksempel spørsmål om meninger og spørsmål om atferd. I dette eksemplet kan det være lurt å utføre en faktoranalyse der to individer er nærme hvis de har uttrykt de samme meningene og erklært den samme oppførselen.

Sensorisk analyse. Det samme settet med produkter ble evaluert av en jury av eksperter og av en jury av forbrukere. For sin evaluering bruker hver jury en liste over deskriptorer (syre, bitter osv.) Som hver dommer bemerker for hvert produkt på en intensitetsskala som for eksempel strekker seg fra 0 = null eller veldig svak til 10 = veldig sterk. I tabellen knyttet til en jury finner vi i skjæringspunktet mellom raden og kolonnen gjennomsnittet av karakterene som tilskrives produktet for deskriptoren . Jeg{\ displaystyle i}k{\ displaystyle k}Jeg{\ displaystyle i}k{\ displaystyle k}

Enkeltpersoner er produktene. Hver jury tilsvarer en gruppe variabler. Vi ønsker å gjennomføre en faktoranalyse der to produkter er nærme seg hvis de er evaluert på samme måte og dette av de to juryene.

Flerdimensjonale tidsdata . Vi måler variabler på individer. Disse målingene utføres på datoer. Det er mange måter å analysere slike data på. En av dem, foreslått av AFM, tilsvarer å betrakte hver dato som en gruppe variabler i analysen av tabeller (av data for hver dato) sidestilt i rader (den analyserte tabellen har derfor rader og x kolonner). K{\ displaystyle K}Jeg{\ displaystyle I}J{\ displaystyle J}Jeg{\ displaystyle I}J{\ displaystyle J}K{\ displaystyle K}

Gjennomgang av disse eksemplene  : i praksis tilfellet der variablene er strukturert i grupper og veldig hyppige.

Grafikk fra en AFM

Utover vektingen av variablene ligger AFMs interesse i et sett med grafer og indikatorer som er verdifulle i analysen av en tabell hvis kolonner er strukturert i grupper.

Klassiske grafer over vanlige faktoranalyser (PCA, ACM)

Siden hjertet av AFM er en vektet faktoranalyse, gir AFM først de klassiske resultatene av faktoranalysen.

1. Representasjoner av individer der to individer er desto nærmere jo mer har de samme verdier for alle variablene i alle gruppene; i praksis begrenser vi oss ofte til det første faktorplanet.

2. Representasjoner av kvantitative variabler som i PCA (sirkel av korrelasjoner).

I eksemplet:

• den første aksen motsetter seg hovedsakelig individer 1 og 5 (figur 1).
• de fire variablene har en positiv koordinat (figur 2): den første aksen er en størrelseseffekt. Faktisk har individ 1 lave verdier for alle variabler og individ 5 har høye verdier for alle variabler.

3. Tolkningsassistanseindikatorer  : projiserte treghet, bidrag og representasjonskvalitet. I eksemplet er bidraget til individer 1 og 5 til tregheten til den første aksen 45,7% + 31,5% = 77,2% som rettferdiggjør å fokusere tolkningen på disse to punktene.

4. Representasjoner av modalitetene til de kvalitative variablene som i ACM (en modalitet er i baresenteret til individene som har det). Ingen kvalitative variabler i eksemplet.

Grafikk spesifikk for denne typen flere tabeller

5. Overlagrede representasjoner av individene “sett” av hver av gruppene. Et individ betraktet fra synspunktet til en enkelt gruppe sies å være delvis individuelt (samtidig sies et individ betraktet fra synspunktet til alle variablene å være gjennomsnittsindivid fordi han er i barycenter for sin delpoeng). Den delvise skyen samler individer fra synspunktet til den enkelte gruppen (dvs. ): det er skyen som er analysert i den faktiske analysen (PCA eller MCA) atskilt fra gruppen . Den overlappede representasjonen av det som AFM gir, er i sin endelighet analog med den som ble gitt av den prokustiske analysen . IKKEJegj{\ displaystyle N_ {I} ^ {j}}Jeg{\ displaystyle I}j{\ displaystyle j}Jegj,j=1,J{\ displaystyle {i ^ {j}, j = 1, J}}j{\ displaystyle j}IKKEJegj{\ displaystyle N_ {I} ^ {j}}

I eksemplet (figur 3) er individ 1 karakterisert av en liten størrelse (= små verdier) både fra synspunktet til gruppe 1 og den for gruppe 2 (delpunktene til individ 1 har en negativ koordinat og er nær) . På den annen side er individ 5 mer karakterisert av store verdier for variablene i gruppe 2 enn for variablene i gruppe 1 (for individ 5 er delpunktet til gruppe 2 lenger fra opprinnelsen enn for gruppen 1 ). Denne tolkningen laget fra grafen kan valideres direkte i dataene.

6. Representasjoner av grupper av variabler som sådan. I disse grafene er hver gruppe variabler representert med et punkt. To grupper av variabler er desto nærmere når de definerer den samme strukturen på individene: på grensen forveksles to grupper av variabler som definerer skyer av homotetiske individer . Gruppekoordinaten langs aksen er lik gruppens bidrag til tregheten til AFM- rangfaktoren . Dette bidraget kan tolkes som en koblingsindikator (mellom gruppen og radaksen , derav navnet på koblingsfeltet gitt til denne typen representasjon). Denne representasjonen eksisterer også i andre faktorielle metoder (spesielt ACM og AFDM), i hvilket tilfelle gruppene av variabler blir redusert til en enkelt variabel. IKKEJegj{\ displaystyle N_ {I} ^ {j}}j{\ displaystyle j}s{\ displaystyle s}j{\ displaystyle j}s{\ displaystyle s}j{\ displaystyle j}s{\ displaystyle s}

I eksemplet (figur 4) viser denne representasjonen at den første aksen er knyttet til de to gruppene av variabler mens den andre aksen bare er knyttet til den første gruppen. Dette stemmer godt overens med representasjonen av variablene (figur 2). I praksis er denne representasjonen desto mer verdifull da gruppene er mange og inkluderer mange variabler.

Nok et lesegitter . De to gruppene av variabler har til felles størrelseseffekten (første akse) og avviker langs akse 2 siden dette er spesifikt for gruppe 1 (den kontrasterer variablene A og B).

7. Faktorrepresentasjoner fra separate analyser av forskjellige grupper. Disse faktorene er representert som ytterligere kvantitative variabler (korrelasjonssirkel).

I eksemplet (figur 5) er den første aksen til AFM ganske sterkt korrelert (r = .80) med den første aksen i gruppe 2. Denne gruppen, bestående av to identiske variabler, har bare en komponent hoved (forvekslet med variabel). Gruppe 1 består av to ortogonale variabler: hvilken som helst retning av underområdet som genereres av disse to variablene har samme treghet (lik 1). Det er derfor ubestemmelighet i valget av hovedkomponentene, og det er ingen grunn til å være interessert i en av dem spesielt. Imidlertid er de to komponentene som tilbys av programmet godt representert: AFM-planet er nær planet generert av de to variablene i gruppe 1.

Konklusjon

Det digitale eksemplet illustrerer utgangene til AFM. I tillegg til balansen mellom gruppene av variabler og de vanlige PCA-grafene (og av MCA når det gjelder kvalitative variabler), gir AFM spesifikke resultater av strukturen i grupper definert på variablene, dvs. spesielt:

• En overliggende representasjon av partielle individer som tillater en fast analyse av resultatene;
• En representasjon av gruppene av variabler som gir et syntetisk bilde av dataene som er desto mer verdifullt ettersom dataene inkluderer mange grupper;
• En representasjon av faktorene i de separate analysene.

Eksemplets lille størrelse og enkelhet gjør det enkelt å validere tolkningsreglene. Men metoden vil være desto mer verdifull ettersom dataene er omfattende og komplekse. Det finnes andre metoder tilpasset denne typen data. Noen av dem (Statis, prokustisk analyse) sammenlignes med AFM i Le Barzic et al. 1996 og / eller i Pagès 2013 .

Historisk

AFM ble utviklet av Brigitte Escofier og Jérôme Pagès på 1980-tallet. Det er kjernen i de to bøkene skrevet av disse forfatterne: Escofier & Pagès, 2008 og Pagès 2013 . AFM og dets utvidelser (hierarkisk AFM, AFM på beredskapstabeller osv.) Er et forskningsemne for Agrocampus Applied Mathematics Laboratory ( LMA² )

Programvare

AFM er tilgjengelig i to R-pakker ( FactoMineR og ADE 4 ) og i mange programvare: SPAD, Uniwin, XLSTAT, etc. Det er også en SAS- funksjon . Grafikken i denne artikkelen er fra R FactoMineR-pakken.

Referanser

• Brigitte Escofier og Jérôme Pagès, Enkle og multiple faktoranalyser: mål, metoder og tolkning , Paris, Dunod, Paris,2008, 318  s. ( ISBN  978-2-10-051932-3 )
• François Husson, Sébastien Lê og Jérôme Pagès, Dataanalyse med R , Presses Universitaires de Rennes ,2009, 224  s. ( ISBN  978-2-7535-0938-2 )
• Jean-François Le Barzic, Frédéric Dazy, Françoise Lavallard og Gilbert Saporta, Analysen av evolusjonære data. : Metoder og applikasjoner. , Technip, Paris,1996, 227  s. ( ISBN  978-2-7108-0700-1 )
• Jérôme Pagès, Multiple faktoriell analyse med R , Les Ulis, EDP sciences, Paris,2013, 253  s. ( ISBN  978-2-7598-0963-9 )

Eksterne linker

• FactoMineR , et bibliotek med R-funksjoner for dataanalyse.
• SAS-funksjon for AFM