Windowing
I signalbehandling , vindus brukes så snart vi er interessert i et signal om bevisst begrenset lengde. Et ekte signal kan faktisk bare ha en begrenset varighet i tid; dessuten kan en beregning bare gjøres på et endelig antall poeng.
Prinsipp
For å observere et signal over en begrenset periode multipliseres det med en observasjonsvindu- funksjon (også kalt vektings- eller apodiseringsvinduet). Det enkleste er det rektangulære vinduet (eller døren ), definert som:
![{\ displaystyle h (t) = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {si}} t \ i [T_ {1}, T_ {2}] \\ 0 & {\ mbox {ellers.}} \ avslutte {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11ea8a60eab6af8cd33cd15eb51dcf9aab5aff5)
Dermed når vi multipliserer et signal s ( t ) med dette vinduet, får vi bare delen mellom T 1 og T 2 til dette signalet: vi "observerer" det over en periode fra T 1 til T 2 . Enhver observasjon er av begrenset varighet, et vindu blir nødvendigvis brukt med hensyn til et uendelig teoretisk signal; vi bruker derfor minst ett vindu, selv om vi bruker det uten å vite det.
I stedet for å studere signalet s ( t ) studerer vi det avkortede signalet: s h ( t ) = s ( t ) h ( t ) ; passerer gjennom frekvensdomenet ved hjelp av en Fourier-transformasjon (TF), får vi konvolusjonsproduktet S h ( t ) = ( S * H ) ( f ) , hvor H ( f ) er den TF av vinduet.
Bruken av et vektingsvindu vil derfor endre Fourier-transformasjonen av signalet.
Vanlige vinduer
Rektangulært vindu, som fører til sigma-tilnærming :
![h (t) = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {si}} t \ i [0, T] \\ 0 & {\ mbox {ellers.}} \ end {cases}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964254a65d6e1bae7b4527331575427f4b5787ab)
Trekantet vindu (fra Bartlett):
![h (t) = {\ begin {cases} {\ frac {2t} {T}} og {\ mbox {si}} t \ i [0, {\ frac {T} {2}} [\\ {\ frac {2 (Tt)} {T}} og {\ mbox {si}} t \ i [{\ frac {T} {2}}, T] \\ 0 & {\ mbox {ellers.}} \ end {cases}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519230dcea165dde6925ab2e55a48568130f6c24)
Hann- vinduet :
![h (t) = {\ begin {cases} {\ frac 12} - {\ frac 12} \ cos (2 \ pi {\ frac {t} {T}}) og {\ mbox {si}} t \ in [0, T] \\ 0 & {\ mbox {ellers.}} \ End {cases}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b97b222e73ba364736afbf311d98c4c6296544)
Hamming vindu :
![h (t) = {\ begin {cases} 0.54-0.46 \ cos (2 \ pi {\ frac {t} {T}}) & {\ mbox {si}} t \ i [0, T] \\ 0 & {\ mbox {ellers.}} \ End {cases}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684158a58dc7039684e864598023762b74f13d4d)
Blackman-vindu:
![h (t) = {\ begin {cases} 0.42-0.5 \ cos (2 \ pi {\ frac {t} {T}}) + 0,08 \ cos (4 \ pi {\ frac {t} {T}}) & {\ mbox {si}} t \ i [0, T] \\ 0 & {\ mbox {ellers.}} \ End {cases}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4fd3179baabe1b5d146f5686ade368b035bc55)
Og andre: Kaiser (in) (parameter ), Gaussisk, flat topp , hevede kosinusvinduer ...
Merk: Hanns vindu kalles noen ganger et "Hanning-vindu", kanskje analogt med "Hamming-vinduet". Dette er feil, disse navnene er faktisk hentet fra navnene på oppfinnerne (henholdsvis Julius von Hann og Richard Hamming ).
Innen frekvensområdet
TF for det analyserte signalet er viklet med vinduet TF; ideelt sett, for ikke å forspenne det opprinnelige spekteret, må formen på spektralvinduet være en Dirac-funksjon . Nå er det tidsmessige signalet som har et spektrum som en funksjon av dirac, et uendelig konstant signal, noe som er umulig i praksis.
De spektrale formene på vektingsvinduene presenterer en rekke lapper: for å komme nærmere en Dirac-funksjon, må hovedlappen være så smal som mulig, mens sekundærlappene må være så svake som mulig. Jo smalere et hovedvindu er, jo større er sidelappene.
Det er derfor alltid et kompromiss som skal gjøres mellom bredden på hovedlappen og størrelsen på sekundærlappene.
Noen visualiseringer i frekvensdomenet, representasjonene er lineære til venstre, logaritmiske til høyre (klikk for å forstørre):
Merk at det rektangulære vinduet har den smaleste hovedlappen, men sidelappene er de viktigste; tvert imot, Blackmans har de minste sidelobene, men en større hovedlapp. Vinduetypen skal velges i henhold til det man ønsker å observere fra et spektrum: plasseringen av maksimumene, plasseringen av energien i henhold til frekvensene, verdien av maksimumene, etc.
Her er hovedegenskapene til vanlige analysevinduer:
| Vindu | 2. lapp (dB) | Helling (dB / okt) | Båndbredde (søppelbøtter) | Verste tap (dB) |
|---|---|---|---|---|
| Rektangulær | −13 | −6 | 1.21 | 3.92 |
| Trekantet | −27 | −12 | 1,78 | 3.07 |
| Hann | −32 | −18 | 2.00 | 3.18 |
| Hamming | −43 | −6 | 1,81 | 3.10 |
| Blackman-Harris 3 | −67 | −6 | 1,81 | 3.45 |
Påvirkning av vindusstørrelse
Jo lenger det valgte vinduet har lang varighet, jo smalere vil det være i frekvensdomenet. Dermed, ved å ta et uendelig langt vindu i tid, ender vi opp med en frekvens dirac, som er det nøytrale elementet i konvolusjonsproduktet.
For et uendelig langt vindu finner vi således det "virkelige" spekteret av det analyserte signalet, som effektivt tilsvarer DFT for et signal med uendelig varighet.
Referanser
Bibliografi
- (en) Cornelius Lanczos , Lineær differensialoperatør , London og New York, red. van Nostrand,1961( opptrykk 1997) ( ISBN 0-486-68035-5 ) , "Lokal utjevning ved integrering"
- (en) Forman S. Acton, Numerical Methods that (vanligvis) Work , Washington (DC), The Mathematical Association of America,1970( opptrykk 1997), 549 s. ( ISBN 0-88385-450-3 , leses online ) , "Fourier Series"