Autokovarians

Den autocovariance funksjon av en stokastisk prosess som gjør det mulig å karakterisere de lineære avhengigheter som foreligger i denne prosessen. X={Xt,t∈IKKE}{\ displaystyle X = \ {X_ {t}, t \ in \ mathbb {N} \}}

Definisjon  -  Hvis prosessen har verdier i og innrømmer en varians for noen , definerer vi autokovariansfunksjonen av den funksjonen som er notert som til et par naturlige heltall forbinder tallet som er angitt og definert av , hvorX{\ displaystyle X}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}V⁡(Xt){\ displaystyle \ operatorname {V} (X_ {t})}t∈IKKE{\ displaystyle t \ in \ mathbb {N}}X{\ displaystyle X}R{\ displaystyle R}(t,s){\ displaystyle (t, s)}R(t,s){\ displaystyle R (t, s)}R(t,s)≡Cov⁡(Xt,Xs)=E⁡[(Xt-μt)(Xs-μs)]{\ displaystyle R (t, s) \ equiv \ operatorname {Cov} (X_ {t}, X_ {s}) = \ operatorname {E} \ left [(X_ {t} - \ mu _ {t}) ( X_ {s} - \ mu _ {s}) \ høyre]}μt=E⁡(Xt){\ displaystyle \ mu _ {t} = \ operatorname {E} (X_ {t})}

Hvis er en stasjonær prosess i svak forstand da og for alle naturlige heltall . I dette tilfellet er det da tilstrekkelig å definere autokovarianter etter funksjonen som forbinder alt . Autokovarians-funksjonen vises da som kovariansen i denne prosessen med en forsinket versjon av seg selv. Vi kaller ordren autokovarians . X{\ displaystyle X}μt=μs{\ displaystyle \ mu _ {t} = \ mu _ {s}}Cov⁡(Xt,Xs)=Cov⁡(Xt+k,Xs+k){\ displaystyle \ operatorname {Cov} (X_ {t}, X_ {s}) = \ operatorname {Cov} (X_ {t + k}, X_ {s + k})}t,s,k{\ displaystyle t, s, k}R(t,s)=R(|t-s|,0){\ displaystyle R (t, s) = R (| ts |, 0)}k∈Z{\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}γ(k)≡R(k,0)=Cov⁡(Xk,X0){\ displaystyle \ gamma (k) \ equiv R (k, 0) = \ operatorname {Cov} (X_ {k}, X_ {0})}γ(k){\ displaystyle \ gamma (k)}k{\ displaystyle k}

Eiendom  -  Hvis er stille i svak forstand,X{\ displaystyle X}γ(-k)=γ(k){\ displaystyle \ gamma (-k) = \ gamma (k)}

Denne egenskapen skyldes direkte det faktum at . Se for denne eiendommen Hamilton (1994, s.  46 ).γ(k)=R(|k|,0)=R(|-k|,0)=γ(-k){\ displaystyle \ gamma (k) = R (| k |, 0) = R (| -k |, 0) = \ gamma (-k)}

Merknader

1. bruker vi også autokorrelasjonsfunksjonen
2. Se for eksempel Hamilton (1994) og Maddala og Kim (1998)

Referanser

(en) William H. Greene , Econometrics , Paris, Pearson Education,2005, 5 th  ed. , 943  s. ( ISBN  978-2-7440-7097-6 ) , s.  2

(no) James Douglas Hamilton , Time Series Analysis , Princeton NJ, Princeton University Press ,1994, 799  s. ( ISBN  978-0-691-04289-3 , LCCN  93004958 ) , s.  799

(en) Gangadharrao Soundaryarao Maddala , Unit Roots, Cointegration and Structural Change , Cambridge, Cambridge University Press ,2003, 5 th  ed. , innbundet ( ISBN  978-0-521-58257-5 , LCCN  98017325 ) , s.  505

Se også

• hvit støy
• Stationær prosess
• Stasjonaritet i en tidsserie

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">