Selv om den eneste automorphism legeme av ℝ er det identitet (resultat er vist ved Gaston Darboux i 1880), og de eneste kropps automorphisms fortsetter å ℂ er identitet og konjugasjon ( Julian Coolidge , 1924), anvendelsen det aksiom valg (to ganger) tillater oss for å konstruere andre automorfismer av felt av ℂ som ikke er kontinuerlige (eksistensen av slike automorfismer ble vist av Richard Rado fra de generelle resultatene av Ernst Steinitz fra 1910, men følgende konstruksjon ble donert av Hyman Kestelman i 1947).
La E være settet med underfelt til ℂ som ikke inneholder √ 2 . E er nonempty (fordi den inneholder for eksempel ℚ ) og ordnes (delvis) ved inkludering. Vi kan enkelt bekrefte at det da er et induktivt sett . I henhold til lemmaet Zorn , slik at den har en maksimal element K .
Maksimaliteten til K lar oss vise at utvidelsen K ( √ 2 ) → ℂ er algebraisk eller ℂ er algebraisk lukket ; hvilken som helst feltautomorfisme av K ( √ 2 ) strekker seg derfor til en feltautomorfisme av ℂ (dette resultatet er klassisk og bruker også det valgte aksiomet ). Ved å vurdere automorfismen til K ( √ 2 ) å fikse K punkt for punkt og sende √ 2 videre - √ 2 , får vi da en feltautomorfisme på ℂ annet enn identitet og konjugasjon: den er derfor ikke kontinuerlig og til og med diskontinuerlig på alle punkter . Vi utleder at det ikke er målbart, og at bildet av ℝ er tett . Dermed innebærer valgaksiomet eksistensen av en tett underkropp av ℂ isomorf til ℝ.
(en) Paul B. Yale , “ Automorfism of the complex numbers ” , Matematikk. Mag. , vol. 39,1966, s. 135-141 ( les online )( Lester Randolph Ford Award, 1967)