Den Sinai biljard - oppkalt etter den russiske matematikeren Yakov Sinai - er et basseng med to frihetsgrader veldig enkel å beskrive, og som har egenskaper kaotisk interessant.
Sinai- biljardbordet er et firkant med side a i midten som det er plassert et sirkulært hinder med radius R <a . Bordet er flatt, uten krumning , og plassert horisontalt i det jevne tyngdefeltet. Laboratoriets referanseramme skal være galilisk, et materialpunkt som beveger seg uten friksjon på dette biljardbordet, er et konservativt system som utfører en jevn rettlinjet bevegelse mellom to kollisjoner med grensene. Når materialpunktet møter en kant (kanten av torget eller kanten av den sirkulære hindringen i midten), opplever den et elastisk støt .
Den " harde kulegassen " er det opprinnelige systemet for statistisk mekanikk , studert fra begynnelsen av grunnleggerne Maxwell og Boltzmann . Vi betrakter N- atomer, modellert av harde ugjennomtrengelige kuler , innelukket i et kabinett, som bare samhandler ved gjensidige kollisjoner eller med beholderens vegger (kontaktinteraksjoner). For en makroskopisk gass er antallet N av atomer i størrelsesorden av Avogadro-tallet . For å rettferdiggjøre grunnlaget for statistisk mekanikk, introduserte Boltzmann en " ergodisk hypotese " som lenge virket umulig å demonstrere grundig.
Sinai-biljard kommer frem fra studiet av dynamikken i den enkleste gassen av "harde sfærer": gassen består bare av to atomer som utvikler seg i et todimensjonalt kabinett . De to “harddiskene” (vi er i dimensjon 2) utvikler seg innenfor et kvadratisk plan domene, diskene hver gjennomgår elastiske kollisjoner på kantene av torget, samt gjensidige kollisjoner. Ved å eliminere frihetsgraden i massesenteret, reduseres denne dynamikken til den for Sinai-biljard. Denne modellen av to partikler som samhandler ved kollisjoner kalles noen ganger " Lorentz gass "
Sinai biljard er en prototype av et Hamiltonian system som viser interessante kaotiske egenskaper: det er virkelig ergodisk . Den har til og med en positiv Lyapunov-eksponent , et tegn på fenomenet følsomhet for innledende forhold .
Det store bidraget til Sinai med denne modellen var å vise at hele den klassiske Boltzmann- Gibbs for en perfekt gass i det vesentlige er den mest kaotiske av biljard Hadamard (in) .
(en) Linas Vepstas, “ Sinais biljard ” ,2001.
(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Dynamical billiards " ( se listen over forfattere ) .