Equiprojective felt
I en affine euklidsk rom , et vektorfelt er equiprojective hvis:
E{\ displaystyle E} (VP→)P∈E{\ displaystyle ({\ overrightarrow {V_ {P}}}) _ {P \ i E}}
∀P∈E,∀Q∈E,(VP→|PQ→)=(VQ→|PQ→){\ displaystyle \ forall P \ i E, \ forall Q \ i E, ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {PQ}}) = ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {PQ}})}hvor betegner prikkproduktet .
(⋅|⋅){\ displaystyle (\ cdot | \ cdot)}
Det er da en antisymmetrisk endomorfisme som:
u{\ displaystyle u}
∀P∈E,∀Q∈E,VQ→=VP→+u(PQ)→{\ displaystyle \ forall P \ i E, \ forall Q \ i E, {\ overrightarrow {V_ {Q}}} = {\ overrightarrow {V_ {P}}} + u ({\ overrightarrow {PQ)}}}.
Denne forestillingen brukes i fysikk, se Equiprojectivity in physics .
Demonstrasjon av eksistensen av endomorfisme
Antisymmetri
La være et vilkårlig poeng med . For en hvilken som helst vektor eksisterer det et unikt punkt slik at og vi definerer med .
O{\ displaystyle O}E{\ displaystyle E}x→{\ displaystyle {\ overrightarrow {x}}}P{\ displaystyle P}x→=OP→{\ displaystyle {\ overrightarrow {x}} = {\ overrightarrow {OP}}}u{\ displaystyle u}u(x→)=VP→-VO→{\ displaystyle u ({\ overrightarrow {x}}) = {\ overrightarrow {V_ {P}}} - {\ overrightarrow {V_ {O}}}}
La oss vise at for alle vektorer og , har vi:
x→=OP→{\ displaystyle {\ overrightarrow {x}} = {\ overrightarrow {OP}}}y→=OQ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {y}} = {\ overrightarrow {OQ}}}
(u(x→)|y→)=-(x→|u(y→)){\ displaystyle (u ({\ overrightarrow {x}}) | {\ overrightarrow {y}}) = - ({\ overrightarrow {x}} | u ({\ overrightarrow {y}}))}som beviser antisymmetrien til .
u{\ displaystyle u}
Vi har faktisk:
(u(x→)|y→)=(VP→-VO→|OQ→)=(VP→|OQ→)-(VO→|OQ→){\ displaystyle (u ({\ overrightarrow {x}}) | {\ overrightarrow {y}}) = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} - {\ overrightarrow {V_ {O}}} | {\ overrightarrow {OQ}}) = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {OQ}}) - ({\ overrightarrow {V_ {O}}} | {\ overrightarrow {OQ}})}
=(VP→|OQ→)-(VQ→|OQ→){\ displaystyle = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {OQ}}) - ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {OQ}})} ved hjelp av feltets ekviprojektivitet
V{\ displaystyle V}
=(VP→|OP→+PQ→)-(VQ→|OQ→){\ displaystyle = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {OP}} + {\ overrightarrow {PQ}}) - ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {OQ }})}
=(VP→|OP→)+(VP→|PQ→)-(VQ→|OQ→){\ displaystyle = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {OP}}) + ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {PQ}}) - ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {OQ}})}
=(VP→|OP→)+(VQ→|PQ→)-(VQ→|OQ→){\ displaystyle = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {OP}}) + ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {PQ}}) - ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {OQ}})} igjen ved hjelp av equiprojectivity.
Hvis vi utveksler rollene til og , vil vi oppnå:
x→{\ displaystyle {\ overrightarrow {x}}}y→{\ displaystyle {\ overrightarrow {y}}}
(x→|u(y→))=(u(y→)|x→)=(VQ→|OQ→)+(VP→|QP→)-(VP→|OP→){\ displaystyle ({\ overrightarrow {x}} | u ({\ overrightarrow {y}})) = (u ({\ overrightarrow {y}}) | {\ overrightarrow {x}}) = ({\ overrightarrow { V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {OQ}}) + ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {QP}}) - ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | { \ overrightarrow {OP}})}Vi får:
(u(x→)|y→)=-(x→|u(y→)){\ displaystyle (u ({\ overrightarrow {x}}) | {\ overrightarrow {y}}) = - ({\ overrightarrow {x}} | u ({\ overrightarrow {y}}))}
Lineæritet
Vi trekker ut fra antisymmetrien som er lineær. Ja, for all , , har vi:
u{\ displaystyle u}x→{\ displaystyle {\ overrightarrow {x}}}y→{\ displaystyle {\ overrightarrow {y}}}λ{\ displaystyle \ lambda}
(u(λx→)|y→)=-(λx→|u(y→))=-λ(x→|u(y→))=λ(u(x→)|y→)=(λu(x→)|y→){\ displaystyle \ left (u \ left (\ lambda {\ overrightarrow {x}} \ right) | {\ overrightarrow {y}} \ right) = - (\ lambda {\ overrightarrow {x}} | u ({\ overrightarrow {y}})) = - \ lambda ({\ overrightarrow {x}} | u ({\ overrightarrow {y}})) = \ lambda (u ({\ overrightarrow {x}}) | {\ overrightarrow { y}}) = (\ lambda u ({\ overrightarrow {x}}) | {\ overrightarrow {y}})}Denne likeverdigheten er sant for alt , vi utleder at:
y→{\ displaystyle {\ overrightarrow {y}}}
u(λx→)=λu(x→){\ displaystyle u \ left (\ lambda {\ overrightarrow {x}} \ right) = \ lambda u \ left ({\ overrightarrow {x}} \ right)}Vi fortsetter på samme måte for å vise at:
u(x→+x′→)=u(x→)+u(x′→){\ displaystyle u ({\ overrightarrow {x}} + {\ overrightarrow {x '}}) = u ({\ overrightarrow {x}}) + u ({\ overrightarrow {x'}})}
Tilfelle av dimensjon 3, torsor
På en direkte ortonormal basis, å være en antisymmetrisk endomorfisme, har en antisymmetrisk matriseu{\ displaystyle u}
(0-vs.bvs.0-på-bpå0){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ - b & a & 0 \\\ end {pmatrix}}}
Hvis vi navngir vektoren for komponenter , er den forrige matrisen den for applikasjonen .
Ω→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Omega}}}(påbvs.){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a \\ b \\ c \ end {pmatrix}}}x→↦Ω→∧x→{\ displaystyle {\ overrightarrow {x}} \ mapsto {\ overrightarrow {\ Omega}} \ wedge {\ overrightarrow {x}}}
Så vi har og derfor
∀x→,u(x→)=Ω→∧x→{\ displaystyle \ forall {\ overrightarrow {x}}, u ({\ overrightarrow {x}}) = {\ overrightarrow {\ Omega}} \ wedge {\ overrightarrow {x}}}
VQ→=VP→+Ω→∧PQ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {V_ {Q}}} = {\ overrightarrow {V_ {P}}} + {\ overrightarrow {\ Omega}} \ wedge {\ overrightarrow {PQ}}}(VP→)P∈E{\ displaystyle ({\ overrightarrow {V_ {P}}}) _ {P \ i E}}er felt av øyeblikkene til en resulterende torsor .
Ω→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Omega}}}
Eksempel
Det typiske eksempelet på et tredimensjonalt ekviprojektivfelt er hastighetsfeltet til et fast stoff i bevegelse. Faktisk, hvis og er to punkter i det faste stoffet, og hvis vi merker avstanden mellom og , har vi:
P{\ displaystyle P}Q{\ displaystyle Q}d{\ displaystyle d}P{\ displaystyle P}Q{\ displaystyle Q}
‖PQ→‖2=d2=(PQ→|PQ→){\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {PQ}} \ | ^ {2} = d ^ {2} = \ left ({\ overrightarrow {PQ}} | {\ overrightarrow {PQ}} \ right)}og ved å drive med hensyn til tid:
(VQ→-VP→|PQ→)=0{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} - {\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {PQ}} \ right) = 0}hvor betegner hastigheten på et punkt.
V→{\ displaystyle {\ overrightarrow {V}}}
Hastighetsfeltet er derfor en torsor. Vektoren kalles øyeblikkelig rotasjonsvektor.
Ω→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Omega}}}
Merknader og referanser
-
" Feltet Vektorer - Field of équiprojectif vektorer " på jdotec.net (tilgjengelig på en st oktober 2010 )
-
" Kinematikk av solid " [PDF] på melusine.eu.org (tilgjengelig på en st oktober 2010 )
Se også
Bibliografi
- E. Ramis , C. Deschamps og J. Odoux , Algebra og applikasjoner til geometri , Paris / New York / Barcelona / 1987, Masson, koll. "Kurs for høyere matematikk" ( n o 2)1987, 297 s. ( ISBN 2-225-63404-1 ) , kap. 8 (“Les torseurs”), s. 276-294
Relaterte artikler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">