Koksykliske punkter
I geometri sies det at punkter på planet er koksykliske hvis de tilhører samme sirkel .
Tre ikke-justerte punkter på flyet er koksykliske. Faktisk har enhver trekant en avgrenset sirkel .
Fire koksykliske punkter
Eiendom - Let , , og
fire forskjellige punkter i planen. Så , , ,
er syklisk eller collinear hvis og bare hvis vi har likestilling mellom orienterte vinkler
PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}D{\ displaystyle D}PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}D{\ displaystyle D}
(VSPÅ→,VSB→)=(DPÅ→,DB→)modπ.{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {CA}}, {\ overrightarrow {CB}} \ right) = \ left ({\ overrightarrow {DA}}, {\ overrightarrow {DB}} \ right) \ mod \ pi .}
Den forrige egenskapen er en følge av den innskrevne vinkelsetningen .
Hvis de respektive påføringene er, er også den forrige betingelsen skrevet
på,b,vs.,d{\ displaystyle a, b, c, d}PÅ,B,VS,D{\ displaystyle A, B, C, D}
arg(vs.-bvs.-på)=arg(d-bd-på)modπ{\ displaystyle \ arg \ left ({\ frac {cb} {ca}} \ right) = \ arg \ left ({\ frac {db} {da}} \ right) \ mod \ pi}
Derfor, ved å bruke kryssforholdet , tilsvarer tilstanden:
[på,b,vs.,d]=(vs.-bvs.-på):(d-bd-på){\ displaystyle [a, b, c, d] = \ left ({\ frac {cb} {ca}} \ right): \ left ({\ frac {db} {da}} \ right)} ekte
Den ptolemy teorem gir en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for cocyclicity fire punkter fra deres avstand.
Theorem - Let , , og
fire forskjellige punkter i planen. Disse punktene er koksykliske hvis og bare hvis en av følgende fire likheter er bekreftet:
PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}D{\ displaystyle D}
PÅB.VSD±PÅVS.DB±PÅD.BVS=0{\ displaystyle AB.CD \ pm AC.DB \ pm AD.BC = 0}.
Uttalelsen gir "fire likheter" fordi ± må lese enten + eller -.
Henvisning
-
Gitt i denne formen av Marcel Berger , Living Geometry: or Jacobs skala , Cassini, koll. "Nytt matematisk bibliotek",2009( ISBN 9782842250355 ), s. 154 .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">