Sirkel

I euklidisk geometri er en sirkel en lukket plankurve som består av punkter som ligger i samme avstand fra et punkt som kalles sentrum . Verdien av denne avstanden kalles radius i sirkelen.

I det euklidiske planet er det "runden" som på fransk er knyttet til begrepet sirkel. I et ikke-euklidisk plan eller i tilfelle å definere en ikke-euklidisk avstand, kan formen være mer kompleks. I et rom med en hvilken som helst dimensjon kalles punktet som er plassert i en konstant avstand fra et senter, en sfære .

Andre former kan kvalifiseres som "runde": overflater og faste stoffer der visse plane seksjoner er sirkler ( sylindere , kjegler , torus , ring osv.).

Bruker

Sirkelen er et abstrakt matematisk objekt, som kan brukes til å modellere mange fenomener. Et visst antall produserte gjenstander har et sirkulært snitt: sylindere (ruller, hjul, siloer), kuler (ballong, kuler, kuler), kjegler (ruller, trakter). Egenskapene til sirklene gjør det derfor mulig å utlede egenskaper til objekter, for eksempel volumet som gjør det mulig å utlede massen til objektet (å vite dens tetthet ) eller dets kapasitet. Objekter i sirkulære snitt er interessante av flere hovedårsaker:

• disse gjenstandene ruller , noe som gjør det mulig å ha bevegelser og forskyvninger som krever liten innsats ( hjul , mekaniske lagre );
• per definisjon er alle punkter like langt fra sentrum; Dette betyr at det tar samme tid og samme energi å nå hvert punkt fra sentrum, noe som ga forestillingen om hemisyklus ( amfi ) der lyden har samme volum for alle som sitter på samme benk;
  dette er også viktig når det gjelder territoriell organisering og logistikk  ; faktisk, hvis bevegelsen gjøres på samme måte i alle retninger (ideelt flatt og vannrett bakke, uten hindring, eller fugleflukt uten vind), så representerer en sirkel alle punktene som kan være å nå en gitt reisetid eller en gitt energiforbruk fra sentrum, er det konseptet med handlingsradius , og interessen for problemet med minimumssirkelen  ;
  når du blåser glass , beveger glasset seg fra blåspunktet med en isotrop hastighet , som gir objektet en naturlig avrundet form;
• sirkelen er plankurven som for en gitt lengde ( omkrets ) er området mest; Således, hvis vi bygger en silo eller en sylindrisk flaske, har vi størst kapasitet for en gitt mengde materiale (for å lage veggen). Hvis vi bygger et sirkulært gjerde, kan vi ta imot flere mennesker for en gitt mengde tre eller stein ; på samme måte er forsvar i en sirkel en militær strategi som gjør det mulig å forsvare en befolkning eller en bestand med et minimum av midler, i møte med et angrep fra alle sider, en taktikk som nettopp kalles omringing  ;
• denne formen gir ingen ruhet, derfor ingen spenningskonsentrasjon  ; et objekt med denne formen har bedre mekanisk styrke;
• denne formen har ikke en flat del, så et prosjektil har liten sjanse for å treffe den "forfra", den overfører mindre energi til den og risikerer derfor mindre skade på den; hvis objektet faller, er det mer sannsynlig å komme seg tilbake uten å bryte; en avrundet gjenstand har også mindre risiko for å skade i tilfelle støt med en person (ballong, avrundede hetter og støtfangere på moderne biler);
• enhver linje som går gjennom sentrum er en radius, og er derfor vinkelrett på sirkelen; denne egenskapen brukes i optikk og ga opphav til sfæriske motspeil , og det er også grunnen til at linser har sfæriske overflater (vi kan lett forutsi lysveien ved dioptre );
• et gjenstand med sirkulært snitt og tynn vegg kan lages ved viklingstråd ( spiralfjær , spiral ) eller ved å rulle et ark ( hylse , rør ); et objekt med hul eller massivt sirkulært snitt kan også lett oppnås ved å snu ( keramikk , mekanisk dreining );
• hvis vi legger en gjenstand i en sirkulær beholder, pålegger vi dens posisjon, men vi pålegger ikke dens orientering; Hvis retningen ikke betyr noe, sparer dette tid siden du ikke trenger å snu gjenstanden før du setter den på plass; dette er prinsippet om sentrering (lang eller kort) for posisjonering (MiP).

Noen objekter reagerer på mer enn ett av disse elementene. For eksempel det faktum at et fat er sylindrisk:

• tillater enkel fabrikasjon, spesielt kjedelig  ;
• gir mekanisk styrke (motstand mot eksplosjonstrykk);
• forenkler innføringen av ammunisjonen (du trenger ikke å snu den rundt sin akse for å introdusere den);
• ved å øve på en propell i fatet, kan man trykke en rotasjonsbevegelse under avfyringen som stabiliserer banen.

Hvis et objekt har en buet overflate, kan det tilnærmes lokalt av en sirkel. Således, hvis vi kjenner egenskapene til sirkelen, kjenner vi de lokale egenskapene til objektet. Dette er hva som ga forestillingene om osculerende sirkel , krumningsradius og sfærisk harmonisk .

Hvis du har gjenstander eller mennesker i en sirkel, vet du at du kan nå dem med samme innsats fra sentrum, men også at du kan se dem på samme måte, noe som kan lette overvåking. De kan også angis ved å bruke en enkelt parameter, retningen; dette er for eksempel interessen for nålehjul . Dette gir også forestillingene om sylindriske og sfæriske koordinater .

Etter definisjonen er den euklidiske sirkelen veldig lett å tegne: det er tilstrekkelig å ha et objekt hvis to ender har en konstant avstand, et stramt tau for eksempel eller en gren (til og med vridd), eller oftere et kompass . Det er derfor enkelt å tegne en “perfekt” sirkel, noe som gjør den til et privilegert studieverktøy for geometri.

For mer komplekse problemer og former, kan vi bruke forestillingen om ellips .

Sirkelen kan brukes til å symbolsk representere objekter "mer eller mindre runde":

• av himmellegemer ( planeter , måner , stjerner ) og deres baner (som faktisk er elliptiske);
• et ovalt ansikt ( Totos hode , smileys );
• en åpning.

Rent symbolsk representerer det:

• en viss form av perfeksjon , ved i kraft av sin symmetri og dens fravær av ruhet, fordi, i henhold til Ronsard , "ingenting er utmerket i verden hvis det ikke er rund"  ; siden antikkens Hellas har sfærisitet vært assosiert med fullkommenhet, og derfor med guddommelighet; for Kepler representerer sirkelen Den hellige treenighet , "Faderen i sentrum, Sønnen på overflaten, Den hellige ånd i like forhold fra sentrum til kanten." Og selv om sentrum, overflaten og intervallet åpenbart er tre, er de likevel ett, til det punktet at man ikke engang kan forestille seg at man mangler uten at hele blir ødelagt ”  ;
• en kontinuerlig og uendelig bevegelse, forestillingen om syklus  ; det er en av representasjonene av gjenoppstart ( ouroboros ), av kontinuitet, av evigheten og av syklisk tid (se tidshjulet til Kalachakra Tantra ), med varianten av spiralen  ;
• likestilling mellom mennesker, som det runde bordet til kong Arthur .

Definisjoner

I lang tid har hverdagsspråket brukt ordet "sirkel" like mye for å navngi kurven ( omkretsen ) som overflaten den avgrenser. I dag, i matematikk , betegner sirkelen utelukkende den buede linjen, overflaten blir i sin tur kalt disk .

Forholdet mellom sirkelens omkrets og diameteren definerer tallet pi .

Andre termer fortjener å bli definert:

• et akkord er et linjesegment hvis ender er på sirkelen;
• en bue er en del av en sirkel avgrenset med to punkter;
• en pil er segmentet som forbinder midtpunktene til en sirkelbue og et akkord definert av to samme punkter i sirkelen;
• en radius er et linjesegment som forbinder sentrum til et punkt på sirkelen;
• en diameter er en akkord som går gjennom sentrum; det er et linjestykke som avgrenser disken i to like store deler. Diameteren består av to kollinære stråler  ; dens lengde er 2 r  ;
• en plate er et område av planet avgrenset av en sirkel;
• en sirkulær sektor er en del av platen mellom to radier;
• et sirkulært segment er en del av en plate som består av en akkord og buen til en sirkel den legger seg under;
• en sentral vinkel er en vinkel dannet av to radier av sirkelen;
• den omkrets er omkretsen av sirkelen, og er lik 2π r .

Ligninger

Kartesiske og parametriske ligninger

I et plan utstyrt med et ortonormalt koordinatsystem er den kartesiske ligningen til sirkelen med sentrum C ( a , b ) og radius r :

(x-på)2+(y-b)2=r2{\ displaystyle (xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} = r ^ {2} \,}, enten for enhetssirkelen eller trigonometrisk sirkel (sirkelen hvis sentrum er opprinnelsen til referanserammen og hvis radius er 1 ): x2+y2=1.{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1.}

Denne ligningen er faktisk en anvendelse av Pythagoras teorem for den rette trekanten dannet av sirkelpunktet og projeksjonen på de to strålene parallelt med aksene.

Ved å markere y får vi den doble kartesiske ligningen til sirkelen (faktisk en ligning for hver halvsirkel avgrenset av den horisontale diameteren):

y=b±r2-(x-på)2{\ displaystyle y = b \ pm {\ sqrt {r ^ {2} - (xa) ^ {2}}} \,}.

Mulige parametriske ligninger av sirkelen (avhengig av parameteren θ som her uttrykker en orientert vinkel på vektoren som forbinder sentrum av sirkelen til et av disse punktene i forhold til enhetens horisontale vektor i referanserammen) er gitt av:

x=på+rcos⁡θ;y=b+rsynd⁡θ{\ displaystyle x = a + r \ cos \ theta; \ qquad y = b + r \ sin \ theta}

det vil si for en sirkel sentrert på opprinnelsen (0; 0)  :

x=rcos⁡θ;y=rsynd⁡θ{\ displaystyle x = r \ cos \ theta; \ qquad y = r \ sin \ theta}

og for enhetssirkelen:

x=cos⁡θ;y=synd⁡θ{\ displaystyle x = \ cos \ theta; \ qquad y = \ sin \ theta}.

Takket være setningen til vinkelen som er innskrevet i en halvcirkel og dens gjensidige , kan vi også bestemme en ligning for sirkelen C med diameter [ AB ]  :

M∈VS⇔MPÅ→⊥MB→⇔MPÅ→⋅MB→=0⇔(x-xPÅy-yPÅ)⋅(x-xBy-yB)=0⇔(x-xPÅ)(x-xB)+(y-yPÅ)(y-yB)=0⇔x2+y2-(xPÅ+xB)x-(yPÅ+yB)y+xPÅxB+yPÅyB=0.{\ displaystyle {\ begin {align} M \ i C & \ Leftrightarrow {\ overrightarrow {MA}} \ perp {\ overrightarrow {MB}} \\ & \ Leftrightarrow {\ overrightarrow {MA}} \ cdot {\ overrightarrow { MB}} = 0 \\ & \ Leftrightarrow {\ binom {x-x_ {A}} {y-y_ {A}}} \ cdot {\ binom {x-x_ {B}} {y-y_ {B} }} = 0 \\ & \ Venstre pil \ venstre (x-x_ {A} \ høyre) \ venstre (x-x_ {B} \ høyre) + \ venstre (y-y_ {A} \ høyre) \ venstre (y - y_ {B} \ høyre) = 0 \\ & \ Venstre pil x ^ {2} + y ^ {2} - \ venstre (x_ {A} + x_ {B} \ høyre) x- \ venstre (y_ {A } + y_ {B} \ høyre) y + x_ {A} x_ {B} + y_ {A} y_ {B} = 0. \ end {justert}}}

Skjæringspunkter med en linje

Den analytiske geometrien for å bestemme skjæringspunktet mellom en sirkel og en rett linje . Uten tap av generalitet er opprinnelsen til koordinatsystemet sentrum av sirkelen og abscissa-aksen er parallell med linjen. Det er da et spørsmål om å løse et system av skjemaet:

x2+y2=r2ety=y0{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2} \ quad {\ rm {and}} \ quad y = y_ {0}},

derfor å se etter løsningene x av

x2=r2-y02{\ displaystyle x ^ {2} = r ^ {2} -y_ {0} ^ {2}}.

Tre tilfeller oppstår, avhengig av om avstanden mellom sentrum av sirkelen og linjen er større enn radiusen, lik eller mindre:

• hvis , krysset er tomt;|y0|>r{\ displaystyle | y_ {0} |> r}
• hvis linjen er tangent til sirkelen på punktet  ;|y0|=r{\ displaystyle | y_ {0} | = r}(0,y0){\ displaystyle (0, y_ {0})}
• hvis det er to krysningspunkt: .|y0|<r{\ displaystyle | y_ {0} | <r}(+r2-y02,y0) og (-r2-y02,y0){\ displaystyle (+ {\ sqrt {r ^ {2} -y_ {0} ^ {2}}}, y_ {0}) {\ text {and}} (- {\ sqrt {r ^ {2} - y_ {0} ^ {2}}}, y_ {0})}

Sirkelen sett på som et snitt

Sirkelen er en ellipse hvis brennpunkt faller sammen med sentrum av sirkelen; lengden på hovedaksen er lik lengdeaksen. Det er en konisk seksjon hvis eksentrisitet e er lik 0. Den kan oppnås ved skjæringspunktet mellom et plan og en revolusjonskjegle når planet er vinkelrett på konusens revolusjonsakse (vi snakker noen ganger om "seksjon høyre" av kjeglen).

I industriell design er en sirkel oftest representert med den horisontale aksen og den vertikale aksen (i senterlinjer: tynn linje sammensatt av lange og korte streker), eller bare med senteret materialisert med et rett kryss "+" i fine linjer. En form for revolusjon, helt eller hul ( sylinder , kjegle , kule ) og sett langs revolusjonsaksen er representert av en sirkel.

Geometriske egenskaper

målinger

Den lengde av en bue med radius r motstående til en vinkel ved sentrum α , uttrykt i radianer , er lik aR . For en vinkel på 2π (en hel sving) er lengden på sirkelen således 2π r .

Området på platen avgrenset av en sirkel med radius r er π r 2  ; tar vi en akkord med gitt lengde l og bruker den til å avgrense en lukket overflate, avgrenses overflaten med det største området av en sirkel.

I følge legenden om grunnleggelsen av Kartago hadde suverenisten tillatt fønikerne å grunnlegge en by hvis periferi ville bli avgrenset av et okseskinn  ; Dido laget en stor stripe av den og valgte en sirkulær form for å ha den største overflaten.

Tau og pil av en bue

Lengden på en akkord undertrykt av en vinkel α er lik 2 r sin ( α / 2) .

Vi kan uttrykke radien r av en sirkel, akkorden c og pilen f for hvilken som helst av dens buer, ifølge to av dem, ved å bruke Pythagoras teorem på høyre trekant dannet av r - f , c / 2 og r som er hypotenusen:

vs.=2(2r-f)f;r=4f2+vs.28f;f=r-r2-vs.24{\ displaystyle c = 2 {\ sqrt {(2r-f) f}}; \ qquad r = {\ frac {4f ^ {2} + c ^ {2}} {8f}}; \ qquad f = r- {\ sqrt {r ^ {2} - {\ tfrac {c ^ {2}} {4}}}}}.

Den sinuosity av to motstående tilsvarende sirkelbuer som del av samme kontinuerlig differensierbar plan er uavhengig av radien av sirkelen.

Tangent

Tangenten på et punkt på sirkelen er vinkelrett på radiusen på det punktet.

Denne egenskapen har anvendelser i geometrisk optikk  : en lysstråle som går gjennom midten av et sfærisk speil, går igjen i motsatt retning i samme retning (vi har en refleksjon vinkelrett på speilet). Hvis vi setter en pære i midten av et sfærisk speil, blir lyset returnert til den andre siden, som for eksempel tillater å "brette" lyset mot et parabolsk speil (prinsippet om motspeilet).

Tenk på en sirkel med sentrum O og et punkt A utenfor denne sirkelen. Vi ser etter en tangens til denne sirkelen som går gjennom A  ; tangentpunktet kalles T .

Vi bruker det faktum at trekanten AOT er et T- rektangel . Denne høyre trekanten er derfor innskrevet i en sirkel hvis midtpunkt er midtpunktet til [ AO ] , eller til og med, noe som tilsvarer, at hypotenusen har en lengde dobbelt så mye som medianen som kommer fra rett vinkel.

Vi bestemmer derfor midtpunktet I på [ AO ] , så tegner vi en sirkelbue med sentrum I og radius IO . Denne sirkelbuen krysser sirkelen ved tangenspunktene.

Megler

Den vinkelrette halveringen av en streng passerer gjennom sentrum av sirkelen. Dette gjør det mulig å finne sentrum av en sirkel: det er tilstrekkelig å tegne to ikke-parallelle akkorder og å finne skjæringspunktet mellom deres vinkelrette halveringslinjer.

Vi kan også vise at de tre vinkelrette halveringslinjene i en trekant er samtidige, og at skjæringspunktet er sentrum for sirkelen som går gjennom de tre toppunktene, kalt en sirkel som er begrenset til trekanten.

Sirkel og høyre trekant

La oss ta en sirkel med tre punkter A , B og C , hvorav to - A og C - er diametralt motsatte (dvs. [ AC ] er en diameter). Deretter trekanten ABC er rektangel B .

Dette følger av det faktum at medianen som kommer fra riktig vinkel er verdt halvparten av hypotenusen (vi har en radius og en diameter); dette er en egenskap av trekanten som kalles halvsirkelvinkelsetningen, eller Thales-setningen (i Tyskland og noen engelsktalende land).

Omvendt, la A og C være to diametralt motsatte punkter i en sirkel. Eller B et punkt i planet som ABC er rektangel B . Da hører B til sirkelen.

Innskrevet vinkel, sentral vinkel

La oss ta to forskjellige punkter A og B i sirkelen. O er sentrum av sirkelen og C er et annet punkt i sirkelen. Så det har vi gjort

PÅOB^=2×PÅVSB^{\ displaystyle {\ widehat {AOB}} = 2 \ ganger {\ widehat {ACB}}}

For sentervinkelen , må vi vurdere den vinkelsektor som avskjærer lysbuen på motsatt side av buen som inneholder C . PÅOB^{\ displaystyle {\ widehat {AOB}}}

Denne egenskapen benyttes i bølgelengde sprednings spektralanalyse enheter , er det konseptet av å fokusere sirkel eller Rowland sirkel .

Kraften til et punkt i forhold til en sirkel

Hvis M er et punkt og Γ er en sirkel med sentrum O og radius R , og deretter, etter en hvilken som helst linje som passerer gjennom M og møte kretsen på A og B , har vi

MPÅ×MB=|OM2-R2|{\ displaystyle MA \ times MB = | OM ^ {2} -R ^ {2} |}.

Denne verdien avhenger ikke av linjen som er valgt, men bare av posisjonen til M i forhold til sirkelen.

Det kan vi merke

• hvis M er utenfor sirkelen, MPÅ×MB=OM2-R2{\ displaystyle MA \ times MB = OM ^ {2} -R ^ {2}} ;
• hvis M er inne i sirkelen, OM2-R2=-MPÅ×MB{\ displaystyle OM ^ {2} -R ^ {2} = - MA \ ganger MB} ;dette produktet tilsvarer produktet av de algebraiske tiltakene MA og MB .

Den kraften av poenget M med hensyn til sirkelen Γ kalles da produktet av algebraiske tiltak MA og MB . Dette produktet er uavhengig av den valgte linjen og er alltid gyldig . OM2-R2{\ displaystyle OM ^ {2} -R ^ {2}}

Når punktet M er utenfor sirkelen, er det mulig å lage tangenter til sirkelen. Ved å ringe T kontaktpunktet for en av disse tangentene, i henhold til Pythagoras 'læresetning i trekanten OMT , kraften i M er MT 2 .

Likestilling:

MPÅ×MB=MT2{\ displaystyle MA \ times MB = MT ^ {2}}

er tilstrekkelig til å si at linjen ( MT ) er tangent til sirkelen.

Den kraften i et punkt som gjør det mulig å verifisere at fire punktene er cocyclic: ja, hvis

• A , B , C , D er fire punkter slik at ( AB ) og ( CD ) krysser hverandre ved M og
• MA × MB = MC × MD (i algebraiske mål),

da er de fire punktene koksykliske.

Registrerte sirkler rapporterer

Denne delen kan inneholde upublisert arbeid eller ubekreftede uttalelser  (30.08.2015) . Du kan hjelpe ved å legge til referanser eller fjerne upublisert innhold.

• Radius og areal av de to største sirkler innskrevet i sirkelen med radius R og område S  : R′{\ displaystyle R '}S′{\ displaystyle S '}R′=R2;2S′=S2{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {2}} \ ,; \ qquad 2 \, S' = {\ frac {S} {2}}}
• Radius og areal til de 3 største innskrevne sirkler: R′{\ displaystyle R '}S′{\ displaystyle S '}R′=R1+43;3S′=9S7+23{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {1 + {\ sqrt {\ frac {4} {3}}}} \ ,; \ qquad 3 \, S' = {\ frac {9 \, S } {7 + 2 {\ sqrt {3}}}}}
• Radius og areal til de 4 største innskrevne sirkler: R′{\ displaystyle R '}S′{\ displaystyle S '}R′=R1+2=(2-1)R;4S′=4S3+8{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {1 + {\ sqrt {2}}}} = ({\ sqrt {2}} - 1) \, R \ ,; \ qquad 4 \, S' = {\ frac {4 \, S} {3 + {\ sqrt {8}}}}}
• Radius av de 5 største innskrevne sirkler: R′{\ displaystyle R '}R′=R1+2+45{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {1 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {\ frac {4} {5}}}}}}}}
• Radius og areal til de 7 (eller 6) største innskrevne sirkler (1 sirkel i midten omgitt av 6): R′{\ displaystyle R '}S′{\ displaystyle S '} R′=R3;7S′=7S9{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {3}} \ ,; \ qquad 7 \, S' = {\ frac {7 \, S} {9}}}.

Inskripsjon av sirkler, med samme radius, i en sirkel, en ligesidig trekant, en firkant

Merknader og referanser

1. Se definisjon av adjektivet runde på CNRTL nettstedet .
2. Pierre de Ronsard , svar på fornærmelser og forkynnelser av Jeg vet ikke hvilke forkynnere og prester i Genève ,1563.
3. "  Gresk fremskritt: Sirkelen og sfæren  " , på virtuelle gallerier i Nasjonalbiblioteket i Frankrike .
4. Johannes Kepler , The Cosmographic Mystery ,1596.
5. I leksikonet til Diderot og d'Alembert er sirkelen for eksempel "rommet innesluttet av omkretsen" ( s: L'Encyclopédie / 1re edition / CERCLE ) og ordboken Robert-utgaven 1993, gir, som tredje betydning av ordet sirkel: "ved nåværende utvidelse: flat overflate begrenset av en sirkel" .
6. Jean Dieudonné , lineær algebra og elementær geometri , Paris, Hermann ,1964, f.eks. 2s.96
7. Finn disse figurene av inskripsjon av sirkler på siden som stables i planen .

Se også

• Generell sirkel  (i)
• Bok III av Euklids elementer
• Plate - Kule - Ball

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">