Samuelson tilstand
Den Samuelson tilstand , forkynt med Paul Samuelson , sier at en optimal produksjon av ren offentlig god krever likhet mellom summen av marginale priser for substitusjon , og frekvensen av forandring av produkter .
Matematisk formalisering
Enten det offentlige gode og ( ) de private varene. Produksjonsfunksjonen i implisitt form er gitt av følgende uttrykk:
hvor er mengden produsert av god j.
qo{\ displaystyle q_ {o}}
qj{\ displaystyle q_ {j}}
j=1,2,...,m{\ displaystyle j = 1,2, \ ldots, m}
φ(q^o,q^1,q^2,...,q^m)=0{\ displaystyle \ varphi ({\ hat {q}} _ {o}, {\ hat {q}} _ {1}, {\ hat {q}} _ {2}, \ ldots, {\ hat {q }} _ {m}) = 0}
q^j{\ displaystyle {\ hat {q}} _ {j}}
Verktøyfunksjonene er:
uJeg(qo,qJeg1,qJeg2,...,qJegm)Jeg=1,2,...,h{\ displaystyle u_ {i} (q_ {o}, q_ {i1}, q_ {i2}, \ ldots, q_ {im}) \ qquad i = 1,2, \ ldots, h}
hvor forbrukes mengden god j av individ i. Det er ingen indeks i for mengden som forbrukes av det offentlige gode, fordi den er den samme for alle. På den annen side bruker hver enkelt en mengde privat god som avhenger av hans preferanser og inntekt.
qJegj{\ displaystyle q_ {ij}}
En tilstand med maksimal sosial avkastning kan oppnås ved å maksimere nytteverdien til den første forbrukeren under de vanlige begrensningene. Lagrangian er:
L=u1(qo,q11,q12,...,q1m)+∑Jeg=2hλJeg(uJeg-uJego)+σφ(q^o,q^1,...,q^m)+μo(qoo+q^o-qo)+∑j=1mμj(qjo+q^j-∑α=1hqαj){\ displaystyle L = u_ {1} (q_ {o}, q_ {11}, q_ {12}, \ ldots, q_ {1m}) + \ sum _ {i = 2} ^ {h} \ lambda _ { i} (u_ {i} -u_ {i} ^ {o}) + \ sigma \ varphi ({\ hat {q}} _ {o}, {\ hat {q}} _ {1}, \ ldots, {\ hat {q}} _ {m}) + \ mu _ {o} (q_ {o} ^ {o} + {\ hat {q}} _ {o} -q_ {o}) + \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ mu _ {j} (q_ {j} ^ {o} + {\ hat {q}} _ {j} - \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} q _ {\ alpha j})}
hvor er Lagrange-multiplikatorene og er bestanden av gode j.
λJeg,σ,μj{\ displaystyle \ lambda _ {i}, \ sigma, \ mu _ {j}}
qjo{\ displaystyle q_ {j} ^ {o}}
De første bestillingsbetingelsene er:
(1)∂L∂qo=∑α=1hλα∂uα∂qo-μo=0(λ1=1){\ displaystyle (1) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {o}}} = \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} \ lambda _ {\ alpha} {\ frac { \ delvis u _ {\ alpha}} {\ delvis q_ {o}}} - \ mu _ {o} = 0 \ qquad (\ lambda _ {1} = 1)}
(2)∂L∂qαj=λα∂uα∂qαj-μj=0α=1,2,...,h;j=1,2,...,m{\ displaystyle (2) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial q _ {\ alpha j}}} = \ lambda _ {\ alpha} {\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} { \ delvis q _ {\ alpha j}}} - \ mu _ {j} = 0 \ qquad \ qquad \ quad \ alpha = 1,2, \ ldots, h \ quad; \ quad j = 1,2, \ ldots , m}
(3)∂L∂q^s=σ∂φ∂q^s+μs=0s=0,1,...,m{\ displaystyle (3) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ hat {q}} _ {s}}} = \ sigma {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial {\ hat {q}} _ {s}}} + \ mu _ {s} = 0 \ qquad \ qquad \ qquad s = 0,1, \ ldots, m}
(4)∂L∂λJeg=uJeg-uJego=0Jeg=2,3,...,h{\ displaystyle (4) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial \ lambda _ {i}}} = u_ {i} -u_ {i} ^ {o} = 0 \ qquad \ qquad \ qquad \ quad \; i = 2,3, \ ldots, h}
(5)∂L∂σ=φ(q^o,q^1,q^2,...,q^m)=0{\ displaystyle (5) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial \ sigma}} = \ varphi ({\ hat {q}} _ {o}, {\ hat {q}} _ {1} , {\ hat {q}} _ {2}, \ ldots, {\ hat {q}} _ {m}) = 0}
(6)∂L∂μo=qoo+q^o-qo=0{\ displaystyle (6) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mu _ {o}}} = q_ {o} ^ {o} + {\ hat {q}} _ {o} -q_ {o} = 0}
(7)∂L∂μj=qjo+q^j-∑α=1hqαj=0{\ displaystyle (7) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mu _ {j}}} = q_ {j} ^ {o} + {\ hat {q}} _ {j} - \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} q _ {\ alpha j} = 0}
Ved å eliminere Lagrange-multiplikatorene får man:
∑α=1h∂uα∂qo∂uα∂qαj=φoφj{\ displaystyle \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} {\ frac {\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} {\ partial q_ {o}}} {\ frac {\ partial u _ { \ alpha}} {\ partial q _ {\ alpha j}}}} = {\ frac {\ varphi _ {o}} {\ varphi _ {j}}}}
∂uα∂qαj∂uα∂qαs=φjφs{\ displaystyle {\ frac {\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} {\ partial q _ {\ alpha j}}} {\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} {\ partial q _ { \ alpha s}}}} = {\ frac {\ varphi _ {j}} {\ varphi _ {s}}}}
Når vi tar de tre forbrukte mengdene , og , kan vi skrive:
qo{\ displaystyle q_ {o}}qj{\ displaystyle q_ {j}}qs{\ displaystyle q_ {s}}
∑α=1hTMSojα=TTPoj{\ displaystyle \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} TMS_ {oj} ^ {\ alpha} = TTP_ {oj}}
TMSjsα=TTPjs{\ displaystyle TMS_ {js} ^ {\ alpha} = TTP_ {js}}
Det andre forholdet, relatert til private varer j og s, er identisk med det som oppnås i velferdsøkonomi . Marginalsubstitusjonsrater (MRS) må være lik transformasjonshastigheter for produkter (TTP). Den første relasjonen gir oss optimalitetsbetingelsen for det offentlige gode. Summen av marginale substitusjonsnivåer (mellom det offentlige og ethvert privat gode) for alle forbrukere må være lik transformasjonshastigheten for produktene.
Bibliografi
- Michael Pickhardt: Femti år etter Samuelsons "Den rene teorien om offentlige utgifter": Hva sitter vi igjen med? I: Journal of the History of Economic Thought. 28, nr. 4, 2006, S. 439–460.
- Agnar Sandmo: Offentlige varer. I: Steven N. Durlauf og Lawrence E. Blume (red.): The New Palgrave Dictionary of Economics. Palgrave Macmillan, Internett http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_P000245&edition=current#sec1 (Online-utgave).
- Paul Samuelson: Den rene teorien om offentlige utgifter. I: The Review of Economics and Statistics. 36, nr. 4, 1954, S. 387–389.
Se også
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">