Nedbrytningskropp

I matematikk og mer presist i algebra i teorien om kommutative felt , er et nedbrytningsfelt , eller noen ganger rotfelt eller til og med distribusjonsfelt , av et ikke-null polynom P et minimalt feltforlengelse som P er delt på . Vi viser at et ikke-null polynom alltid har en nedbrytningskropp, unik opp til isomorfisme, og at dette er en endelig og normal utvidelse .

Hvis dessuten polynomet kan skilles , er det en Galois-utvidelse . Den teori for Galois da gjelder særlig den teorem av det primitive element og den fundamentalteoremet av teorien om Galois .

Definisjon

Gitt et kommutativt felt K og et ikke-null polynom P med koeffisienter i K , er et dekomponeringsfelt fra P over K en forlengelse L av K slik at:

• P er delt over L , dvs. produkt av første grads polynomer i L [ X ];
• røttene av P- i L generere L i løpet av K , det vil si at det ikke er noen annen subfield av L som selv inneholdende K , og røtter av P .

I en gitt algebraisk lukking Ω eksisterer det en unik underforlengelse av Ω som også er et dekomponeringsfelt av P  : det er underforlengelsen av Ω generert av røttene til P i Ω. Generelt er ethvert dekomponeringsfelt av P isomorf til dette underfeltet av Ω.

Forslag. - Ethvert ikke-null polynom P av K [ X ] har et dekomponeringsfelt, unikt opp til isomorfisme. Dette er en endelig utvidelse av K, og det er en underforlengelse av enhver utvidelse som P er delt på.

Eksistens og unikhet fram til isomorfisme kan demonstreres direkte (uten å anta, som ovenfor, eksistens og unikhet opp til isomorfisme nær en algebraisk lukking).

• Eksistensen av et nedbrytningslegeme L av endelig grad:
  det er bevist ved induksjon på graden av polynom P , ved å iterere konstruksjonen av bruddlegemer .
  Faktisk, hvis P er en konstant eller nivå 1, K er en nedbrytning legeme P . Hvis P er av høyere grad, da
  • la P har en faktor grad 1, P = ( X - α) Q , og et dekomponeringsfelt av Q , som eksisterer ved induksjonshypotese, er et dekomponeringsfelt av P  ;
  • enten P har en irreduserbar faktor av grad> 1; så har den en faktor grad 1 i et bruddfelt av denne irredusible faktoren, dvs. K 'som inneholder K , og vi konkluderer med induksjonshypotesen som i forrige tilfelle.
• L er en underforlengelse av en hvilken som helst forlengelse som P er delt på:
  vi viser det ved induksjon på graden [ L : K ] av den (endelige!) Forlengelsen, og bruker den til et irreduserbart polynom Q ( X ), bruddlegemet er isomorf til K [ X ] / ( Q ( X )). For induksjon generaliserer vi eiendommen for å bevise. La K og K 'være to felt isomorf ved φ, P polynom over K , og φ ( P ), dens bilde av den induserte isomorfismen (som vi også betegner med φ). La L 'være en utvidelse av K' som φ ( P ) er delt over. Vi vil vise, ved induksjon på graden [ L : K ], at φ strekker seg til en injeksjonsmorfisme fra L til L ' .
  • Resultatet er åpenbart hvis denne graden er lik 1.
  • Ellers er det fordi P har en irredusibel faktor Q av grad> 1, som derfor har en rot α i L hvis bilde φ (α) er roten til φ ( Q ) i L '  ; K [α] er et bruddlegeme av Q på K akkurat som K ' [φ (α)] er et bruddlegeme av φ ( Q ), ureduserbart på K' . Feltene K [α] og K ' [φ (α)] er derfor isomorfe (fordi isomorf for de to isomorfe feltene K [ X ] / ( Q ) og K' [ X ] (φ ( Q ))) av ψ som strekker seg φ. Nå er L et dekomponeringsfelt av P over K [α] og L ' er en forlengelse av K' [φ (α)] som φ ( P ) er delt over. Graden [ L : K [α]] er strengt mindre enn [ L : K ] (fordi [ L : K ] = [ L : K [α]] [ K [α]: K ] og [ K [α]: K ] er graden av Q som er> 1). Ved induksjonshypotese strekker ψ seg til en injeksjonsmorfisme fra L til L ' , som derfor strekker seg φ.
• Enhver nedbrytningskropp av P er isomorf til L:
  La L være et annet dekomponeringslegeme. I følge det forrige punktet er det en overforlengelse av L , det vil si at det eksisterer en injeksjons- K- morfisme into fra L til L ' . Siden P er delt over L , tilhører alle røttene til P i L ' bildet av θ (fordi de er bildene av røttene til P i L ), slik at dette bildet er L' heltall og at θ er en isomorfisme.

Merk at en utvidelse av et felt K bare kan inneholde ett nedbrytningsfelt av et polynom P over K , mens det kan inneholde flere bruddfelt (isomorf mellom dem) av dette.

Eksempler

Nedbrytningsfeltet til polynom X 2 + 1 over feltet med reelle tall er feltet av komplekser .

Polynomet P ( X ) = X 3 - 2 er irredusibelt på feltet ℚ av rasjonelle tall (faktisk har ethvert polynom av grad 3 som ikke er redusert, en rasjonell rot). La r være den virkelige kubiske roten til 2, og j være en av de to primitive (komplekse) kubiske rotene til enheten . De to andre røttene til P er j r og j 2 r . Nedbrytningsfeltet til P over ℚ er L = ℚ ( r , j r , j 2 r ).

Nedbrytningskroppen til P kan konstrueres som i eksistensbeviset ovenfor.

Vurder utvidelsen K 1 lik ℚ ( r ), dvs. utvidelsen generert av r . Siden P er ikke-reduserbare , er det et brudd felt av P , isomorf med ℚ [ X ] / ( P ), hvis basis er (1, r , r 2 ).

På K 1 har polynomet P en rot r . En divisjon av P ( X ) av polynomet X - r gir likeverdigheten:

P(X)=(X-r)(X2+rX+r2)=(X-r)(X+(1/2+s)r)(X+(1/2-s)r) med s=32Jeg.{\ displaystyle P (X) = (Xr) (X ^ {2} + rX + r ^ {2}) = (Xr) (X + (1/2 + s) r) (X + (1 / 2- s) r) {\ mbox {with}} s = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ mathrm {i}.}

Vi utleder at L er lik K 1 ( s ) som er en utvidelse av grad 2 av K 1 og hvis base er {1, s }.

Vi har likhet på gradene [ L : ℚ] = [ L : K 1 ] [ K 1 : ℚ] = 3 × 2 = 6 ( jf. Definisjoner og første egenskaper for algebraiske utvidelser ). Vi utleder at et grunnlag for L på ℚ er {1, r, r 2 , s, rs, r 2 s }.

Galois-utvidelse

• Nedbrytningskroppen til et separerbart polynom, oppnådd ved å tilsette et begrenset antall separerbare elementer, er en endelig separerbar forlengelse av basisfeltet. Det primitive elementsetningen gjelder: utvidelsen er enkel .
• Enhver nedbrytningskropp er en normal forlengelse . La r 1 ,…, r n faktisk være røttene til P i Ω. Da er L lik K ( r 1 ,…, r n ). Enhver morfisme fra L til Ω gjennomsyrer røttene, så etterlater L stabil . Hvis P kan skilles, er utvidelsen derfor Galois .
• Vi antar at polynomet P kan skilles. Den Galois gruppen av dekomponeringen feltet P opererer transitively på settet R av røttene av P dersom, og bare dersom, den polynomet P er ureduserbar.

Faktisk, hvis P er ikke-reduserbare, er det et produkt av to polynomer P- 1 og P- 2 strengt positive grader. settet med røtter til P 1 er løsrevet fra settet med røtter til P 2 fordi P kan skilles. Bildet av en morfisme, element av Galois-gruppen, av en rot av P 1 er nødvendigvis en rot av dette polynomet, kan derfor ikke være en rot av P 2 , noe som beviser at gruppen ikke opererer transitt. Derimot, hvis P er ikke-reduserbar, α og β er to røtter av P . La m være morfismen til K (α), i K (β) som til α assosierer β. Den generelle egenskapen vist ovenfor (ved induksjon, i beviset på proposisjonen) viser at morfismen til felt m strekker seg til en automorfisme σ av nedbrytningsfeltet. Det er således et element σ i Galois-gruppen slik at σ (α) = β, som viser at gruppen opererer transitt.

Merknader og referanser

1. Alain Kraus, "  Theory of Galois: DEA crash course  " , University of Paris 6 ,1998.
2. Eller “root body”  : Henri Lombardi and Claude Quitté, Commutative Algebra - Constructive Methods - Finite-type projective modules , Calvage & Mounet,2016( 1 st  ed. 2011) ( arxiv  1611,02942 , elektronisk presentasjon ) , s.  117.
3. A.-M. Simon, "  Bac 2-kurs i matematikk: En første kontakt med tallteori  " , på ULB ,2010, s.  99, foretrekker terminologien: "body of deployment", men påpeker at "visse forfattere [kaller det" "corps de rupture" ( splitting field på engelsk) eller til og med "body of roots", dette etternavnet er imidlertid litt tvetydig . " Begrepet" bruddkraft "er ikke minst som forklart i artikkelen om å heve kroppen . På engelsk ingen misforståelse: splitting field is indeed the decomposition body.
4. Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detalj av utgaver ], 1981, c. III 7.
5. Denne egenskapen vises for eksempel i: Régine og Adrien Douady , Algèbre et theories galoisiennes [ detalj av utgavene ], 2005, s.  307 .

Bibliografi

• Henri Lombardi og Claude Quitté, kommutativ algebra - Konstruktive metoder - Endelige prosjektive moduler , Calvage & Mounet,2016( 1 st  ed. 2011) ( arxiv  1611,02942 , elektronisk presentasjon ) , s.  105-108 og 433-444 : "Algebra for universell nedbrytning"
• Serge Lang , Algebra [ detalj av utgaver ]
• Pierre Samuel , algebraisk tallteori [ detalj av utgaven ]