Ordnet kropp

I generell algebra , en beordret felt er dataene i et kommutativt felt ( K , +, x), utrustet med en ordre forhold (bemerkes ≤ i artikkelen) som er kompatible med feltet struktur.

Gjennom hele artikkelen betegner vi naturligvis ≥ den gjensidige rekkefølge relasjonen til ≤, og vi betegner <og> de strenge ordenforholdene henholdsvis assosiert med ≤ og ≥. Vi bemerker også 0 det nøytrale elementet i tillegg og 1 multiplikasjon. Merk vanligvis xy produktet av to elementer x og y av K . Endelig bemerker vi x -1 det inverse av et element x er forskjellig fra null K .

Hoveddelen av de oppgitte resultatene (de som ikke involverer begrepet omvendt) kan utvide til kommutative ringer .

Definisjoner

Mer presist, med de foregående notasjonene, sier vi at forholdet mellom orden ≤ er kompatibelt med kroppsstrukturen til K hvis de to følgende betingelser er oppfylt.

1. Den additive gruppe ( K , +) er en gruppe beordret ved forholdet av orden ≤ (det vil si at dette er forenlig med tilsetningen).
2. Vi har for alle elementene x og y i feltet slik at x ≥ 0 og y ≥ 0, ulikheten xy ≥ 0 (rekkefølge er kompatibel med multiplikasjonen).

For enkelhets skyld vil vi i det følgende si at et element x av K er positivt hvis vi har x ≥ 0, og at det er negativt hvis vi har x ≤ 0 (vi vil legge merke til at, ved antisymmetri av forholdet mellom orden ≤, 0 er det eneste elementet i kroppen som er både positivt og negativt).

Eksempler

Feltene ℚ av rasjonelle og ℝ av realer , forsynt med den vanlige ordrerelasjonen , er ordnede felt.

Eiendommer

Vi har først egenskapene relatert til kompatibiliteten til tillegget med ordrerelasjonen (se artikkelen bestilte gruppen for demonstrasjon med andre notasjoner).

• Tilsetningsmedlem til medlem av ulikheter:hvis x ≤ y og x ' ≤ y' så x + x ' ≤ y + y' .
• Bytte til det motsatte i en ulikhet ved å endre retning  :hvis x ≤ y så - y ≤ - x .

Vi har også egenskaper relatert til multiplikasjonens kompatibilitet med ordrerelasjonen.

• Tegnregel  :
  1. hvis x ≤ 0 og y ≤ 0 så xy ≥ 0;
  2. hvis x ≤ 0 og y ≥ 0 så xy ≤ 0;
  3. hvis x ≥ 0 og y ≤ 0 så xy ≤ 0.

Dette trekkes lett fra det andre aksiomet av definisjonen av kompatibilitet, ved å bruke det faktum at et negativt element er det motsatte av et positivt element, og at det motsatte av et element oppnås ved å multiplisere det (til venstre eller til høyre) motsatt av enhet 1.

• Hvis 0 og 1 er sammenlignbare, har vi nødvendigvis 0 ≤ 1.
  Vi har faktisk 1 = 1 × 1, og hvis 0 og 1 er sammenlignbare, har vi enten 0 ≤ 1 eller 1 ≤ 0, men tegnregelen eliminerer andre mulighet.
• Multiplikasjon av ulikhet med et positivt element:hvis x ≤ y og z ≥ 0 så xz ≤ yz og zx ≤ zy .Ja, y - x er da positivt, så yz - xz = ( y - x ) z og zy - zx = z ( y - x ) også.
  Vi utleder lett en regel om multiplisering av ulikheter mellom positive elementer fra medlem til medlem (ved transitivitet av forholdet mellom orden ≤):hvis x ≤ y og x ' ≤ y' og hvis x og y ' eller x' og y er positive, så xx ' ≤ yy' ,samt følgende regel:
• Bytte til det motsatte i en ulikhet mellom strengt positive elementer , ved å endre betydningen  :hvis x –1 > 0, y –1 > 0 og x ≤ y så y –1 ≤ x –1 .(Hvis ordrerelasjonen er total , kan antagelsene x –1 > 0 og y –1 > 0 erstattes av: x > 0.)

Helt ordnet kropp

Vi kaller en helt beordret kroppen en ordnet kropp som ordren forhold er total . For eksempel er feltet ℝ av realer, utstyrt med den vanlige ordrerelasjonen, et totalt ordnet felt, så alle dets underfelt (som feltet ℚ av rasjonelle) også (for den induserte rekkefølgen).

Vi kaller en reell kropp (eller: formelt reell  (in) ) et felt der –1 ikke er en sum av kvadrater. ( Karakteristikken til en slik kropp er derfor null.)

Hvert helt ordnet legeme er formelt ekte

Faktisk, i et totalt ordnet felt, er hvert kvadrat positivt eller null (i henhold til tegnregelen), så enhver sum av kvadrater også, eller –1 er negativ, som det motsatte av kvadratet på 1.

Derfor kan ikke feltet ℂ med komplekse tall (hvor –1 er kvadratet til i ) være utstyrt med en fullstendig ordnet feltstruktur . På den annen side er det enkelt å definere på en ordrerelasjon som enten er total eller kompatibel med kroppsstrukturen.

Eksempler

• Total ordre på ℂ, derfor ikke kompatibel. Den leksikografiske relasjonen ≤ lex , definert av z ≤ lex z ' if, med oppmerksom på z = x + i y og z' = x ' + i y' , med x, y, x ' og y' ekte, har vi enten x < x ' eller x = x' og y ≤ y ' ,(de reelle tallene som sammenlignes med den vanlige rekkefølgen) er totalt, er derfor ikke kompatibel med kroppsstrukturen. Dets helhet trekkes lett ut fra den vanlige ordensforholdet på realene. Men vi har i ≥ lex 0 og i 2 = –1 < lex 0, som strider mot tegneregelen.
• Kompatibel ordre på ℂ, derfor ikke total. Sammenligningsrekkefølgen av reelle deler ≤ re , definert av z ≤ re z ' hvis, med oppmerksom på z = x + i y og z' = x ' + i y' med x, y, x ' og y' ekte, har vi x ≤ x ' og y = y' ,er kompatibel med kroppsstrukturen (fordi rekkefølgen på den virkelige er), er derfor ikke total. Spesielt er tallene 0 og i ikke sammenlignbare for denne relasjonen.

Et felt K sies å være euklidisk hvis det er formelt reelt, og hvis undergruppen av kvadrater i sin multiplikasjonsgruppe K * har indeks 2. Et felt K sies å være pythagorisk hvis, i K , en hvilken som helst sum av kvadrater er en kvadrat (det er tilstrekkelig for dette at for ethvert element x av K er 1+ x 2 et kvadrat). For ethvert felt K er følgende egenskaper ekvivalente:

1. K er euklidisk;
2. K er Pythagorean og det finnes en unik kompatibel totalordre på K ;
3. K er formelt reell, men ingen av dens kvadratiske utvidelser er;
4. –1 er ikke et kvadrat i K og K [ √ –1 ] er kvadratisk lukket (dvs. i dette utvidelsen er hvert element et kvadrat);
5. K er karakteristisk forskjellig fra 2 og har en kvadratisk utvidelse kvadratisk lukket.

Studien av euklidiske legemer er en innledning til den av lukkede virkelige legemer , hvorfra det følger at den tidligere nødvendige tilstanden slik at et legeme kan få en kompatibel total orden (at –1 ikke er en sum av firkanter) også er tilstrekkelig :

En kropp kan bestilles (hvis og bare) fullstendig (kompatibel) hvis den formelt er virkelig.

Merknader og referanser

1. Denne forestillingen skal ikke forveksles med den euklidiske ringen .
2. (in) TY Lam , introduksjon til kvadratiske former over felt , AMS ,2005, 550  s. ( ISBN  978-0-8218-1095-8 , leses online ) , s.  234-235.
3. For at en kvadratisk utvidelse K [ √ d ] av et formelt reelt felt K ikke skal være formelt reelt, er det nødvendig (og tilstrekkelig) at i K , - d er en sum av kvadrater: Lam 2005 , s.  233-234.

Serge Lang , Algebra [ detalj av utgaver ]

Relaterte artikler

• Arkimedisk kropp
• Kroppsnivå