Delvis korrelasjon

Den delvise korrelasjonskoeffisienten , som er nevnt her , gjør det mulig å kjenne verdien av korrelasjonen mellom to variabler A og B, hvis variabelen C hadde holdt seg konstant for den serie observasjoner som ble vurdert. ${\ displaystyle r_ {AB.C}}$

Med andre ord er den delvise korrelasjonskoeffisienten den totale korrelasjonskoeffisienten mellom variablene A og B når de er fjernet fra deres beste lineære forklaring i form av C. Den er gitt av formelen: ${\ displaystyle r_ {AB.C}}$

{\ displaystyle r_ {AB.C} = {\ dfrac {r_ {AB} -r_ {AC} \ cdot r_ {BC}} {{\ sqrt {1-r_ {AC} ^ {2}}} \ cdot { \ sqrt {1-r_ {BC} ^ {2}}}}}}

Geometrisk demonstrasjon

Den raskeste demonstrasjonen av formelen er å stole på den geometriske tolkningen av korrelasjonen (cosinus).

Serien av observasjoner A, B og C, en gang sentrert redusert , er sentrerte vektorer OA, OB, OC av enhetslengde:

Endene deres bestemmer en sfærisk trekant ABC, hvis sider a , b og c er buene til store sirkler BC, AC og AB. Korrelasjonskoeffisientene mellom disse vektorene er , og . Deretter gir den grunnleggende loven til de sfæriske trekantene , for vinkelen C, følgende forhold mellom cosinusene: ${\ displaystyle r_ {BC} = \ cos a}$ ${\ displaystyle r_ {AC} = \ cos b}$ ${\ displaystyle r_ {AB} = \ cos c}$

{\ displaystyle \ cos C = {\ dfrac {\ cos c- \ cos a \ cdot \ cos b} {\ sin a \ cdot \ sin b}} = {\ dfrac {\ cos c- \ cos a \ cdot \ cos b} {{\ sqrt {1- \ cos ^ {2} a}} \ cdot {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} b}}}}}

Akkurat som c er vinkelen mellom punktene A og B, sett fra midten av sfæren, er C den sfæriske vinkelen mellom punktene A og B, sett fra punkt C på overflaten av sfæren, og er "delvis korrelasjon" mellom A og B når C er løst. ${\ displaystyle r_ {AB.C} = \ cos C}$

Bruksområder

Begrepet delvis korrelasjon brukes:

i multippel lineær regresjonsmodellering ;
i dataanalyse ved ikonografi av sammenhenger .

Referanser

(i) GU Yule (1897). Om betydningen av Bravais 'formler for regresjon, osv., I tilfelle skjev korrelasjon. Proc. Royal Soc. London Ser. A 60, 477-489.
(i) RA Fisher (1924). Fordelingen av den delvise korrelasjonskoeffisienten . Metron 3 (3–4): 329–332.
(en) Matematiske formler i "Beskrivelse" -delen av IMSL PCORR-rutinen