Kubikk av Tschirnhausen
I geometri er Tschirnhausen-kubikken en algebraisk kurve definert av polligningen
r=påtørke3(θ/3).{\ displaystyle r = a \ sec ^ {3} (\ theta / 3).}
Historie
Denne kurven ble studert av Ehrenfried Walther von Tschirnhaus , Guillaume de l'Hôpital og Eugène Catalan . Navnet "Tschirnhausen cubic" ble først nevnt i 1900 av Raymond Clare Archibald, selv om det noen ganger er kjent som "Hospital cubic" eller "Catalan trisectrix".
Andre ligninger
La t = tan ( θ / 3) . I følge De Moivres formel gir dette:
x=påcos(θ)tørke3(θ3)=på[cos3(θ3)-3cos(θ3)synd2(θ3)]tørke3(θ3)=på[1-3solbrun2(θ3)]=på(1-3t2),{\ displaystyle x = a \ cos (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [\ cos ^ {3} \ left ({ \ frac {\ theta} {3}} \ right) -3 \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ høyre) \ høyre] \ sec ^ {3} \ venstre ({\ frac {\ theta} {3}} \ høyre) = a \ venstre [1-3 \ tan ^ {2} \ venstre ( {\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] = a (1-3t ^ {2}),}![{\ displaystyle x = a \ cos (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [\ cos ^ {3} \ left ({ \ frac {\ theta} {3}} \ right) -3 \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ høyre) \ høyre] \ sec ^ {3} \ venstre ({\ frac {\ theta} {3}} \ høyre) = a \ venstre [1-3 \ tan ^ {2} \ venstre ( {\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] = a (1-3t ^ {2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c78d425f87ac9e1a5b902b529b8bc9628046866)
y=påsynd(θ)tørke3(θ3)=på[3cos2(θ3)synd(θ3)-synd3(θ3)]tørke3(θ3)=på[3solbrun(θ3)-solbrun3(θ3)]=påt(3-t2).{\ displaystyle y = a \ sin (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [3 \ cos ^ {2} \ left ( {\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) - \ sin ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ høyre) \ høyre] \ sek ^ {3} \ venstre ({\ frac {\ theta} {3}} \ høyre) = a \ venstre [3 \ tan \ venstre ({\ frac {\ theta } {3}} \ høyre) - \ tan ^ {3} \ venstre ({\ frac {\ theta} {3}} \ høyre) \ høyre] = ved (3-t ^ {2}).}![{\ displaystyle y = a \ sin (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [3 \ cos ^ {2} \ left ( {\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) - \ sin ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ høyre) \ høyre] \ sek ^ {3} \ venstre ({\ frac {\ theta} {3}} \ høyre) = a \ venstre [3 \ tan \ venstre ({\ frac {\ theta } {3}} \ høyre) - \ tan ^ {3} \ venstre ({\ frac {\ theta} {3}} \ høyre) \ høyre] = ved (3-t ^ {2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e810e64889f4c5d96bbc2b3274ea93736f9a47b)
som gir en parametrisk ligning . Parameteren t kan lett elimineres, noe som gir den kartesiske ligningen
27påy2=(på-x)(8på+x)2{\ displaystyle 27ay ^ {2} = (ax) (8a + x) ^ {2}}
.
Dersom kurven er horisontalt settes ved 8 en , blir ligningene
x=3på(3-t2) , y=påt(3-t2){\ displaystyle x = 3a (3-t ^ {2}) \, \ y = at (3-t ^ {2})}
eller
x3=9på(x2-3y2){\ displaystyle x ^ {3} = 9a \ left (x ^ {2} -3y ^ {2} \ right)}
,
som gir polarformen
r=9påtørke(θ)(1-3solbrun2θ){\ displaystyle r = 9a \ sec (\ theta) \ left (1-3 \ tan ^ {2} \ theta \ right)}
.
Eiendommer
Kaustisk
De parabol etsende stoffer , når lyskilden er ved uendelig, er Tschirnhausen kubiske polynomer. Det er redusert til et punkt, fokus på parabolen, når retningen til kilden er parabelens akse.
Se også
Relaterte artikler