Syklus (algebraisk geometri)

I algebraisk geometri er sykluser formelle kombinasjoner av ikke-reduserbar lukket av et gitt skjema . Kvotienten til ringene ved en passende gruppeekvivalensrelasjon fører til Chow-grupper (fr) som er grunnleggende objekter.

Alle ordningene som er vurdert her vil antas å være eteriske av endelig dimensjon .

Definisjon

Vi fikser et skjema som vi antar å være eterisk av endelig dimensjon . For ethvert positivt eller null heltall kaller vi -cycle irreducible (resp. -Cycle irreducible ) av en irreducible closed of dimension (resp. Codimension ). A- sykkel er en endelig formell kombinasjon $X$ $d$ $s$ $s$ $s$ $X$ $s$ $s$ $s$

${\ displaystyle \ sum _ {i} n_ {i} [Z_ {i}]}$

hvor koeffisientene er relative heltall, og der de er irredusible -cykler. Tilsvarende er -cocycles definert. Settet med -cykler er en kommutativ gruppe, som dessuten er den frie abeliske gruppen generert av irredusible lukkede av dimensjon av . Vi noterer oss denne gruppen . Tilsvarende er gruppen av sykluser betegnet . Vi merker at disse gruppene er null hvis . $eller$ $Z_ {i}$ $s$ $s$ $s$ $s$ $X$ ${\ displaystyle Z_ {p} (X)}$ ${\ displaystyle Z ^ {p} (X)}$ ${\ displaystyle p> n}$

1-syklusene kalles Weils delere . De er derfor hele kombinasjoner av ikke-reduserbar lukket av kodimensjon 1. Husk at en irredusibel lukket er av kodimensjon 1 hvis den ikke er en irredusibel komponent av , og hvis noen irreduserbar lukket som strengt inneholder den er en irredusibel komponent av . $X$ $X$

Den direkte (endelige) summen av er syklusgruppen til . ${\ displaystyle Z_ {p} (X)}$ $X$

Eksempler

Gruppen genereres av de irredusible komponentene i . ${\ displaystyle Z ^ {0} (X)}$ $X$

Gruppen er generert av irredusible komponenter med maksimal dimensjon. ${\ displaystyle Z_ {d} (X)}$ $X$

Gruppen genereres av de lukkede punktene i . Dette er 0-syklusene. ${\ displaystyle Z_ {0} (X)}$ $X$

Gruppen genereres visse lukkede punkter (de som er meddimensjonale ). ${\ displaystyle Z ^ {d} (X)}$ $d$

Anta at det ikke kan reduseres av dimensjon 1. Da . $X$ ${\ displaystyle Z_ {0} (X) = Z ^ {1} (X)}$

Hoveddeler og hovedsyklus

La være en lokal Noetherian-ring av dimensjon 1. La være et vanlig ikke-inverterbart element av . Vi definerer rekkefølgen som lengden på - Artinian-modulen . Legg merke til det . Vi viser at kartordet er additiv og derfor induserer en homomorfisme av grupper der betegner den totale ringen av brøkdeler av . Legg merke til at hvis er integrert, er den totale ringen av brøker ganske enkelt brøkfeltet. $PÅ$ $f$ $PÅ$ $f$ $PÅ$ ${\ displaystyle A / fA}$ ${\ displaystyle {\ rm {ord}} (f)}$ ${\ displaystyle {\ rm {Frac}} (A) ^ {*} \ til {\ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Frac} (A)}$ $PÅ$ $PÅ$

Anta integritet. La være en ikke-null rasjonell funksjon på (det er derfor et element i feltet for brøkdeler av for alle åpne ). For enhver irredusibel lukket av kodimensjon 1, av generisk punkt , har den lokale ringen dimensjon 1. Vi noterer rekkefølgen til brøkdelen i den lokale ringen . Vi stiller $X$ $f$ $X$ $O_X (U)$ $U$ $Z$ $\ xi$ ${\ displaystyle O_ {X, \ xi}}$ ${\ displaystyle {\ rm {ord}} _ {\ xi} (f)}$ $f$ ${\ displaystyle O_ {X, \ xi}}$

${\ displaystyle {\ rm {div}} (f) = \ sum _ {\ xi} {\ rm {ord}} _ {\ xi} (f) [Z _ {\ xi}]}$

hvor summen krysser punktene i kodedimensjon 1, og hvor det for skriving er Zariski-vedheft av (det er en irredusibel 1-syklus). Vi viser lett (fordi det er Noetherian) at det er en endelig sum. Vi har derfor en Weil-skiller. En slik skillelinje kalles en hoveddeler på . Vi har $\ xi$ ${\ displaystyle Z _ {\ xi}}$ ${\ displaystyle \ {\ xi \}}$ $X$ $X$

${\ displaystyle {\ rm {div}} (fg) = {\ rm {div}} (f) + {\ rm {div}} (g)}$

og . ${\ displaystyle {\ rm {div}} (1) = 0}$

Ved forlengelse, hoved divisorene de ikke-reduserbare lukket seg i danner en undergruppe av kalt gruppe av de viktigste sykluser av . For eksempel hvis er av dimensjon 2, vil det være hoveddelere av , men også 0-sykluser som er prinsipielle i ikke-reduserbar lukket av dimensjon 1 av . $X$ ${\ displaystyle Z (X)}$ $X$ $X$ $X$ $X$

Vi betegner kvotientgruppen etter undergruppen til hovedsyklusene. Bildene av og i er notert og . Dette er gruppene Chow (in) til . ${\ displaystyle {\ rm {CH}} (X)}$ ${\ displaystyle Z (X)}$ ${\ displaystyle Z ^ {p} (X)}$ ${\ displaystyle Z_ {p} (X)}$ ${\ displaystyle {\ rm {CH}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ rm {CH}} ^ {p} (X)}$ ${\ displaystyle {\ rm {CH}} _ {p} (X)}$ $X$

Vi vil si, selv om dette involverer patologier bortsett fra de integrerte algebraiske varianter, at to sykluser ut av er rasjonelt ekvivalente hvis forskjellen tilhører gruppen av hovedsykluser. $X$

Grad av en 0-syklus

Vi antar at det er en algebraisk variasjon over et felt (dvs. det er en endelig ordning). For ethvert lukket punkt (derav irreduserbar 0-syklus) er restfeltet en endelig utvidelse av . Hvis er en 0-syklus, definerer vi graden med Det er et heltall som avhenger av basisfeltet . Gradskartet er en homomorfisme ℤ. $X$ $k$ $k$ $x$ $k (x)$ $k$ ${\ displaystyle Z = \ sum _ {i} n_ {i} [x_ {i}]}$ ${\ displaystyle \ deg Z = \ sum _ {i} n_ {i} [k (x_ {i}): k].}$ $k$ ${\ displaystyle Z_ {0} (X) \ to}$

Teorem - La være en skikkelig algebraisk manifold (for eksempel prosjektiv) over et felt . La være en hoved 0-syklus. Så er det av grad 0. $X$ $k$ $Z$

Dette betyr at når det gjelder riktige algebraiske manifolder, induserer gradskartingen en homomorfisme av grupper ${\ displaystyle {\ rm {CH}} _ {0} (X) \ til {\ mathbb {Z}}.}$

Resultat . La være en prosjektiv kurve på et felt, så induserer gradskartet en homomorfisme av grupper av in . $X$ ${\ displaystyle CH ^ {1} (X) = CH_ {0} (X)}$ ${\ mathbb Z}$

Funksjonalitet

La være en morfisme. La være et irreduserbart lukket punkt, med et generisk punkt . Vi stiller $f: X \ til Y$ $Z$ $\ xi$

${\ displaystyle f _ {*} [Z] = [k (\ xi): k (f (\ xi)] [f (Z)]}$ hvis utvidelsen er ferdig, og hvis ikke. ${\ displaystyle k (\ xi) / k (f (\ xi))}$ ${\ displaystyle f _ {*} [Z] = 0}$

Dette induserer en homomorfisme av grupper . Når er spekteret av et felt og det er av begrenset type, for enhver 0-syklus , har vi hvor er den unike 0-syklusen til Spec k. ${\ displaystyle f _ {*}: Z (X) \ til Z (Y)}$ $Y$ $k$ $f$ $Z$ ${\ displaystyle f _ {*} Z = (\ deg Z) .e}$ $e$

Korrespondanse

Bibliografiske referanser

William Fulton , Intersection Theory , to th ed., Springer, 1998

Relaterte artikler

Standard antagelser om algebraiske sykluser (in)