I fysikk er en grad av frihet (forkortet dof eller DDL ) en uavhengig parameter i den formelle beskrivelsen av tilstanden til et fysisk system , eller kanskje mer presist av et dynamisk system . Begrepet parameter skal tas her i vid forstand, som et informasjonselement, vanligvis et tall, identifisert med en fysisk størrelse . Avgjørende, denne parameteren må ha friheten til å utvikle seg uten begrensninger.
Dette veldig generelle begrepet frihetsgrad brukes i mange fysikkfelt ( mekanikk , statistisk fysikk , kjemi , kvantefeltteori , ...), så vel som i ren matematikk ( statistikk ). Vi viser noen eksempler i denne delen.
I maskinteknikk , frihetsgrader angir de forskjellige muligheter for bevegelse på plass. Se artikkelen frihetsgrad (maskinteknikk) . Denne bruken av uttrykket er lik den som brukes i typologien av molekylære vibrasjoner . I det sistnevnte rammeverket (beskrivelse av molekylære bevegelser) identifiseres to typer frihetsgrader: de ytre frihetsgrader , 6 i antall, tilsvarende molekylets bevegelser i rommet (oversettelser og rotasjoner), og grader av indre frihet , tilsvarende molekylets deformasjoner sammenlignet med dens likevektskonformasjon.
I tre dimensjoner er det 6 frihetsgrader knyttet til bevegelsen av en partikkel, 3 for dens posisjon, 3 for dens momentum . Det er derfor 6 frihetsgrader totalt. En annen måte å rettferdiggjøre dette skjemaet på er å vurdere at molekylets bevegelse vil bli beskrevet av bevegelsen av to mekaniske partikler som representerer dets to atomer, at 6 frihetsgrader er festet til hver partikkel, som ovenfor. Med denne videre betraktningen ser det ut til at forskjellige sett med frihetsgrader kan defineres for å definere molekylets bevegelse. Faktisk er frihetsgraden for et mekanisk system et sett med uavhengige akser i systemets faseplass , som gjør det mulig å generere det helt. For et flerdimensjonalt rom som faseplass, er det mer enn ett mulig sett med akser. Det er fastslått at alle frihetsgraden til hydrogenmolekylet ikke deltar i uttrykket for dets energi . For eksempel deltar ikke gradene knyttet til plasseringen av massesenteret.
I tabellen nedenfor blir gradene neglisjert på grunn av deres lille innflytelse på den totale energien, med mindre de har veldig høye temperaturer eller energier. Diatomisk rotasjon er neglisjert på grunn av rotasjon rundt molekylære akser. Monatomisk rotasjon blir neglisjert av samme grunn som diatomisk, men denne effekten er gyldig i de to andre retningene.
Monoatomisk | Lineære molekyler som består av N-atomer | Ikke-lineære molekyler som består av N-atomer | |
---|---|---|---|
Posisjon (x, y og z) | 3 | 3 | 3 |
Rotasjon (x, y og z) | 0 | 2 | 3 |
Vibrasjon | 0 | 3N - 5 | 3N - 6 |
Total | 3 | 3N | 3N |
I den ideelle kjedemodellen trengs to vinkler for å beskrive orienteringen til hver monomer .
I statistisk fysikk er en grad av frihet et unikt tall som beskriver en mikrostat i et system. Spesifikasjonen av alle mikrostatene i et system er et punkt i systemets faseplass .
Beskrivelsen av tilstanden til et system som et punkt i fasens rom, mens det er matematisk praktisk, er grunnleggende unøyaktig. I kvantemekanikken erstattes gradene av bevegelsesfrihet (i Schrödingers representasjon ) med begrepet bølgefunksjon, og operatørene som tilsvarer andre frihetsgrader har diskrete spektre . For eksempel har spinnoperatoren til et elektron eller et foton bare to egenverdier . Denne diskontinuiteten blir tydelig når handlingen har en størrelsesorden nær Plancks konstant og de individuelle frihetsgrader kan skille seg ut.
(Se også diskusjonen om frihetsgrader i artikkelen om kvantemekanikk i Heisenberg-representasjonen. )
I kvantefeltteoriSettet av frihetsgrader for et system er uavhengig hvis energien knyttet til settet kan skrives i følgende form:
hvor er en funksjon av enkeltvariabelen .
Eksempel: hvis og er to frihetsgrader, og er den tilknyttede energien:
Dersom er et sett av uavhengige frihetsgrader deretter, ved termodynamisk likevekt , er statistisk uavhengige av hverandre.
For i fra 1 til N fordeles verdien av den første graden av frihet i henhold til en Boltzmann-lov . Dens sannsynlighetstetthetsfunksjon er som følger:
,I denne delen, og etterpå, angir gjennomsnittet av mengden de omgir.
Den indre energien i systemet er summen av de gjennomsnittlige energiene som er knyttet til hver av frihetsgradene:
. DemonstrasjonVi vil senere postulere at energiutvekslingen til det vurderte systemet gjøres med utsiden, og at antall partikler i systemet er konstant, det vil si at vi plasserer oss i det kanoniske settet . Husk at i statistisk fysikk forblir et resultat som er demonstrert for et system sant for dette systemet ved den termodynamiske grensen i ethvert sett. I det kanoniske settet, ved termodynamisk likevekt , fordeles systemets tilstand blant mikrostatene i henhold til en Boltzmann-fordeling . Dersom er den temperaturen for systemet og den Boltzmanns konstant , da den sannsynlighetstetthetsfunksjon knyttet til hver microstate er som følger:
,Dette uttrykket blir til et produkt av vilkår avhengig av en enkelt grad av frihet:
Eksistensen av en slik utvikling av sannsynlighetstetthetsfunksjonen til et funksjonsprodukt av en enkelt variabel er i seg selv tilstrekkelig til å demonstrere at de er statistisk uavhengige av hverandre.
Hver funksjon blir normalisert , følger det at sannsynlighetstetthetsfunksjonen for den frihetsgrad , for i fra 1 til N .
Til slutt er den interne energien i systemet den gjennomsnittlige energien. Energien til en grad av frihet er en funksjon av den eneste variabelen . Siden de er statistisk uavhengige av hverandre, er det også energiene . Den totale interne energien i systemet kan da skrives som:
.En grad av frihet er kvadratisk hvis de tilknyttede energibetingelsene kan skrives:
,hvor er en lineær kombinasjon av andre kvadratiske frihetsgrader.
For eksempel hvis og er to frihetsgrader, og tilhørende energi:
I klassisk mekanikk , er dynamikken er av et system av kvadratiske frihetsgrader styres av et sett av lineære differensialligninger med konstante koeffisienter .
Kvadratiske og uavhengige grader av friheter kvadratiske og uavhengige frihetsgrader hvis energien knyttet til en mikrostat i systemet som de beskriver kan skrives:
. LikestillingssetningI klassisk statistisk fysikk , ved termodynamisk likevekt , er den indre energien til et system med N- uavhengige og kvadratiske frihetsgrader:
. DemonstrasjonHer er den gjennomsnittlige energien forbundet med en grad av frihet:
.Frihetsgradene er uavhengige, den indre energien i systemet er lik summen av gjennomsnittlig energi assosiert med hver grad av frihet, noe som demonstrerer resultatet.