Avstand mellom to punkter på det kartesiske planet

I det kartesiske planet defineres punkter ved hjelp av deres kartesiske koordinater .

La og to punkter i det kartesiske planet være koordinatene til punktet og koordinatene til punktet . Da er avstanden på flyet: PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}(xPÅ,yPÅ){\ displaystyle (x_ {A}, y_ {A})}PÅ{\ displaystyle A}(xB,yB){\ displaystyle (x_ {B}, y_ {B})}B{\ displaystyle B} PÅB{\ displaystyle AB}

PÅB=(xB-xPÅ)2+(yB-yPÅ)2.{\ displaystyle AB = {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2}}}.}

Demonstrasjon

La koordinatpunktet være . VS{\ displaystyle C}(xPÅ,yB){\ displaystyle (x_ {A}, y_ {B})}

xPÅ=xVS⇒PÅVS=|yVS-yPÅ|{\ displaystyle x_ {A} = x_ {C} \ Rightarrow AC = | y_ {C} -y_ {A} |}og er loddrett; (PÅVS){\ displaystyle (AC)}

yB=yVS⇒BVS=|xVS-xB|{\ displaystyle y_ {B} = y_ {C} \ Rightarrow BC = | x_ {C} -x_ {B} |}og er horisontal; (BVS){\ displaystyle (BC)}

derfor . (PÅVS)⊥(BVS){\ displaystyle (AC) \ perp (BC)}

I følge Pythagoras teorem ,

PÅB2=BVS2+PÅVS2=|xVS-xB|2+|yVS-yPÅ|2=|xPÅ-xB|2+|yB-yPÅ|2=(xB-xPÅ)2+(yB-yPÅ)2{\ displaystyle {\ begin {align} AB ^ {2} & = BC ^ {2} + AC ^ {2} \\ & = | x_ {C} -x_ {B} | ^ {2} + | y_ { C} -y_ {A} | ^ {2} \\ & = | x_ {A} -x_ {B} | ^ {2} + | y_ {B} -y_ {A} | ^ {2} \\ & = (x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2} \ end {aligned}}}

derfor

PÅB=(xB-xPÅ)2+(yB-yPÅ)2.{\ displaystyle AB = {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2}}}.}

Se også

Begrepet avstand i matematikk

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">