Flydynamikk i nærvær av vindkast
De dynamikk uren i nærvær av vindkast er studiet av oppførselen til et luftfartøy i nærvær av en luftstrøm som skiller seg fra en laminær strømning , det vil si en turbulent strømning forårsaket av horisontale vindkast og / eller et vertikalt vindskjær . . Denne turbulensen er definert av Federal Aviation Administration (FAA) på et rent kvalitativt grunnlag og kan ikke forutsi hva som er risikoen forbundet med et fly under gitte omstendigheter. En mer kvantitativ definisjon gitt av International Civil Aviation Organization (ICAO) uttrykkes som diffusjonshastigheten for vortexenergi uttrykt i m 2 / s 3 . Denne siste definisjonen tar imidlertid ikke hensyn til flyets masse og hastighet, mens en seilfly vil være mye mer følsom for lav turbulens enn tunge passasjerfly. Det er derfor viktig å presentere en mer presis formulering.
Den forenklede formuleringen av reaksjonen av en glider i nærvær av horisontale eller vertikale vindkast er lite nærmet i litteraturen, bortsett fra av Schmidt, Asselin og kanskje noen få andre forfattere. Imidlertid, i motsetning til den populære troen på at tordenvær er den alvorligste (berettigede) faren for luftfart, kan små skyer som ser ganske ufarlige ut, oppløse en seilfly som forårsaker belastningsfaktorer på 16. ved 20 G som Larry Edgar led 25. april 1955.
I tillegg vil et frontvind på 70 km / t påført en seilfly som flyr i 70 km / t føre til en belastningsfaktor på 4 G. Dette kan forekomme i underbølgelaget ( rotorer assosiert med fjellbølger ). Det kan være det samme i tordenvær. Selv kraftige termiske oppdrag kan generere betydelige belastningsfaktorer som ikke er en reell fare for seilfly, men som kan være til ulempe for andre brukerkategorier.
Rask estimering av belastningsfaktorer
Turbulens og virvling (virvling)
La v være hastighetsfeltet, vi kaller virvling på et punkt følgende mengde:
η→=∇→∧v→{\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {v}}}Denne mengden beskriver vortexbevegelsen i luften. Dermed jo større virvelighet, jo større intensitet føltes turbulensen som forklart nedenfor.
Vold mot turbulens som en funksjon av flyets hastighet
Kort oppsummert, vil alle luftforhold som genererer opptrekk som kan brukes av en seilflypilot kalles turbulens av en drevet flypilot fordi sistnevnte ikke kan (eller ikke vil) utnytte disse opptrekkene. Dessuten, jo raskere flyet vil fly, jo mer vil det bli utsatt for betydelige belastningsfaktorer som estimeres i det følgende. La d være avstanden mellom en oppstramning av vertikal hastighet w og en nedgang med vertikal hastighet -w og la u være flyets hastighet. Gjennomsnittlig akselerasjon som dette flyet opplever vil:
på=2wud{\ displaystyle a = {2wu \ over d}}Vi vurderer en ganske sterk termisk heis der w = 5 m / s , u = 125 m / s (maksimal tillatt hastighet opp til 10.000 fot ) og d = 100 m (gjennomsnittlig avstand mellom heisen og nedstigningen). Vi får da a = 12,5 m / s 2 som er større enn tyngdekraftens akselerasjon (10 m / s 2 ). Passasjeren eller piloten til dette flyet vil kvalifisere denne turbulensen som alvorlig . En glidepilot som flyr med 20 m / s vil imidlertid oppleve en akselerasjon på 2 m / s 2 og vil kvalifisere denne turbulensen som liten. I tillegg vil denne piloten midtstille denne stigende kolonnen riktig og finne seg i den laminære kjernen til heisen og vil neppe bli utsatt for turbulens lenger.
Forbigående fenomener
Heaviside-funksjon
Vi betrakter et seilfly som har fallende hastighet i stille luft og flyr i stille luft, og som plutselig trenger inn ved t = 0 i en stigning av vertikal hastighet w a . Det antas at før du går inn i den stigende kolonnen, er glidebanen stabilisert. Så når gliden går inn i den stigende kolonnen, er dens vertikale hastighet som følger:
w∞{\ displaystyle w _ {\ infty}}
w(t)=wpå-w∞-wpåe-tτ{\ displaystyle w (t) = w_ {a} -w _ {\ infty} -w_ {a} e ^ {- {t \ over \ tau}}}med τ=mπρSV{\ displaystyle \ tau = {m \ over \ pi \ rho SV}}
-
m er glidenes masse.
-
ρ er tettheten av luft.
-
S er vingområdet
-
V er lufthastigheten.
Den vertikale akselerasjonen er som følger:
w˙(t)=wpåτe-tτ{\ displaystyle {\ dot {w}} (t) = {w_ {a} \ over \ tau} e ^ {- {t \ over \ tau}}}Så hvis vi erstatter τ:
w˙(t)=πρSVwpåme-tτ{\ displaystyle {\ dot {w}} (t) = {\ pi \ rho SVw_ {a} \ over m} e ^ {- {t \ over \ tau}}}Ristingen er maksimal ved t = 0 .
Formelen er fysisk rimelig. Jo større vingeareal eller større horisontal eller vertikal hastighet, jo større risting. Hvis massen øker, blir ristingen mindre ( havfôreffekt ).
Vi vurderer et numerisk eksempel for å få størrelsesorden.
Vi vurderer et vingeareal på 15 m 2 , en tetthet på 1,22 kg / m 3 og en total glidemasse på 300 kg og en lufthastighet på 20 m / s . Den karakteristiske tiden er derfor:
τ=300π×1,22×15×20=1π×1,22=0,26{\ displaystyle \ tau = {300 \ over \ pi \ times 1 {,} 22 \ times 15 \ times 20} = {1 \ over \ pi \ times 1 {,} 22} = 0 {,} 26} sekund.
Vi vurderer en heis på 5 m / s . Den vertikale akselerasjonen vil være m / s 2 . Under disse forholdene vil belastningsfaktoren være (2 + 1) G.
50,26≈20{\ displaystyle {5 \ over 0.26} \ ca 20}
Denne formelen forklarer hvorfor fly kan sprekke ved 20.000 fot i en supercell cumulonimbus-sky der oppstramning kan nå 50 m / s .
Ovennevnte formel vil gi en belastningsfaktor på 21 G.
Beregning av vertikal hastighet
La alfa være angrepsvinkelen på et gitt tidspunkt. Heisen er gitt av:
L=12VSLρSV2{\ displaystyle L = {1 \ over 2} C_ {L} \ rho SV ^ {2}}- C L er løftekoeffisienten.
- rho er tettheten av luft.
-
S er vingområdet
-
V er lufthastigheten.
Heisekoeffisienten er:
VSL=2πα{\ displaystyle C_ {L} = 2 \ pi \ alpha}Heisen blir da:
L=παρSV2{\ displaystyle L = \ pi \ alpha \ rho SV ^ {2}}La w 0 være fallhastigheten til seilflyet. Vi søker nå å bestemme den vertikale hastigheten i den stigende luftmassen. La W være vekten på gliden og m dens masse. Den vertikale akselerasjonen er gitt av:
mdwdt=L-W{\ displaystyle m {dw \ over dt} = LW}Enten w er den vertikale hastigheten til luftmassen. Den relative vertikale hastigheten w r i forhold til luftmassen er:
wr=wpå-w{\ displaystyle w_ {r} = w_ {a} -w}Vi søker nå å estimere angrepsvinkelen som en funksjon av w r . Samlet sett har vi: L = W . Så vi har:
πα0ρSV2=W{\ displaystyle \ pi \ alpha _ {0} \ rho SV ^ {2} = W}La α i være innfallsvinkelen. Angrepsvinkelen er:
α=αJeg+wrV{\ displaystyle \ alpha = \ alpha _ {i} + {w_ {r} \ over V}}Vi erstatter i differensiallikningen, og vi får:
mdwdt=π(αJeg+wrV)ρSV2-W{\ displaystyle m {dw \ over dt} = \ pi \ left (\ alpha _ {i} + {w_ {r} \ over V} \ right) \ rho SV ^ {2} -W}Husk at :, derfor:
wr=wpå-w{\ displaystyle w_ {r} = w_ {a} -w}
mdwdt=π(αJeg+wpå-wV)ρSV2-W{\ displaystyle m {dw \ over dt} = \ pi \ left (\ alpha _ {i} + {w_ {a} -w \ over V} \ right) \ rho SV ^ {2} -W}Derfor,
mdwdt+πρSV2Vw=π(αJeg+wpåV)ρSV2-W{\ displaystyle m {dw \ over dt} + {\ pi \ rho SV ^ {2} \ over V} w = \ pi \ left (\ alpha _ {i} + {w_ {a} \ over V} \ right ) \ rho SV ^ {2} -W}Derfor,
mdwdt+(πρSV)w=π(αJeg+wpåV)ρSV2-W{\ displaystyle m {dw \ over dt} + (\ pi \ rho SV) w = \ pi \ left (\ alpha _ {i} + {w_ {a} \ over V} \ right) \ rho SV ^ {2 } -W}Derfor,
mdwdt+(πρSV)w=(παJegρSV2-W)+πwpåρSV{\ displaystyle m {dw \ over dt} + (\ pi \ rho SV) w = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} \ rho SV}Den generelle løsningen på denne differensiallikningen er:
w(t)=Ke-πρSVmt{\ displaystyle w (t) = Ke ^ {- {\ pi \ rho SV \ over m} t}}Den karakteristiske tiden er definert av:
τ=mπρSV{\ displaystyle \ tau = {m \ over \ pi \ rho SV}}Vi vurderer et numerisk eksempel for å få størrelsesorden.
Vi vurderer et vingeareal på 15 m 2 , en tetthet på 1,22 kg / m 3 og en total glidemasse på 300 kg og en lufthastighet på 20 m / s . Den karakteristiske tiden er derfor:
τ=300π×1,22×15×20=1π×1,22=0.26{\ displaystyle \ tau = {300 \ over \ pi \ times 1 {,} 22 \ times 15 \ times 20} = {1 \ over \ pi \ times 1 {,} 22} = 0 {.} 26} sekund.
Så på mindre enn 1 sekund vil gliden nå sin likevekt i rolig luft.
Vi løser nå differensiallikningen. Den generelle løsningen er skrevet:
w(t)=Ke-tτ{\ displaystyle w (t) = Ke ^ {- {t \ over \ tau}}}Vi varierer konstanten K (t) og erstatter.
dwdt=K˙(t)e-tτ-K(t)1τe-tτ{\ displaystyle {dw \ over dt} = {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} - K (t) {1 \ over \ tau} e ^ {- {t \ over \ tau}}}Vi løser derfor:
mK˙(t)e-tτ-mK(t)1τe-tτ+πρSVKe-tτ=(παJegρSV2-W)+πwpåρSV{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} - mK (t) {1 \ over \ tau} e ^ {- {t \ over \ tau}} + \ pi \ rho SVKe ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} \ rho SV}Derfor,
mK˙(t)e-tτ-mK(t)1τe-tτ+mK(t)1τe-tτ=(παJegρSV2-W)+πwpåρSV{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} - mK (t) {1 \ over \ tau} e ^ {- {t \ over \ tau}} + mK (t) {1 \ over \ tau} e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a } \ rho SV}Det er en forenkling og derfor:
mK˙(t)e-tτ=(παJegρSV2-W)+πwpåρSV{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} \ rho SV}Vi vurderer først det forenklede tilfellet der w a = 0 .
Det erindres at W = mg . Vi får derfor:
mK˙(t)e-tτ=mαJegτV-mg{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {m \ alpha _ {i} \ over \ tau} V-mg}Derfor,
K˙(t)e-tτ=αJegVτ-g{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {\ alpha _ {i} V \ over \ tau} -g}Derfor,
K˙(t)=(αJegVτ-g)etτ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) = \ left ({\ alpha _ {i} V \ over \ tau} -g \ right) e ^ {t \ over \ tau}}Den primitive blir derfor:
K(t)=τ(αJegVτ-g)etτ+VSte{\ displaystyle K (t) = \ tau \ left ({\ alpha _ {i} V \ over \ tau} -g \ right) e ^ {t \ over \ tau} + Cte}Vi erstatter og derfor:
w(t)=[τ(αJegVτ-g)etτ+VSte]e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left [\ tau \ left ({\ alpha _ {i} V \ over \ tau} -g \ right) e ^ {t \ over \ tau} + Cte \ right] e ^ {- {t \ over \ tau}}}Derfor,
w(t)=(αJegV-gτ)+VSte e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left (\ alpha _ {i} Vg \ tau \ right) + Cte \ e ^ {- {t \ over \ tau}}}Vi antar at ved t = 0 har vi w = w 0 . Vi får dermed ved t = 0 ,
w0=(αJegV-gτ)+VSte e0{\ displaystyle w_ {0} = \ left (\ alpha _ {i} Vg \ tau \ right) + Cte \ e ^ {0}}Derfor,
VSte=w0-(αJegV-gτ){\ displaystyle Cte = w_ {0} - \ left (\ alpha _ {i} Vg \ tau \ right)}Så til slutt:
w(t)=(αJegV-gτ)+[w0-(αJegV-gτ)]e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left (\ alpha _ {i} Vg \ tau \ right) + \ left [w_ {0} - \ left (\ alpha _ {i} Vg \ tau \ right) \ right] e ^ {- {t \ over \ tau}}}La være den asymptotiske hastigheten definert av:
w∞{\ displaystyle w _ {\ infty}}
w∞=αJegV-gτ{\ displaystyle w _ {\ infty} = \ alpha _ {i} Vg \ tau}Vi får da:
w(t)=w∞+(w0-w∞)e-tτ{\ displaystyle w (t) = w _ {\ infty} + (w_ {0} -w _ {\ infty}) e ^ {- {t \ over \ tau}}}Innfallsvinkelen er som følger:
αJeg=w∞V+dτV{\ displaystyle \ alpha _ {i} = {w \ infty \ over V} + {d \ tau \ over V}}Vi antar at og V = 20. Vi får da:
w∞=-0,5{\ displaystyle w _ {\ infty} = - 0.5}
αJeg=-0,520+10×0,2620{\ displaystyle \ alpha _ {i} = - {0.5 \ over 20} + {10 \ ganger 0.26 \ over 20}}Vi har derfor som første tilnærming:
αJeg≈gτV=0,13{\ displaystyle \ alpha _ {i} \ approx {g \ tau \ over V} = 0.13}Så den estimerte innfallsvinkelen (i grader) er:
αJeg=0,13×180π=7.5{\ displaystyle \ alpha _ {i} = {0.13 \ ganger 180 \ over \ pi} = 7.5} grader.
Det høres veldig rimelig ut.
Generell sak
Vi utvider den forrige modellen, der i stedet for å vurdere en trappefunksjon, vurderer vi at ved t = 0 kommer glideren inn i en heis hvis kraft er "tilfeldig".
Det vurderer vi nå wpå=wpå(t){\ displaystyle w_ {a} = w_ {a} (t)}
Vi definerer overgangsfunksjonen h (t) slik at h (t) = 0 for t <0 og for t ≥ 0. Vi har da:
h(t)=e-tτ{\ displaystyle h (t) = e ^ {- {t \ over \ tau}}}
w(t)=1τ(wpå∗h)(t){\ displaystyle w (t) = {1 \ over \ tau} (w_ {a} * h) (t)}hvor * er konvolusjonsproduktet .
Uttrykket av løsningen i form av et oppløsningsprodukt er konvensjonelt. Vi kan konsultere Vrabies arbeid.
Imidlertid er det gitt en eksplisitt demonstrasjon i rullegardinboksen.
Demonstrasjon av formelen som involverer et konvolusjonsprodukt
Husk at:
mK˙(t)e-tτ=(παJegρSV2-W)+πwpå(t)ρSV{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} (t) \ rho SV}Hastigheten V tilsvarer at gliden ikke har noen ytre kraft i fravær av vertikale strømmer. Derfor,
παJegρSV2-W=0{\ displaystyle \ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W = 0}Derfor,
K˙(t)=1metτπwpå(t)ρSV{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) = {1 \ over m} e ^ {t \ over \ tau} \ pi w_ {a} (t) \ rho SV}Vi erstatter og derfor:
K˙(t)=1τwpå(t)etτ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) = {1 \ over \ tau} w_ {a} (t) e ^ {t \ over \ tau}}Vi beregner det primitive og derfor:
K(t)=1τ∫0twpå(t′)et′τdt′+VSte{\ displaystyle K (t) = {1 \ over \ tau} \ int _ {0} ^ {t} w_ {a} (t ') e ^ {t' \ over \ tau} dt '+ Cte}Vi minner om at
så,
w(t)=K(t)e-tτ{\ displaystyle w (t) = K (t) e ^ {- {t \ over \ tau}}}
w(t)=1τ∫0twpå(t′)et′τdt′e-tτ+VSte e-tτ{\ displaystyle w (t) = {1 \ over \ tau} \ int _ {0} ^ {t} w_ {a} (t ') e ^ {t' \ over \ tau} dt'e ^ {- { t \ over \ tau}} + Cte \ e ^ {- {t \ over \ tau}}}Og så,
w(t)=VSte e-tτ+1τ∫0twpå(t′)e-t-t′τdt′{\ displaystyle w (t) = Cte \ e ^ {- {t \ over \ tau}} + {1 \ over \ tau} \ int _ {0} ^ {t} w_ {a} (t ') e ^ {- {tt '\ over \ tau}} dt'}Dette er et konvolusjonsprodukt .
Ved t = 0 har vi w (t = 0) = 0 . Derfor,
0=VStee-0τ+1τ∫00wpå(t′)e-t-t′τdt′{\ displaystyle 0 = Ctee ^ {- {0 \ over \ tau}} + {1 \ over \ tau} \ int _ {0} ^ {0} w_ {a} (t ') e ^ {- {tt' \ over \ tau}} dt '}Derfor,
VSte=0{\ displaystyle Cte = 0}Vi kan anta at for t <0 har vi w a = 0 og derfor,
w(t)=1τ∫-∞0wpå(t′)e-t-t′τdt′{\ displaystyle w (t) = {1 \ over \ tau} \ int _ {- \ infty} ^ {0} w_ {a} (t ') e ^ {- {tt' \ over \ tau}} dt ' }På samme måte definerer vi funksjonen h (t) = 0 for t <0 og for t ≥ 0 . Derfor,
h(t)=e-tτ{\ displaystyle h (t) = e ^ {- {t \ over \ tau}}}
w(t)=1τ(wpå∗h)(t){\ displaystyle w (t) = {1 \ over \ tau} (w_ {a} * h) (t)}
Lineær overgang
Vi utvider den forrige modellen, der i stedet for å vurdere en trappefunksjon, vurderer vi at ved t = 0 kommer glideren inn i en heis hvis kraft øker lineært over tid.
Det vurderer vi nå wpå=γt{\ displaystyle w_ {a} = \ gamma t}
Seilens vertikale hastighet er som følger:
w(t)=(w∞+γ(t-τ))+γτe-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left (w _ {\ infty} + \ gamma (t- \ tau) \ right) + \ gamma \ tau e ^ {- {t \ over \ tau}}}Den vertikale akselerasjonen er som følger:
w˙(t)=γ(1-e-tτ){\ displaystyle {\ dot {w}} (t) = \ gamma \ left (1-e ^ {- {t \ over \ tau}} \ right)}Den vertikale rykket er som følger:
w¨(t)=γτe-tτ{\ displaystyle {\ ddot {w}} (t) = {\ gamma \ over \ tau} e ^ {- {t \ over \ tau}}}Det antas at seilflyet flyr 20 m / s og at heisen har en radius på 70 m. Vi ser det da . Vi får da den forenklede formelen:
t≫τ{\ displaystyle t \ gg \ tau}
w(t)≈w∞+γt+γτe-∞=w∞+γt{\ displaystyle w (t) \ approx w _ {\ infty} + \ gamma t + \ gamma \ tau e ^ {- \ infty} = w _ {\ infty} + \ gamma t}Dette skjemaet viser at når en seilfly går inn i en heis, er dens vertikale hastighet med god nøyaktighet hastigheten på heisen minus fallhastigheten.
Anta at seilflyet flyr med hastighet V og at bredden på overgangssonen er d . Vi har da:
γ=wpåVd{\ displaystyle \ gamma = {w_ {a} V \ over d}}Vi antar at d = 10 meter og w a = 5 m / s. Vi har da:
γ=5×2010=10{\ displaystyle \ gamma = {5 \ ganger 20 \ over 10} = 10} m / s 2
Lastfaktoren er fortsatt 2 G. Dette bekrefter at for sterke vertikale strømmer kan ødelegge et fly.
Beregning av vertikal hastighet
Husk at:
mK˙(t)e-tτ=(παJegρSV2-W)+πwpåρSV{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} \ rho SV}Derfor,
mK˙(t)e-tτ=(παJegρSV2-W)+πγρSt{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi \ gamma \ rho St}Det erindres at W = mg . Vi får derfor:
mK˙(t)e-tτ=mαJegτV-mg+γπρSt{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {m \ alpha _ {i} \ over \ tau} V-mg + \ gamma \ pi \ rho St}Derfor,
mK˙(t)e-tτ=mαJegτV-mg+mγtτ{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {m \ alpha _ {i} \ over \ tau} V-mg + m \ gamma {t \ over \ tau}}Derfor,
K˙(t)e-tτ=αJegτV-g+γtτ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {\ alpha _ {i} \ over \ tau} V-g + \ gamma {t \ over \ tau}}Derfor,
K˙(t)=(αJegτV-g+γtτ)etτ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) = \ left ({\ alpha _ {i} \ over \ tau} V-g + \ gamma {t \ over \ tau} \ right) e ^ {t \ over \ tau}}Derfor,
K˙(t)=(αJegVτ-g+γtτ)etτ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) = \ left ({\ alpha _ {i} V \ over \ tau} -g + \ gamma {t \ over \ tau} \ right) e ^ {t \ over \ tau}}Vi beregner følgende primitive:
L(t)=∫γtτetτdτ{\ displaystyle L (t) = \ int \ gamma {t \ over \ tau} e ^ {t \ over \ tau} d \ tau}Vi integrerer etter deler:
L(t)=γtττetτ-γ∫1ττetτdτ{\ displaystyle L (t) = \ gamma {t \ over \ tau} \ tau e ^ {t \ over \ tau} - \ gamma \ int {1 \ over \ tau} \ tau e ^ {t \ over \ tau } d \ tau}Derfor,
L(t)=γ(t-τ)etτ{\ displaystyle L (t) = \ gamma (t- \ tau) e ^ {t \ over \ tau}}Vi erstatter og derfor:
w(t)=[τ(αJegVτ-g)+γ(t-τ)+VSte]e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left [\ tau \ left ({\ alpha _ {i} V \ over \ tau} -g \ right) + \ gamma (t- \ tau) + Cte \ right] e ^ {- {t \ over \ tau}}}Derfor,
w(t)=[αJegV-gτ+γ(t-τ)]+VSte e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left [\ alpha _ {i} Vg \ tau + \ gamma (t- \ tau) \ right] + Cte \ e ^ {- {t \ over \ tau}}}Vi antar at ved t = 0 har vi w = w 0 . Vi får dermed ved t = 0 ,
w0=(αJegV-gτ-γτ)+VSte e0{\ displaystyle w_ {0} = \ left (\ alpha _ {i} Vg \ tau - \ gamma \ tau \ right) + Cte \ e ^ {0}}Derfor,
VSte=w0-(αJegV-gτ-γτ){\ displaystyle Cte = w_ {0} - \ left (\ alpha _ {i} Vg \ tau - \ gamma \ tau \ right)}Så til slutt:
w(t)=(αJegV-(g+γ)τ+γτ)+[w0-(παJegV-(g+γ)τ)]e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left (\ alpha _ {i} V- (g + \ gamma) \ tau + \ gamma \ tau \ right) + \ left [w_ {0} - \ left (\ pi \ alpha _ {i} V- (g + \ gamma) \ tau \ right) \ right] e ^ {- {t \ over \ tau}}}Anta nå at (når du går inn i heisen, er glideren stabilisert).
w0=w∞{\ displaystyle w_ {0} = w _ {\ infty}}
Husk at:
w∞=αJegV-gτ{\ displaystyle w _ {\ infty} = \ alpha _ {i} Vg \ tau}Derfor,
w(t)=(αJegV-(g+γ)τ+γt)+[αJegV-gτ-(αJegV-(g+γ)τ)]e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left (\ alpha _ {i} V- (g + \ gamma) \ tau + \ gamma t \ right) + \ left [\ alpha _ {i} Vg \ tau - \ left (\ alpha _ {i} V- (g + \ gamma) \ tau \ right) \ right] e ^ {- {t \ over \ tau}}}Det er derfor en forenkling:
w(t)=(αJegV-(g+γ)τ+γt)+[-(-γ)τ)]e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left (\ alpha _ {i} V- (g + \ gamma) \ tau + \ gamma t \ right) + \ left [- \ left (- \ gamma) \ tau \ right ) \ right] e ^ {- {t \ over \ tau}}}Vi får da:
w(t)=(αJegV-gτ+γ(t-τ))+γτe-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left (\ alpha _ {i} Vg \ tau + \ gamma (t- \ tau) \ right) + \ gamma \ tau e ^ {- {t \ over \ tau}}}Derfor,
w(t)=(w∞+γ(t-τ))+γτe-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left (w _ {\ infty} + \ gamma (t- \ tau) \ right) + \ gamma \ tau e ^ {- {t \ over \ tau}}}
Kosinusformet overgang
Når et seilfly flyr i et termisk løft (eller i en rotor , kan vi anta at den vertikale hastigheten har en sinusformet form. Radien til en termisk er i størrelsesorden 70 meter mens en rotor har en mer struktur. Kompleks som diskutert nedenfor .
Vi utvider den forrige modellen, der i stedet for å vurdere en trappefunksjon, vurderer vi at ved t = 0 kommer glideren inn i en heis hvis kraft øker som følger:
wpå(x)=12wg[1-cos(πxd)]{\ displaystyle w_ {a} (x) = {1 \ over 2} w_ {g} \ venstre [1- \ cos \ venstre ({\ pi x \ over d} \ høyre) \ høyre]}Vi definerer
κ=πVd{\ displaystyle \ kappa = {\ pi V \ over d}}Den vertikale hastigheten er som følger:
w(t)=w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(cos(κt)+κτsynd(κt))+wg2(11+κ2τ2-1)e-tτ{\ displaystyle w (t) = w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ right) + {w_ {g} \ over 2} \ left ({1 \ over 1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}} - 1 \ høyre) e ^ {- {t \ over \ tau}}}Den vertikale akselerasjonen er som følger:
w˙(t)=-wg2(1+κ2τ2)(-κsynd(κt)+κτκcos(κt))-1τwg2(11+κ2τ2-1)e-tτ{\ displaystyle {\ dot {w}} (t) = - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (- \ kappa \ sin (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ kappa \ cos (\ kappa t) \ right) - {1 \ over \ tau} {w_ {g} \ over 2} \ left ({1 \ over 1+ \ kappa ^ { 2} \ tau ^ {2}} - 1 \ høyre) e ^ {- {t \ over \ tau}}}Derfor,
w˙(t)=-wgκ2(1+κ2τ2)(-synd(κt)+κτcos(κt))-1τwg2(11+κ2τ2-1)e-tτ{\ displaystyle {\ dot {w}} (t) = - {w_ {g} \ kappa \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (- \ sin (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ cos (\ kappa t) \ right) - {1 \ over \ tau} {w_ {g} \ over 2} \ left ({1 \ over 1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}} - 1 \ høyre) e ^ {- {t \ over \ tau}}}Fly i termisk heis
Det antas at seilflyet flyr 20 m / s og at heisen har en radius på 70 m. Vi ser det da . Vi får da den forenklede formelen:
t≫τ{\ displaystyle t \ gg \ tau}
w(t)≈w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(cos(κt)+κτsynd(κt)){\ displaystyle w (t) \ approx w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}) } \ left (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ right)}På samme måte har vi det . Vi har derfor en ekstra forenkling:
κτ≪1{\ displaystyle \ kappa \ tau \ ll 1}
w(t)≈w∞+wg2(1-cos(κt)){\ displaystyle w (t) \ approx w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} (1- \ cos (\ kappa t))}Glidens hastighet følger derfor omtrent heisens profil.
Akselerasjonen blir da:
w˙(t)≈wgκ2synd(κt){\ displaystyle {\ dot {w}} (t) \ approx {w_ {g} \ kappa \ over 2} \ sin (\ kappa t)}Akselerasjonen vil derfor være maksimal når og vil være verdt
κt=π/2{\ displaystyle \ kappa t = \ pi / 2}
påM=wgκ2{\ displaystyle a_ {M} = {w_ {g} \ kappa \ over 2}}Vi har :
κ=πVd=π×2070=0,9{\ displaystyle \ kappa = {\ pi V \ over d} = {\ pi \ times 20 \ over 70} = 0.9}Akselerasjonen vil være:
påM=5×0,92=2.25{\ displaystyle a_ {M} = {5 \ ganger 0.9 \ over 2} = 2.25}Lastfaktoren blir betydelig mindre. Imidlertid, hvis hastigheten V er høy (transportfly) og w g også er høy, er risikoen for at flyet knekker.
Demonstrasjon av formler
Husk at:
mK˙(t)e-tτ=(παJegρSV2-W)+πwpåρSV{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} \ rho SV}Derfor,
mK˙(t)e-tτ=(παJegρSV2-W)+π12wg[1-cos(πxd)]ρSV{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi { 1 \ over 2} w_ {g} \ venstre [1- \ cos \ venstre ({\ pi x \ over d} \ høyre) \ høyre] \ rho SV}Det erindres at W = mg . Vi får derfor:
mK˙(t)e-tτ=(παJegρSV2-mg)+π12wg[1-cos(πxd)]ρSV{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -mg) + \ pi { 1 \ over 2} w_ {g} \ venstre [1- \ cos \ venstre ({\ pi x \ over d} \ høyre) \ høyre] \ rho SV}Derfor,
mK˙(t)e-tτ=mαJegτV-mg+wg2[1-cos(πxd)]mτ{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {m \ alpha _ {i} \ over \ tau} V-mg + {w_ {g} \ over 2} \ venstre [1- \ cos \ venstre ({\ pi x \ over d} \ høyre) \ høyre] {m \ over \ tau}}Derfor,
K˙(t)e-tτ=αJegτV-g+wg2[1-cos(πxd)]1τ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {\ alpha _ {i} \ over \ tau} V-g + {w_ {g} \ over 2} \ venstre [1- \ cos \ venstre ({\ pi x \ over d} \ høyre) \ høyre] {1 \ over \ tau}}Derfor,
K˙(t)={αJegτV-g+wg2τ[1-cos(πxd)]}etτ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) = \ venstre \ {{\ alpha _ {i} \ over \ tau} V-g + {w_ {g} \ over 2 \ tau} \ venstre [1- \ cos \ venstre ({\ pi x \ over d} \ høyre) \ høyre] \ høyre \} e ^ {t \ over \ tau}}
Derfor,
K˙(t)=[αJegτV-g+wg2τ-wg2τcos(πxd)]etτ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) = \ left [{\ alpha _ {i} \ over \ tau} V-g + {w_ {g} \ over 2 \ tau} - {w_ {g} \ over 2 \ tau} \ cos \ venstre ({\ pi x \ over d} \ høyre) \ høyre] e ^ {t \ over \ tau}}Vi beregner følgende primitive:
L(t)=∫cos(πxd)etτdτ{\ displaystyle L (t) = \ int \ cos \ left ({\ pi x \ over d} \ right) e ^ {t \ over \ tau} d \ tau}Vi husker at x = V t .
Derfor,
L(t)=∫cos(πVtd)etτdτ{\ displaystyle L (t) = \ int \ cos \ left ({\ pi Vt \ over d} \ right) e ^ {t \ over \ tau} d \ tau}Vi integrerer etter deler:
L(t)=cos(πVtd)etττ-πVd∫(-)synd(πVtd)etττdτ{\ displaystyle L (t) = \ cos \ left ({\ pi Vt \ over d} \ right) e ^ {t \ over \ tau} \ tau - {\ pi V \ over d} \ int (-) \ sin \ left ({\ pi Vt \ over d} \ right) e ^ {t \ over \ tau} \ tau d \ tau}Vi starter på nytt og derfor:
L(t)=cos(πVtd)etττ+πVdsynd(πVtd)etτττ-∫(πVd)2cos(πVtd)etτττdτ{\ displaystyle L (t) = \ cos \ left ({\ pi Vt \ over d} \ right) e ^ {t \ over \ tau} \ tau + {\ pi V \ over d} \ sin \ left ({ \ pi Vt \ over d} \ høyre) e ^ {t \ over \ tau} \ tau \ tau - \ int \ left ({\ pi V \ over d} \ høyre) ^ {2} \ cos \ left ({ \ pi Vt \ over d} \ høyre) e ^ {t \ over \ tau} \ tau \ tau d \ tau}Vi definerer κ=πVd{\ displaystyle \ kappa = {\ pi V \ over d}}
Vi får da:
L(t)=cos(κt)etττ+κsynd(κt)etττ2-κ2τ2L(t){\ displaystyle L (t) = \ cos (\ kappa t) e ^ {t \ over \ tau} \ tau + \ kappa \ sin (\ kappa t) e ^ {t \ over \ tau} \ tau ^ {2 } - \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2} L (t)}Derfor,
L(t)(1+κ2τ2)=τcos(κt)etτ+κτ2synd(κt)etτ{\ displaystyle L (t) (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}) = \ tau \ cos (\ kappa t) e ^ {t \ over \ tau} + \ kappa \ tau ^ {2 } \ sin (\ kappa t) e ^ {t \ over \ tau}}Derfor :
K(t)=(αJegτV-g+wg2τ)τetτ-wg2τL(t)+VSte{\ displaystyle K (t) = \ left ({\ alpha _ {i} \ over \ tau} V-g + {w_ {g} \ over 2 \ tau} \ right) \ tau e ^ {t \ over \ tau} - {w_ {g} \ over 2 \ tau} L (t) + Cte}Derfor,
K(t)=(αJegV-gτ+wg2)etτ-wg2τ(1+κ2τ2)(τcos(κt)etτ+κτ2synd(κt)etτ)+VSte{\ displaystyle K (t) = \ left (\ alpha _ {i} Vg \ tau + {w_ {g} \ over 2} \ right) e ^ {t \ over \ tau} - {w_ {g} \ over 2 \ tau (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ tau \ cos (\ kappa t) e ^ {t \ over \ tau} + \ kappa \ tau ^ {2} \ sin (\ kappa t) e ^ {t \ over \ tau} \ høyre) + Cte}Derfor,
K(t)=[αJegV-gτ+wg2-wg2τ(1+κ2τ2)(τcos(κt)+κτ2synd(κt))]etτ+VSte{\ displaystyle K (t) = \ left [\ alpha _ {i} Vg \ tau + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 \ tau (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ tau \ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau ^ {2} \ sin (\ kappa t) \ right) \ right] e ^ {t \ over \ tau } + Cte}Det er en forenkling:
K(t)=[αJegV-gτ+wg2-wg2(1+κ2τ2)(cos(κt)+κτsynd(κt))]etτ+VSte{\ displaystyle K (t) = \ left [\ alpha _ {i} Vg \ tau + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ right) \ right] e ^ {t \ over \ tau} + Cte}Husk at:
w∞=αJegV-gτ{\ displaystyle w _ {\ infty} = \ alpha _ {i} Vg \ tau}Derfor,
K(t)=[w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(cos(κt)+κτsynd(κt))]etτ+VSte{\ displaystyle K (t) = \ left [w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2 })} \ venstre (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ høyre) \ høyre] e ^ {t \ over \ tau} + Cte}Husk at: w(t)=K(t)e-tτ{\ displaystyle w (t) = K (t) e ^ {- {t \ over \ tau}}}
Derfor,
w(t)=[w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(cos(κt)+κτsynd(κt))]etτe-tτ+VSte e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left [w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2 })} \ venstre (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ høyre) \ høyre] e ^ {t \ over \ tau} e ^ {- {t \ over \ tau }} + Cte \ e ^ {- {t \ over \ tau}}}Derfor,
w(t)=w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(cos(κt)+κτsynd(κt))+VSte e-tτ{\ displaystyle w (t) = w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ right) + Cte \ e ^ {- {t \ over \ tau}}}Vi setter nå grensevilkårene. Ved t = 0 har vi . Derfor,
w(t=0)=w∞{\ displaystyle w (t = 0) = w _ {\ infty}}
w∞=w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(cos(κ0)+κτsynd(κ0))+VSte e-0τ{\ displaystyle w _ {\ infty} = w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2} )} venstre (\ cos (\ kappa 0) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa 0) \ høyre) + Cte \ e ^ {- {0 \ over \ tau}}}Derfor,
0=wg2-wg2(1+κ2τ2)(cos(κ0)+κτsynd(κ0))+VSte{\ displaystyle 0 = {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ cos (\ kappa 0) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa 0) \ høyre) + Cte}Derfor,
VSte=wg2(11+κ2τ2-1){\ displaystyle Cte = {w_ {g} \ over 2} \ left ({1 \ over 1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}} - 1 \ right)}Derfor,
w(t)=w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(cos(κt)+κτsynd(κt))+wg2(11+κ2τ2-1)e-tτ{\ displaystyle w (t) = w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ right) + {w_ {g} \ over 2} \ left ({1 \ over 1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}} - 1 \ høyre) e ^ {- {t \ over \ tau}}}
Flyreiser gjennom boblebad
Tourbillon-modell oppfører seg som et stivt solid
En rotor kan modelleres på en ultraforenklet måte som en enkel okseakse- virvel som har en oppførsel av en stiv trommel.
Det antas at vinkelrotasjonshastigheten er:
Ω→=ΩJeg→{\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} = \ Omega {\ vec {i}}}Vorticiteten vil være:
η→=2Ω→{\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = 2 {\ vec {\ Omega}}}Langs aksen Oy vil den vertikale hastigheten w være verdt:
w=Ωy{\ displaystyle w = \ Omega y}Vi vurderer nå et fly som flyr med hastighet V langs Oy .
Vi har y (t) = V t , så vi har:
w(t)=12y(t)η=Vη2t{\ displaystyle w (t) = {1 \ over 2} y (t) \ eta = {V \ eta \ over 2} t}Dette tilfellet er derfor redusert til tilfellet med den lineære veksten av den vertikale hastigheten behandlet ovenfor .
Beregning av virvling
Hvis vi betrakter en virvel som oppfører seg som et fast stoff med vinkelhastighet Ω, er lineær hastighet og sylindriske koordinater:u→=Ω→∧r→{\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ vec {r}}}
For å forenkle vurderer vi at aksen Ω er Ox (horisontal rotor). Vi har da:
u→=ΩJeg→∧(xJeg→+yj→+zk→{\ displaystyle {\ vec {u}} = \ Omega {\ vec {i}} \ wedge (x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}} + z {\ vec {k}}}Derfor,
u→=Ω(yk→-zj→){\ displaystyle {\ vec {u}} = \ Omega (y {\ vec {k}} - z {\ vec {j}})}Vi beregner nå virvling . Vi har :
η{\ displaystyle \ eta}
η→=∇→∧u→=(∂∂xJeg→+∂∂jj→+∂∂zk→)∧Ω(yk→-zj→){\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {u}} = \ left ({\ partial \ over \ partial x} {\ vec {i}} + {\ partial \ over \ partial j} {\ vec {j}} + {\ partial \ over \ partial z} {\ vec {k}} \ right) \ wedge \ Omega (y {\ vec {k}} - z {\ vec {j}})}Det er en liten forenkling:
η→=Ω(∂∂yj→+∂∂zk→)∧(yk→-zj→){\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = \ Omega \ left ({\ partial \ over \ partial y} {\ vec {j}} + {\ partial \ over \ partial z} {\ vec {k}} \ right) \ wedge (y {\ vec {k}} - z {\ vec {j}})}Derfor,
η→=Ω(∂∂yj→∧(yk→-zj→)+∂∂zk→∧(yk→-zj→)){\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = \ Omega \ left ({\ partial \ over \ partial y} {\ vec {j}} \ wedge (y {\ vec {k}} - z {\ vec { j}}) + {\ partial \ over \ partial z} {\ vec {k}} \ wedge (y {\ vec {k}} - z {\ vec {j}}) \ right)}Derfor,
η→=Ω(∂y∂yj→∧k→-zj→)-∂z∂zk→∧j→)=2ΩJeg→{\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = \ Omega \ left ({\ partial y \ over \ partial y} {\ vec {j}} \ wedge {\ vec {k}} - z {\ vec {j }}) - {\ partial z \ over \ partial z} {\ vec {k}} \ wedge {\ vec {j}} \ right) = 2 \ Omega {\ vec {i}}}Endelig:
η→=2Ω→{\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = 2 {\ vec {\ Omega}}}Langs aksen Oy vil den vertikale hastigheten w være verdt:
w=Ωy{\ displaystyle w = \ Omega y}
Fly i en rotor
En rotor er nesten alltid koblet til et fjellbølgesystem og tilsvarer det turbulente underlaget. En rotor består av stemmer i forskjellige størrelser. Hvis k er bølgetallet til vortexen, er frekvensen ( Fourier-transformasjon ) av slike virvler proporsjonal med for og derfor vil hovedsakelig store radiusvirvler være dominerende. Virvler kan imidlertid ha alle størrelser, og vi anser en vortex av dimensjonen d = 10 meter.
k-53{\ displaystyle k ^ {- {5 \ over 3}}}k≥3×10-3{\ displaystyle k \ geq 3 \ times 10 ^ {- 3}}
Vi får da:
κ=πVd=π×2010=6.28{\ displaystyle \ kappa = {\ pi V \ over d} = {\ pi \ times 20 \ over 10} = 6.28}Maksimal akselerasjon vil være som følger:
påM≈wgκ2(1+κ2τ2)(1+κτ){\ displaystyle a_ {M} \ approx {w_ {g} \ kappa \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} (1+ \ kappa \ tau)}
Beregning av vertikal akselerasjon i små underrotorer
Her har vi:
Vi husker det .
κτ=6.28×0,25≈1.5{\ displaystyle \ kappa \ tau = 6.28 \ ganger 0.25 \ ca 1.5}κt≪1{\ displaystyle \ kappa t \ ll 1}
I tillegg kan vi derfor ikke anta at κτ er liten. Vi tar formelen ovenfor og akselerasjonen blir:
w˙(t)=-wgκ2(1+κ2τ2)(-synd(κt)+κτcos(κt)){\ displaystyle {\ dot {w}} (t) = - {w_ {g} \ kappa \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (- \ sin (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ cos (\ kappa t) \ høyre)}Derfor,
w˙(t)=wgκ2(1+κ2τ2)(synd(κt)-κτcos(κt)){\ displaystyle {\ dot {w}} (t) = {w_ {g} \ kappa \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ sin (\ kappa t ) - \ kappa \ tau \ cos (\ kappa t) \ høyre)}Akselerasjonen er maksimal når rykk er null. Vi skriver :
0=w¨(t)=-wgκ2(1+κ2τ2)(-κcos(κt)+κτ(-)κsynd(κt)){\ displaystyle 0 = {\ ddot {w}} (t) = - {w_ {g} \ kappa \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (- \ kappa \ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau (-) \ kappa \ sin (\ kappa t) \ høyre)}Vi løser derfor:
0=cos(κt)+κτsynd(κt){\ displaystyle 0 = \ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t)}Derfor,
solbrun(κt)=-1κτ{\ displaystyle \ tan (\ kappa t) = - {1 \ over \ kappa \ tau}}Så vi har:
påM=wgκ2(1+κ2τ2)synd(κt)(1-(-)κτ){\ displaystyle a_ {M} = {w_ {g} \ kappa \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ sin (\ kappa t) \ left (1 - (-) \ kappa \ tau \ right)}Vi kan anta det og derfor:
synd(κt)≈1{\ displaystyle \ sin (\ kappa t) \ ca 1}
påM=wgκ2(1+κ2τ2)(1+κτ){\ displaystyle a_ {M} = {w_ {g} \ kappa \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} (1+ \ kappa \ tau)}
Tallmessig får vi da:
påM=wg×6.282×(1+1.52)×(1+1.5)=wg×2,41{\ displaystyle a_ {M} = w_ {g} \ times {6.28 \ over 2 \ times (1 + 1.5 ^ {2})} \ times (1 + 1.5) = w_ {g} \ times 2.41}Dermed vil et vindkast på 5 m / s generere en akselerasjon på ca. 1,5 G og derfor en belastningsfaktor på 2,5 G. Slike vindkast kan oppstå.
Vertikale vindkast på 10 m / s er ganske vanlig, og lastfaktoren blir 3,5 G. Tidligere har rotorer ødelagt seilfly med en lastfaktor på 16 G. Ved å bruke formelen ovenfor ville vindkastene ha vært i størrelsesorden m / s. Piloten hadde fløyet i en rotorsky.
150/2,41≈60{\ displaystyle 150 / 2.41 \ ca 60}
Effekt av horisontale brister
Under ekstreme forhold hadde Joachim Kuettner og Larry Elgar møtt utrolige lufthastighetshopp; Larry Elgar brøt gliden og ville ha gjennomgått akselerasjoner mellom 16 og 20 G. Det ser derfor ut til at en dobling av den horisontale lufthastigheten fra 20 m / s til 40 m / s etter et vindkast risikerer å oppløse glideren.
La V 0 være lufthastigheten før støtet møtes og v hastigheten til vindkastet. Lastfaktoren som glideren opplever er som følger:
på=g(1+v2+2vV0V02){\ displaystyle a = g \ left (1+ {v ^ {2} + 2vV_ {0} \ over V_ {0} ^ {2}} \ right)}Den vertikale akselerasjonen til gliden (uten korrigering fra piloten) vil være:
d2hdt2=g[(V0+v)2-V02]V02cos(ωt){\ displaystyle {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = {g [(V_ {0} + v) ^ {2} -V_ {0} ^ {2}] \ over V_ {0} ^ {2}} \ cos (\ omega t)}-
h er glidens høyde
- ω=2gV0{\ displaystyle \ omega = {{\ sqrt {2}} g \ over V_ {0}}}
Demonstrasjon fra bevaring av energi
La V 0 være flyets hastighet. Det antas at den støter på en hastighetsutbrudd v . Ettersom bakkehastigheten er lokalt konstant, vil lufthastigheten øke (eller redusere) og bli V + r . Det antas at flyet opprettholder en konstant holdning. Angrepsvinkelen vil også være konstant, og derfor vil løftekoeffisienten være konstant.
Før du møter vindkastet, er heisen:
L=12VSLρSV2{\ displaystyle L = {1 \ over 2} C_ {L} \ rho SV ^ {2}}Flyet er i likevekt og derfor: L = W .
Det antas at etter en plutselig horisontal vindkast blir lufthastigheten V_0 + v .
Etter å ha møtt vindkastet blir heisen:
L′=12VSLρSV2{\ displaystyle L '= {1 \ over 2} C_ {L} \ rho SV ^ {2}}Oppadgående kraft er derfor:
F=L′-W{\ displaystyle F = L'-W}Vi merker derfor at:
F=12VSLρS[V2-V02]{\ displaystyle F = {1 \ over 2} C_ {L} \ rho S [V ^ {2} -V_ {0} ^ {2}]}Akselerasjonen oppover er derfor:
på=12mVSLρS(V2-V02){\ displaystyle a = {1 \ over 2m} C_ {L} \ rho S (V ^ {2} -V_ {0} ^ {2})}Den totale energien (potensiell energi + kinetisk energi) er bevart inne i den horisontale sprengningen. Derfor,
12V2+gh=VSte{\ displaystyle {1 \ over 2} V ^ {2} + gh = Cte}Vi satt E = V 2 /2 . Vi får da:
E+gh=VSte{\ displaystyle E + gh = Cte}Vi utleder denne ligningen. Derfor,
dEdt+gdhdt=0{\ displaystyle {dE \ over dt} + g {dh \ over dt} = 0}Vi driver for andre gang:
d2Edt2+gd2hdt2=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ over dt ^ {2}} + g {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = 0}Vi erstatter det andre derivatet av h med akselerasjonen og derfor:
d2Edt2+g(12mVSLρS(V2-V02))=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ over dt ^ {2}} + g \ left ({1 \ over 2m} C_ {L} \ rho S (V ^ {2} -V_ {0} ^ {2 }) \ høyre) = 0}Og så :
d2Edt2+g(12mVSLρS(2E-V02))=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ over dt ^ {2}} + g \ left ({1 \ over 2m} C_ {L} \ rho S (2E-V_ {0} ^ {2}) \ right ) = 0}Vi har :
12VSLρSV02=mg{\ displaystyle {1 \ over 2} C_ {L} \ rho SV_ {0} ^ {2} = mg}Derfor,
VSL=2mgρSV02{\ displaystyle C_ {L} = {2mg \ over \ rho SV_ {0} ^ {2}}}Vi erstatter:
d2Edt2+g(12m×2mgρSV02×ρS(2E-V02))=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ over dt ^ {2}} + g \ left ({1 \ over 2m} \ times {2mg \ over \ rho SV_ {0} ^ {2}} \ times \ rho S (2E-V_ {0} ^ {2}) \ høyre) = 0}Derfor,
d2Edt2+g2V02(2E-V02)=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ over dt ^ {2}} + {g ^ {2} \ over V_ {0} ^ {2}} (2E-V_ {0} ^ {2}) = 0 }Vi definerer:
E′=E-12V02{\ displaystyle E '= E- {1 \ over 2} V_ {0} ^ {2}}Vi får da:
d2E′dt2+2g2V02E′=0{\ displaystyle {d ^ {2} E '\ over dt ^ {2}} + {2g ^ {2} \ over V_ {0} ^ {2}} E' = 0}Vi definerer deretter:
ω2=2g2V02{\ displaystyle \ omega ^ {2} = {2g ^ {2} \ over V_ {0} ^ {2}}}Derfor,
ω=2gV0{\ displaystyle \ omega = {{\ sqrt {2}} g \ over V_ {0}}}Vi løser derfor:
d2E′dt2+w2E′=0{\ displaystyle {d ^ {2} E '\ over dt ^ {2}} + w ^ {2} E' = 0}Den generelle løsningen er derfor:
E(t)=PÅcos(ωt)+Bsynd(ωt){\ displaystyle E (t) = A \ cos (\ omega t) + B \ sin (\ omega t)}Ved t = 0 har vi gitt E ' 0 . Derfor,
E′(t=0)=PÅcos(ω0)+Bsynd(ω0){\ displaystyle E '(t = 0) = A \ cos (\ omega 0) + B \ sin (\ omega 0)}Og så,
E′(t)=E0′cos(ωt)+Bsynd(ωt){\ displaystyle E '(t) = E' _ {0} \ cos (\ omega t) + B \ sin (\ omega t)}Så vi har:
E′˙(t)=-ωE0′synd(ωt)+Bωcos(ωt){\ displaystyle {\ dot {E '}} (t) = - \ omega E' _ {0} \ sin (\ omega t) + B \ omega \ cos (\ omega t)}Ved t = 0 har vi den vertikale hastigheten som er null fordi akselerasjonen er endelig. Derfor,
0=E˙(t=0)=-ωE0′synd(ω0)+Bωcos(ω0){\ displaystyle 0 = {\ dot {E}} (t = 0) = - \ omega E '_ {0} \ sin (\ omega 0) + B \ omega \ cos (\ omega 0)}Og så, B = 0 . Til slutt har vi derfor:
E(t)=E0′cos(ωt){\ displaystyle E (t) = E '_ {0} \ cos (\ omega t)}Derfor,
E¨(t)=-ω2E0′cos(ωt){\ displaystyle {\ ddot {E}} (t) = - \ omega ^ {2} E '_ {0} \ cos (\ omega t)}Husk at:
d2Edt2+gd2hdt2=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ over dt ^ {2}} + g {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = 0}Den vertikale akselerasjonen er derfor:
d2hdt2=1gE¨(t)=-ω2gE0′cos(ωt){\ displaystyle {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = {1 \ over g} {\ ddot {E}} (t) = - {\ omega ^ {2} \ over g} E ' _ {0} \ cos (\ omega t)}Derfor,
d2hdt2=2g2gV02E0′cos(ωt){\ displaystyle {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = {2g ^ {2} \ over gV_ {0} ^ {2}} E '_ {0} \ cos (\ omega t)}Derfor,
d2hdt2=2gV02E0′cos(ωt){\ displaystyle {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = {2g \ over V_ {0} ^ {2}} E '_ {0} \ cos (\ omega t)}
Vi antar at V 0 = 20 m / s og at ved t = 0, har vi V (t = 0) = 40 m / s. (La v = 20 m / s)
Den første akselerasjonen er derfor:
på=gv2+2V0vV02=10×202+2×20×20202=30{\ displaystyle a = g {v ^ {2} + 2V_ {0} v \ over V_ {0} ^ {2}} = 10 \ ganger {20 ^ {2} +2 \ ganger 20 \ ganger 20 \ over 20 ^ {2}} = 30} m / s 2 .
La 3 G. Belastningsfaktoren er derfor (3 + 1) G = 4 G som er nær brytepunktet til en glider.
Denne modellen forklarer hvorfor Joachim Kuettner hadde gjennomgått akselerasjoner på 4 G da han fløy i en veldig streng rotor, og at lufthastigheten økte veldig kraftig. Joachim Kuettner valgte, og dette skyldes sannsynligvis et negativt vindkast som hadde redusert flyhastigheten hans under boden. En halvtime senere brøt Larry Edgar sin seilfly under veldig like forhold. Den gjennomgår akselerasjoner på 16 til 20 G som den vil ha overlevd. Siden han var midlertidig bevisstløs, kan den presise rekkefølgen av hendelser ikke bestemmes. Det er sannsynlig at disse fenomenale akselerasjonene skjedde etter at seilflyet brøt, men ingenting tillater oss å bekrefte det.
Dermed skrev Joachim Kuettner følgende rapport:
" Etter en kort 1600 ft / min opp, 1000 ft / min nedlesning, økte hastigheten fra 45 mph til 90 mph i løpet av omtrent 2 sekunder til tross for en nese-opp-tilstand som tillot bare himmelen å se ut som ut av vinduet. Ved 4,5 G avlesning stoppet skipet igjen »
Fransk oversettelse: “Variometeret viste i en kort periode +8 m / s etterfulgt av -5 m / s. Lufthastigheten gikk fra 20 m / s til 40 m / s i løpet av 2 sekunder, til tross for den ekstremt nese-opp holdningen til glideren som bare tillot himmelen å bli sett gjennom kalesjen. Da akselerometeret indikerte 4,5 G, stoppet glideren igjen ”.
Kuettners historie bekrefter den ovennevnte modellen, og når vindkastene når 20 m / s , blir forholdene ekstremt farlige.
Merknader og referanser
Merknader
-
Det offisielle navnet på fransk rykk er skuddet som er tvetydig, men fordi en støt er mer som en "funksjon" av Dirac . Imidlertid blir ordet rykk brukt på høyskolekurs som nevnt i referansen
-
Referansen diskuterer denne modellen i detalj.
-
Undervirvler kan være i hvilken som helst liten størrelse, mens større virvler kan være rundt 600 m i diameter. Dette er diskutert i Sharmans papir.
Referanser
-
(in) Luftfartsinformasjonsmanual , Federal Aviation Administration ,2012, PDF ( les online ) , s. 7-1-48
-
Dynamikk
-
Ytelse
-
(in) Joachim Kuettner Rolf Hertenstein, " Observations of mountain-induced rotors and related assumptions: a review " , Proceedings of the 10. Conference on Mountain Meteorology AMS , American meteorological society,2002, s. 2 ( les online [PDF] )
-
Monster , s. 141
-
(i) Joachim Kuettner , " Rotoren strømning i le av fjell " , GRD forskning notater , Geophysical Research Direktoratet usaf , n o 6,Januar 1959( les online [PDF] )
-
(in) Bob Spielman, " Glider crash " , Soaring , Soaring Society of America ,desember 2015, s. 32-36
-
Dynamikk , s. 295
-
(in) Howard B. Bluestein, Severe Convective Thunderstorms and Tornadoes Observations and Dynamics , Springer-Verlag ,2013, 456 s. ( ISBN 978-3-642-05380-1 , DOI 10.1007 / 978-3-642-05381-8 ) , s. 112
-
(in) Ioan Vrabie, Differensiallikninger: En introduksjon til grunnleggende konsepter, resultater og anvendelser , World Scientific Publishing ,2004, 401 s. ( ISBN 981-238-838-9 , leses online ) , s. 257
-
" Akselerasjon og rykkhastighet " [PDF] (åpnet 2. februar 2018 )
-
(in) JG Jones, " Studies of Time-Phased Vertical and Lateral Gusts: Development of MULTIAXIS-Minus-One Cosine Gust Model " [PDF] , Federal Aviation Administration ,Oktober 1999(åpnet 10. februar 2018 )
-
Dynamikk , s. 297
-
Sylvie Malardel, Fundamentals of Meteorology, andre utgave , Toulouse, Cépaduès,2009, 710 s. ( ISBN 978-2-85428-851-3 ) , s. 634
-
(en) RD Sharman et al., " Description and Derived Climatologies of Automated Situ Eddy-Dissipation-Rate Reports of Atmospheric Turbulence " , Journal of Applied Meteorology and Climatology , vol. 53,juni 2014( DOI 10.1175 / JAMC-D-13-0329.1 , les online [PDF] )
-
(i) Lukas Strauss, " Turbulens i å bryte fjellbølger og atmosfæriske rotorer Estimert fra luftbårne Doppler-radar og in situ-målinger " , Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society , vol. 141,oktober 2015( DOI 10.1002 / qj.2604 , les online [PDF] )
-
(in) Richard Scorer, " Theory of mountain waves of wide amplitude " , Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society , vol. 85, n o 364, April 1959, s. 142 ( DOI 10.1002 / qj.49708536406 )
-
Monster , s. 136
-
Ytelse , s. 270
Bibliografi
- [Dynamics] (en) Louis V Schmidt, Introduksjon til Aircraft Flight Dynamics , AIAA,1998, 397 s. ( ISBN 978-1-56347-226-8 )
- [Performance] (no) Mario Asselin, En introduksjon til flyytelse , AIAA,august 1997, 339 s. ( ISBN 978-1-56347-221-3 )
- [Monster] (no) Robert F Whelan, Exploring the monster: Mountain lee waves: the lift lift , Wind Canyon Books,2000, 170 s. ( ISBN 978-1-891118-32-6 ) , s. 136
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">