Eta-funksjonen til Dedekind

Den Dedekind eta-funksjonen er en funksjon som er definert på den Poincaré halv-plan som dannes av de komplekse tall av strengt positiv imaginære del .

For et så komplekst tall stiller vi og eta-funksjonen er da :, ved å posere . $\ tau$ ${\ displaystyle q = {\ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi \ tau}}$ $\ eta (\ tau) = q ^ {{1/24}} \ prod _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} (1-q ^ {{n}})$ ${\ displaystyle q ^ {1/24} = \ exp \ left ({\ frac {{\ rm {i}} \ pi \ tau} {12}} \ høyre)}$

Eiendommer

Eta-funksjonen er holomorf i øvre halvplan, men innrømmer ikke en analytisk fortsettelse utenfor dette settet.

Eta-funksjonen tilfredsstiller de to funksjonelle ligningene

{\ displaystyle \ eta (\ tau +1) = \ exp \ left ({\ frac {{\ rm {i}} \ pi} {12}} \ right) \ eta (\ tau)}

{\ displaystyle \ eta \ left (- {\ frac {1} {\ tau}} \ right) = {\ frac {\ sqrt {\ tau}} {\ sqrt {i}}} \ eta (\ tau)}

Det andre generaliserer: la heltall som (derfor assosiert med en Möbius-transformasjon som tilhører modulgruppen ), med . Så ${\ displaystyle a, b, c, d}$ $ad-bc = 1$ $c> 0$

{\ displaystyle \ eta \ left ({\ frac {a \ tau + b} {c \ tau + d}} \ right) = \ epsilon (a, b, c, d) {\ frac {\ sqrt {c \ tau + d}} {\ sqrt {i}}} \ eta (\ tau)}

eller

{\ displaystyle \ epsilon (a, b, c, d) = \ exp \ left \ {{\ rm {i}} \ pi \ left ({\ frac {a + d} {12c}} + s (-d , c) \ høyre) \ høyre \}}

og er sumfunksjonen til Dedekind : $s$

{\ displaystyle s (h, k) = \ sum _ {1 \ leq n <k} {\ frac {n} {k}} \ left ({\ frac {hn} {k}} - \ left \ lfloor { \ frac {hn} {k}} \ right \ rfloor - {\ frac {1} {2}} \ right)}

På grunn av de funksjonelle ligningene er eta-funksjonen en modulær form for vekt 1/2. Den kan brukes til å definere andre modulformer.

Spesielt kan den modulære diskriminanten av Weierstrass , modulær vekt av vekt 12, defineres som

{\ displaystyle \ Delta (\ tau) = (2 \ pi) ^ {12} \ eta (\ tau) ^ {24}}

(noen forfattere utelater faktoren , slik at serien har heltallskoeffisienter).

{\ displaystyle (2 \ pi) ^ {12}}

Den Euler funksjon

{\ displaystyle \ phi (q) = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1-q ^ {n} \ right) = q ^ {- 1/24} \ eta (\ tau) }

har en serieutvikling gitt av Eulers identitet :

{\ displaystyle \ phi (q) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} q ^ {(3n ^ {2} -n) / 2}}

Siden eta-funksjonen er enkel å beregne, er det ofte nyttig å uttrykke, når det er mulig, andre funksjoner som produkter og kvoter av eta-funksjoner. Dette er mulig for mange modulformer.

Merknader og referanser

Apostol 1990 , s. 52, th. 3.4.

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Dedekind eta function " ( se listen over forfattere ) .
Jean-Pierre Serre , aritmetikkurs ,1970[ detalj av utgaver ]
(en) Tom M. Apostol , modulære funksjoner og Dirichlet-serien i Number Theory , New York, Springer-Verlag ,1990, 204 s. ( ISBN 0-387-97127-0 ) , "Dedekind eta-funksjonen"

Se også

Relatert artikkel

Macdonald identiteter (i)

Ekstern lenke

Michel Demazure , “ Identities of Macdonald ”, Bourbaki Seminar , vol. 18, 1975-1976, s. 191-201 ( les online )