B-differensierbar funksjon
I matematisk analyse er B-differensierbarhet et begrep med svakere differensierbarhet enn det til Fréchet , der den avledede operatoren ikke kreves å være lineær og avgrenset, men bare positivt homogen og avgrenset. Bokstaven B viser til Bouligand . Denne signifikante svekkelsen av definisjonen gjør det imidlertid mulig å bevare viktige egenskaper, som kjedens β-differensierbarhet og formelen for endelige trinn. I motsetning til Fréchet-differensierbarhet ødelegges ikke B-differensierbarhet ved å ta minimum eller maksimum av et endelig antall funksjoner, noe som er en fordel under visse omstendigheter.
Denne forestillingen brukes for eksempel til å definere og tolke algoritmer for å finne null av ikke-differensierbare funksjoner i klassisk forstand og for å demonstrere deres konvergensegenskaper. Dette er tilfelle med visse newtonske algoritmer i optimalisering med begrensninger og i komplementaritet .
Definisjon
La og vær to normerte rom, hvis normer begge er notert .
E{\ displaystyle \ mathbb {E}}F{\ displaystyle \ mathbb {F}}‖⋅‖{\ displaystyle \ | \ cdot \ |}
B-differensiering - Vi sier at en funksjon er B-differensierbar i , hvis det er en positivt homogen (av grad en) og avgrenset operator, slik at
f:E→F{\ displaystyle f: \ mathbb {E} \ to \ mathbb {F}}x∈E{\ displaystyle x \ in \ mathbb {E}}Bf(x):E→F{\ displaystyle Bf (x): \ mathbb {E} \ to \ mathbb {F}}
f(x+h)-f(x)-Bf(x)⋅h=o(h).{\ displaystyle f (x + h) -f (x) -Bf (x) \ cdot h = o (h).}
Operatøren , nødvendigvis unik, kalles B-derivatet av en .
Bf(x){\ displaystyle Bf (x)}f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}
Vi sier at det er B-differensierbart på et åpent hvis det er B-differensierbart når som helst .
f:E→F{\ displaystyle f: \ mathbb {E} \ to \ mathbb {F}}Ω∈E{\ displaystyle \ Omega \ in \ mathbb {E}}f{\ displaystyle f}Ω{\ displaystyle \ Omega}
Denne definisjonen krever en viss avklaring og kommentar.
- Forestillingen om B-differensiering ble introdusert av Robinson (1987). Bokstaven B viser til Georges Bouligand .
- Vi sier at en funksjon er positivt homogen (av grad en) hvis, uansett hva den virkelige har , har vi . Så tydelig.H:E→F{\ displaystyle H: \ mathbb {E} \ to \ mathbb {F}}x∈E{\ displaystyle x \ in \ mathbb {E}}t⩾0{\ displaystyle t \ geqslant 0}H(tx)=tH(x){\ displaystyle H (tx) = t \, H (x)}H(0)=0{\ displaystyle H (0) = 0}
- En positivt homogen operatør sies å være avgrenset hvis normen , definert nedenfor, er endelig:H:E→F{\ displaystyle H: \ mathbb {E} \ to \ mathbb {F}} ‖H‖{\ displaystyle \ | H \ |}
‖H‖: =sup‖x‖⩽1‖H(x)‖.{\ displaystyle \ | H \ |: = \ sup _ {\ | x \ | \ leqslant 1} \, \ | H (x) \ |.}
Når det gjelder lineære operatører, er det det samme å si at er kontinuerlig på null.H{\ displaystyle H}
- Vi la merke til verdien av en .Bf(x)⋅h∈F{\ displaystyle Bf (x) \ cdot h \ in \ mathbb {F}}Bf(x){\ displaystyle Bf (x)}h∈E{\ displaystyle h \ in \ mathbb {E}}
- Vi sier at en funksjon er en liten o av i null, og vi skriver hvisφ:E→F{\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ to \ mathbb {F}}h∈E{\ displaystyle h \ in \ mathbb {E}}φ(h)=o(h){\ displaystyle \ varphi (h) = o (h)}
limh→0h≠0‖φ(h)‖‖h‖=0.{\ displaystyle \ lim _ {\ scriptstyle h \ to 0 \ ovenpå \ scriptstyle h \ neq 0} \; {\ frac {\ | \ varphi (h) \ |} {\ | h \ |}} = 0.}
Eksempler
- Minimum funksjon komponent for komponent
μ:Rikke×Rikke→Rikke:(x,y)↦min(x,y),med[min(x,y)]Jeg=min(xJeg,yJeg){\ displaystyle \ mu: \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n} :( x, y) \ mapsto \ min (x, y), \ quad {\ mbox {with}} \ quad [\ min (x, y)] _ {i} = \ min (x_ {i}, y_ {i})}
er overalt B-differensierbar og dens B-derivat er gitt av
[Bμ(x,y)⋅(h,k)]Jeg={hJeghvis xJeg<yJegmin(hJeg,kJeg)hvis xJeg=yJegkJeghvis xJeg>yJeg.{\ displaystyle {\ bigl [} B \ mu (x, y) \ cdot (h, k) {\ bigr]} _ {i} = \ left \ {{\ begin {array} {ll} h_ {i} & {\ mbox {si}} ~ x_ {i} <y_ {i} \\\ min (h_ {i}, k_ {i}) & {\ mbox {si}} ~ x_ {i} = y_ {i } \\ k_ {i} og {\ mbox {si}} ~ x_ {i}> y_ {i}. \ end {array}} \ høyre.}
Vi har et lignende resultat for funksjonen .(x,y)↦maks(x,y)=-min(-x,-y){\ displaystyle (x, y) \ mapsto \ max (x, y) = - \ min (-x, -y)}
- Hvis vi komponerer med to funksjoner og B-differensierbar i , får vi en funksjonμ{\ displaystyle \ mu}f:Rikke→Rm{\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}g:Rikke→Rm{\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}x∈Rikke{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}
φ:Rikke→Rm:x↦min(f(x),g(x)),{\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}: x \ mapsto \ min (f (x), g (x)),}
som også er B-avledbar i og hvis B-derivat er gitt avx{\ displaystyle x}
[Bφ(x)⋅(h)]Jeg={[Bf(x)⋅h]Jeghvis [f(x)]Jeg<[g(x)]Jegmin([Bf(x)⋅h]Jeg,[Bg(x)⋅h]Jeg)hvis [f(x)]Jeg=[g(x)]Jeg[Bg(x)⋅h]Jeghvis [f(x)]Jeg>[g(x)]Jeg.{\ displaystyle {\ bigl [} B \ varphi (x) \ cdot (h) {\ bigr]} _ {i} = \ left \ {{\ begin {array} {ll} [Bf (x) \ cdot h ] _ {i} og {\ mbox {si}} ~ [f (x)] _ {i} <[g (x)] _ {i} \\\ min ([Bf (x) \ cdot h] _ {i}, [Bg (x) \ cdot h] _ {i}) & {\ mbox {si}} ~ [f (x)] _ {i} = [g (x)] _ {i} \\ {} [Bg (x) \ cdot h] _ {i} & {\ mbox {si}} ~ [f (x)] _ {i}> [g (x)] _ {i}. \ End {array }} \ Ikke sant.}
Vi har et lignende resultat for funksjonen .x↦maks(f(x),g(x))=-min(-f(x),-g(x)){\ displaystyle x \ mapsto \ max (f (x), g (x)) = - \ min (-f (x), - g (x))}
Eiendommer
Umiddelbare egenskaper
- Hvis er B-differensierbar på , er B-derivatet unikt.f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}
- Settet med B-differensierbare funksjoner er et vektorrom og vi harx∈E{\ displaystyle x \ in \ mathbb {E}}
∀α1,α2∈R:B(α1f1+α2f2)(x)=α1Bf1(x)+α2Bf2(x).{\ displaystyle \ forall \, \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2} \ in \ mathbb {R}: \ qquad B (\ alpha _ {1} f_ {1} + \ alpha _ {2} f_ {2}) (x) = \ alpha _ {1} Bf_ {1} (x) + \ alpha _ {2} Bf_ {2} (x).}
Koblinger til andre begreper om differensiering
Koblingene med differensialitet i betydningen Fréchet er tydelige. Nedenfor bemerker vi derivatet i betydningen Fréchet .
f′(x){\ displaystyle f '(x)}
Koblinger med Fréchet-differensiering -
- Hvis er Fréchet differensierbar i , så er B-differensierbar i og .f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}Bf(x)=f′(x){\ displaystyle Bf (x) = f '(x)}
- Hvis er B-differensierbar i og hvis er lineær, så kan Fréchet differensieres i og .f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}Bf(x){\ displaystyle Bf (x)}f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}f′(x)=Bf(x){\ displaystyle f '(x) = Bf (x)}
Her er noen koblinger med retningsdifferensierbarhet (i betydningen Dini) . Vi noterer retningsderivatet (i betydningen Dini) i retning . Hvis det faktum at en B-differensierbar funksjon tillater retningsderivater er tydelig, er det omvendte for lokale Lipschizian-funksjoner mindre; dette siste resultatet skyldes Shapiro (1990).
f′(x;h){\ displaystyle f '(x; h)}x∈E{\ displaystyle x \ in \ mathbb {E}}h∈E{\ displaystyle h \ in \ mathbb {E}}
Koblinger med retningsdifferensierbarhet i betydningen Dini -
- Hvis er B-differensierbar i , innrømmer retningsderivater (i betydningen Dini) etter hvilken som helst retning og .f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}f{\ displaystyle f}x∈E{\ displaystyle x \ in \ mathbb {E}}h∈E{\ displaystyle h \ in \ mathbb {E}}f′(x;h)=Bf(x)h{\ displaystyle f '(x; h) = Bf (x) h}
- Hvis er Lipschitzian i et nabolag av og hvis innrømmer retningsbestemte derivater i hvilken som helst retning, så er B-differensierbar i .f{\ displaystyle f} x{\ displaystyle x}f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}
Oppsummert, for lokale Lipschitzian-funksjoner , er forestillingen om B-differensierbarhet den samme som for retningsdifferensierbarhet (i betydningen Dini).
Regelmessigheten til B-derivatet
Den endelige lokale lipschitzianiteten til overføres til B-derivatet.
f{\ displaystyle f}
Lipschitzianitet av B-derivatet - Hvis er Lipschitzian av modul i et nabolag av og B-differensierbart i , så er Lipschitzian av modul .
f{\ displaystyle f}L{\ displaystyle L}x{\ displaystyle x}x{\ displaystyle x}Bf(x){\ displaystyle Bf (x)}L{\ displaystyle L}
Men generelt, er ikke Lipschitzian i et nabolag av , og ikke engang kontinuerlig. For eksempel hvis er definert av
x↦Bf(x){\ displaystyle x \ mapsto Bf (x)}x{\ displaystyle x}f:R→R{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}
f(x)=x+: =maks(0,x),{\ displaystyle f (x) = x ^ {+}: = \ max (0, x),}
vi har , slik at , mens for .
Bf(0)h=h+{\ displaystyle Bf (0) h = h ^ {+}}‖Bf(0)‖=1{\ displaystyle \ | Bf (0) \ | = 1}Bf(x)=0{\ displaystyle Bf (x) = 0}x<0{\ displaystyle x <0}
B-kjede shunt
Suksessen til B-derivatet skylder mye på stabiliteten med hensyn til sammensetningen av funksjoner.
B-differensiering av en komposisjon - La , og tre normerte rom. Ja
E{\ displaystyle \ mathbb {E}}F{\ displaystyle \ mathbb {F}}G{\ displaystyle \ mathbb {G}}
-
f:E→F{\ displaystyle f: \ mathbb {E} \ to \ mathbb {F}}er B-differensierbar i ,x{\ displaystyle x}
-
g:F→G{\ displaystyle g: \ mathbb {F} \ to \ mathbb {G}}er B-differensierbar i og Lipschitzian i et nabolag av ,f(x){\ displaystyle f (x)}f(x){\ displaystyle f (x)}
da er sammensatt funksjon B-differensierbar i og dens B-differensial er gitt av
(g∘f){\ displaystyle (g \ circ f)}x{\ displaystyle x}
B(g∘f)(x)=Bg(f(x))∘Bf(x).{\ displaystyle B (g \ circ f) (x) = Bg (f (x)) \ circ Bf (x).}
Formel med endelige trinn
Det følgende resultatet skyldes Pang (1990).
Formel for endelige trinn - Si
-
x{\ displaystyle x}, og ,y∈E{\ displaystyle y \ in \ mathbb {E}}[x,y]: ={(1-t)x+ty:0⩽t⩽1}{\ displaystyle [x, y]: = \ {(1-t) x + ty: 0 \ leqslant t \ leqslant 1 \}}
-
f:E→F{\ displaystyle f: \ mathbb {E} \ to \ mathbb {F}}er Lipschitzian i et nabolag av og B-forskjellig på ,[x,y]{\ displaystyle [x, y]}[x,y]{\ displaystyle [x, y]}
-
H:E→F{\ displaystyle H: \ mathbb {E} \ to \ mathbb {F}}er positivt homogen av grad 1 og avgrenset ,
så
‖f(y)-f(x)-H(y-x)‖⩽supz∈[x,y]‖(Bf(z)-H)(y-x)‖.{\ displaystyle \ | f (y) -f (x) -H (yx) \ | \ leqslant \ sup _ {z \ i [x, y]} \ | (Bf (z) -H) (yx) \ |.}
Ved å ta får vi formelen for de endelige trinnene
H=0{\ displaystyle H = 0}
‖f(y)-f(x)‖⩽supz∈[x,y]‖Bf(z)(y-x)‖.{\ displaystyle \ | f (y) -f (x) \ | \ leqslant \ sup _ {z \ i [x, y]} \ | Bf (z) (yx) \ |.}
Kontinuerlig og sterk B-differensierbarhet
Definisjoner
Her er definisjonene av kontinuerlig og sterk B-differensiering.
Kontinuerlig B-deriverbarhet - Vi sier at er kontinuerlig B-deriverbar i om det er B-deriverbar i et nabolag av , og hvis er kontinuerlig som en kartlegging av i normert vektorrom positivt homogene operatører av avgrenset grad 1.
f:E→F{\ displaystyle f: \ mathbb {E} \ to \ mathbb {F}}x∈E{\ displaystyle x \ in \ mathbb {E}}Ω{\ displaystyle \ Omega}x{\ displaystyle x}Bf{\ displaystyle Bf}Ω{\ displaystyle \ Omega}
Vi sier at det kontinuerlig er B-differensierbart på en del hvis det kontinuerlig er B-differensierbart når som helst .
f:E→F{\ displaystyle f: \ mathbb {E} \ to \ mathbb {F}}P⊂E{\ displaystyle P \ subset \ mathbb {E}}P{\ displaystyle P}
Sterk B-differensiering - Vi sier at det er sterkt B-differensierbart i hvis det er B-differensierbart i og hvis
f:E→F{\ displaystyle f: \ mathbb {E} \ to \ mathbb {F}}x∈E{\ displaystyle x \ in \ mathbb {E}}x{\ displaystyle x}
lim(y1,y2)→(x,x)y1≠y2f(y2)-f(y1)-Bf(x)(y2-y1)‖y2-y1‖=0.{\ displaystyle \ lim _ {\ scriptstyle (y_ {1}, y_ {2}) \ til (x, x) \ oven \ scriptstyle y_ {1} \ not = y_ {2}} \, {\ frac {f (y_ {2}) - f (y_ {1}) - Bf (x) (y_ {2} -y_ {1})} {\ | y_ {2} -y_ {1} \ |}} = 0. }
Husk den analoge definisjonen av sterk Fréchet-differensiering.
Sterk Fréchet-differensiabilitet - Vi sier at det er sterkt Fréchet-differensierbart i hvis det er Fréchet-differensierbart i
og hvis
f:E→F{\ displaystyle f: \ mathbb {E} \ to \ mathbb {F}}x{\ displaystyle x}x{\ displaystyle x}
lim(y1,y2)→(x,x)y1≠y2f(y2)-f(y1)-f′(x)(y2-y1)‖y2-y1‖=0.{\ displaystyle \ lim _ {\ scriptstyle (y_ {1}, y_ {2}) \ to (x, x) \ oven \ scriptstyle y_ {1} \ not = y_ {2}} \, {\ frac {f (y_ {2}) - f (y_ {1}) - f '(x) (y_ {2} -y_ {1})} {\ | y_ {2} -y_ {1} \ |}} = 0 .}
Denne siste forestillingen om sterk Fréchet-differensiering på et punkt er ikke diffundert: spesielt kan vi ha en B-differensierbar funksjon som er sterkt Fréchet-differensierbar i en bro, men ikke i punkter som er vilkårlig nær .
x{\ displaystyle x}x{\ displaystyle x}
Eiendommer
Forestillingene om sterk B-differensiering og sterk Fréchet-differensiering er i realiteten ekvivalente.
Ekvivalens mellom sterk B-differensiering og sterk Fréchet-differensiering - En funksjon er sterkt B-differensierbar i hvis, og bare hvis, den er sterkt Fréchet differensierbar i .
f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}x{\ displaystyle x}
Hvis er B-deriverbar i et nabolag av , er dette begrepet svært nær kontinuerlig B-deriverbarhet.
f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}
Kontinuerlig og sterk B-differensierbarhet - Hvis er B-differensierbar i et nabolag av , er følgende proposisjoner ekvivalente:
f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}
-
f{\ displaystyle f}er sterkt B-differensierbar i ,x{\ displaystyle x}
-
f{\ displaystyle f}er Lipschitzian i et nabolag av og er kontinuerlig i .x{\ displaystyle x}Bf{\ displaystyle Bf}x{\ displaystyle x}
Vedlegg
Merknader
-
(en) SM Robinson (1987). Lokal struktur av mulige sett i ikke-lineær programmering, del III: stabilitet og følsomhet. Matematisk programmeringsstudie , 30, 45-66.
-
(no) A. Shapiro (1990). Om begreper retningsdifferensierbarhet. Journal of Optimization Theory and Applications , 66, 477–487.
-
(en) J.-S. Pang (1990). Newtons metode for B-differensierbare ligninger. Mathematics of Operations Research , 15, 311–341.
Relaterte artikler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">