Betafunksjon
I matematikk er beta-funksjonen en av to Euler-integraler , definert for alle komplekse tall x og y av strengt positive reelle deler av:
B(x,y)=∫01tx-1(1-t)y-1dt,{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \ mathrm {d} t,}
og muligens utvidet analytisk til hele det komplekse planet med unntak av de negative heltallene.
Betafunksjonen ble studert av Euler og Legendre og skylder navnet sitt til Jacques Binet . Det er relatert til gammafunksjonen .
Det er også en ufullstendig versjon av beta-funksjonen, den ufullstendige beta-funksjonen samt en regulert versjon av den, den ufullstendige regulerte beta-funksjonen .
Eiendommer
I sin definisjon i integrert form viser endringen av variabelen u = 1 - t at denne funksjonen er symmetrisk, dvs. at:
B(x,y)=B(y,x){\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (y, x)}.
Det kan også ta integrerte former
B(x,y)=2∫0π/2synd2x-1θ cos2y-1θ dθ{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = 2 \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ sin ^ {2x-1} \ theta ~ \ cos ^ {2y-1} \ theta ~ \ mathrm {d} \ theta}(ved å endre variabelen ),
t=synd2θ{\ displaystyle t = \ sin ^ {2} \ theta}
B(x,y)=∫0∞sy-1(1+s)x+y ds{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {s ^ {y-1}} {(1 + s) ^ {x + y}} } ~ \ mathrm {d} s}(ved å endre variabelen ).
t=11+s{\ displaystyle t = {\ dfrac {1} {1 + s}}}
Den tilfredsstiller funksjonelle ligninger som:
B(x,y+1)=yx+yB(x,y){\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y + 1) = {y \ over x + y} \ mathrm {B} (x, y)},
B(x,y) B(x+y,1-y)=πxsynd(πy){\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) ~ \ mathrm {B} (x + y, 1-y) = {\ dfrac {\ pi} {x \ sin (\ pi y)}}},
B(x,x)=21-2xB(12,x){\ displaystyle \ mathrm {B} (x, x) = 2 ^ {1-2x} \ mathrm {B} \ left ({\ tfrac {1} {2}}, x \ right)}.
Det er relatert til gammafunksjonen ved følgende ligning:
B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y){\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}}.
Hvis x og y er strengt positive heltall , blir denne ligningen omskrevet i form av faktorier eller binomialkoeffisient :
x+yxyB(x,y)=(x+y)!x! y!=(x+yx){\ displaystyle {\ frac {x + y} {xy \ mathrm {B} (x, y)}} = {\ frac {(x + y)!} {x! ~ y!}} = {x + y \ velg x}}.
Hvis x og y er to rasjonelle, og hvis verken x , eller y , eller x + y er heltall, er Β ( x , y ) et transcendent tall .
Derivasjon
Delderivatene av beta-funksjonen bruker funksjonelle ligninger sett tidligere:
∂∂xB(x,y)=B(x,y)(Γ′(x)Γ(x)-Γ′(x+y)Γ(x+y))=B(x,y)(ψ(x)-ψ(x+y)),{\ displaystyle {\ partial \ over \ partial x} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ left ({\ Gamma '(x) \ over \ Gamma (x) } - {\ Gamma '(x + y) \ over \ Gamma (x + y)} \ høyre) = \ mathrm {B} (x, y) (\ psi (x) - \ psi (x + y)) ,}der ψ ( x ) er digamma-funksjonen .
∂2∂x2B(x,y)=B(x,y)[(ψ(x)-ψ(x+y))2+(ψ1(x)-ψ1(x+y))],{\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ over \ partial x ^ {2}} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ left [(\ psi (x) - \ psi (x + y)) ^ {2} + (\ psi _ {1} (x) - \ psi _ {1} (x + y)) \ høyre],}
∂2∂x∂yB(x,y)=B(x,y)[(ψ(x)-ψ(x+y))(ψ(y)-ψ(x+y))-ψ1(x+y)],{\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ over {\ partial x \ partial y}} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ left [(\ psi (x ) - \ psi (x + y)) (\ psi (y) - \ psi (x + y)) - \ psi _ {1} (x + y) \ høyre],}
der ψ n ( x ) er polygamma-funksjonen .
Ufullstendig beta-funksjon
Den ufullstendige beta-funksjonen er definert av:
B(x;på,b)=∫0xtpå-1(1-t)b-1dt{\ displaystyle \ mathrm {B} (x; \, a, b) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {a-1} \, (1-t) ^ {b-1} \ mathrm {d} t}
og trivielt sjekker :
B(x;på+1,b)+B(x;på,b+1)=B(x;på,b)etxpå(1-x)b=påB(x;på,b+1)-bB(x;på+1,b).{\ displaystyle \ mathrm {B} (x; \, a + 1, b) + \ mathrm {B} (x; \, a, b + 1) = \ mathrm {B} (x; \, a, b ) \ quad {\ rm {and}} \ quad x ^ {a} (1-x) ^ {b} = a \ mathrm {B} (x; \, a, b + 1) -b \ mathrm {B } (x; \, a + 1, b).}
For x = 1 tilsvarer det beta-funksjonen til parameterne a og b .
Den regelmessige ufullstendige beta-funksjonen er å dele den ufullstendige beta-funksjonen med den komplette beta-funksjonen
Jegx(på,b)=B(x;på,b)B(på,b).{\ displaystyle I_ {x} (a, b) = {\ dfrac {\ mathrm {B} (x; \, a, b)} {\ mathrm {B} (a, b)}}.}
De tidligere forholdene blir altså
påJegx(på+1,b)+bJegx(på,b+1)=(på+b)Jegx(på,b){\ displaystyle aI_ {x} (a + 1, b) + bI_ {x} (a, b + 1) = (a + b) I_ {x} (a, b)},Jegx(på,b+1)-Jegx(på+1,b)=xpå(1-x)bpå+bpåbB(på,b).{\ displaystyle, \ quad I_ {x} (a, b + 1) -I_ {x} (a + 1, b) = x ^ {a} (1-x) ^ {b} {\ frac {a + b} {ab \ mathrm {B} (a, b)}}.}
Vi trekker fra den andre (ved en umiddelbar gjentakelse ) følgende kobling til binomial utvikling og binomial lov :
Jegs(på,ikke-på+1)=∑j=påikke(ikkej)sj(1-s)ikke-j.{\ displaystyle I_ {p} (a, n-a + 1) = \ sum _ {j = a} ^ {n} {n \ velg j} p ^ {j} (1-p) ^ {nj}.}
Merknader og referanser
-
For en demonstrasjon, se for eksempel denne korrigerte øvelsen på Wikiversity .
-
(de) Theodor Schneider , " Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale " , J. queen angew. Matte. , vol. 183,1941, s. 110-128 ( les online ).
-
(in) Aslam Chaudhry og Syed M. Zubair , var klasse for ufullstendige gammafunksjoner med applikasjoner , CRC Press ,2001( ISBN 978-1-58488-143-8 , leses online ) , s. 218.
-
(en) Milton Abramowitz og Irene Stegun , håndbok for matematiske funksjoner med formler, grafer og matematiske tabeller [ utgave detalj ] ( les online ), § 6.6.
Ekstern lenke
(no) Eric W. Weisstein , “ Betafunksjon ” , på MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">