Liapunovs funksjon
En Liapunov-funksjon er en funksjon som gjør det mulig å estimere stabiliteten til en løsning av en differensialligning .
Plassering av problemet
Er
f:Rikke→Rikke{\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}en funksjon og et
dynamisk system , med et likevektspunkt for dette systemet .
x˙=f(x){\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x)}x∗{\ displaystyle x ^ {*}}f(x∗)=0{\ displaystyle f (x ^ {*}) = 0}Ved en endring av variabelen kan vi redusere til tilfellet der opprinnelsen er et likevektspunkt ( ).
y: =x-x∗{\ displaystyle y: = xx ^ {*}}f(0)=0{\ displaystyle f (0) = 0}
Definisjon
En funksjon er en Liapunov-kandidatfunksjon hvis
V:Rikke→R{\ displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}
-
V(0)=0{\ displaystyle V (0) = 0} ;
-
∀x∈U∖{0}V(x)>0{\ displaystyle \ forall x \ i U \ setminus \ {0 \} \ quad V (x)> 0}, for et bestemt nabolag av opprinnelsen.U{\ displaystyle U}
Den deriverte av en funksjon langs vektorfelt er definert av
V˙{\ displaystyle {\ dot {V}}}V{\ displaystyle V} f{\ displaystyle f}
V˙(x)=⟨∇V(x),f(x)⟩{\ displaystyle {\ dot {V}} (x) = \ langle \ nabla V (x), f (x) \ rangle}hvor betegner den skalare produkt i den betraktede plass og den gradienten operatør .
⟨⋅,⋅⟩{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}∇{\ displaystyle \ nabla}
Hvis en Liapunov-kandidatfunksjon tilfredsstiller
V{\ displaystyle V}
∀x∈W∖{0}V˙(x)≤0{\ displaystyle \ forall x \ i W \ setminus \ {0 \} \ quad {\ dot {V}} (x) \ leq 0}for et visst nabolag av opprinnelsen,
W{\ displaystyle W}vi sier at det er en Liapunov-funksjon .
V{\ displaystyle V}
Setning
Det eksisterer en Liapunov-funksjon for det dynamiske systemet som vurderes, hvis, og bare hvis opprinnelsen er en stabil likevekt i dette systemet.
Videre er opprinnelsen asymptotisk stabil hvis, og bare hvis det eksisterer en Liapunov-funksjon som tilfredsstiller
V{\ displaystyle V}
∀x∈W∖{0}V˙(x)<0{\ displaystyle \ forall x \ i W \ setminus \ {0 \} \ quad {\ dot {V}} (x) <0}.
Denne setningen, på grunn av flere forfattere ( Alexandre Liapounov , KP Persidsky, José Luis Massera ), er en av de viktigste resultatene av Liapunovs teori om stabilitet; beviset er gitt i avsnittet "Fundamentale teoremer" i den detaljerte artikkelen .
Bibliografi
- (no) Eric W. Weisstein , “ Lyapunov-funksjonen ” , på MathWorld
- (en) HK Khalil , ikke- lineære systemer , Upper Saddle River, NJ, Prentice Hall ,1996
-
Jean-Marie Arnaudiès , Differensiallikninger , Éditions Ellipses , Paris, 2000 ( ISBN 2-7298-0045-X )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">