Liouville formel

I matematikk gir Liouvilles formel (noen ganger kalt Liouvilles teorem eller Jacobi-Liouvilles formel / teorem ) Wronskian- uttrykket for et system av førsteordens lineære differensiallikninger , dvs. determinanten for en familie av løsninger. ${\ displaystyle Y '= AY}$

Formelen er oppkalt etter den franske matematikeren Joseph Liouville .

Setning av setningen

La være et reelt intervall og en funksjon av mot kvadratmatriser av dimensjon n . Vi vurderer systemet med homogene førsteordens differensiallikninger $Jeg$ ${\ displaystyle t \ longmapsto A (t) \ \ in M_ {n} (\ mathbb {R})}$ $Jeg$

{\ displaystyle Y '(t) = A (t) \ cdot Y (t), \ qquad \ forall \ t \ i I \ qquad (1)}

når det ukjente er en funksjon av vektor verdsatt. Hvis vi har n løsninger på (1), kan vi vurdere "matriseløsningen" $Φ$ hvis -th kolonne er for . Det tilfredsstiller naturlig nok den samme ligningen ${\ displaystyle t \ longmapsto Y (t) \ \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $Jeg$ ${\ displaystyle {\ bigl (} Y_ {1}, \ cdots, Y_ {n} {\ bigr)}}$ $Jeg$ $Y_ {i}$ ${\ displaystyle i = 1, \ cdots, n}$

{\ displaystyle \ Phi '(t) = A (t) \ cdot \ Phi (t), \ qquad \ forall \ t \ i I \ qquad (2)}

Wronskian er determinanten for denne matrisen, dvs. . ${\ displaystyle W (t): = \ det \ Phi (t)}$

Hvis sporet er en kontinuerlig funksjon av t da ${\ displaystyle \ mathrm {tr} (A)}$

{\ displaystyle W (t) = W (t_ {0}) \, \ exp {\ biggl (} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ mathrm {tr} \, A (s) \, {\ textrm {d}} s {\ biggr)}, \ qquad \ forall \ t, t_ {0} \ i I \ qquad (3)}

Tilsvarende, hvis vi innføre oppløsnings anvendelse som sender verdien av en løsning ved tiden t 0 til dens verdi ved tidspunktet t , dvs. løsning av (1), får vi ${\ displaystyle R (t, t_ {0}) \ i M_ {n} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle Y (t) = R (t, t_ {0}) \ cdot Y (t_ {0}), \ \ forall \ Y}$

{\ displaystyle \ det R (t, t_ {0}) = \ exp {\ biggl (} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ mathrm {tr} \, A (s) \, {\ textrm {d}} s {\ biggr)}, \ qquad \ forall \ t, t_ {0} \ i I}

Demonstrasjon

Ideen er å beregne derivatet av Wronskian og løse den resulterende differensiallikningen.

Husk at determinanten av $Φ$ er en sum av produkter med disse koeffisientene . Hvert begrep ( dvs. for en gitt permutasjon ) inneholder nøyaktig en koeffisient fra hvilken som helst rad eller kolonne. Å bruke reglene for å utlede en sum og et produkt av funksjoner resulterer i en sum som inneholder mange flere termer, men hver med bare en enkelt avledet faktor . Ved å gruppere alle de som inneholder en koeffisient av samme rad, får vi ${\ displaystyle \ det (\ Phi): = \ sum _ {\ sigma \ i {\ mathfrak {S}} _ {n}} \ varepsilon (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ Phi _ {\ sigma (i), i}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ Phi _ {\ sigma (i), i}}$ $\ sigma$ ${\ displaystyle \ Phi _ {i, j} '}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {i, *} '}$

{\ displaystyle (\ det \ Phi) '= \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ det {\ begin {pmatrix} \ Phi _ {1,1} & \ Phi _ {1,2} & \ cdots & \ Phi _ {1, n} \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\\ Phi '_ {i, 1} & \ Phi' _ {i, 2} & \ cdots & \ Phi '_ { i, n} \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\\ Phi _ {n, 1} & \ Phi _ {n, 2} & \ cdots & \ Phi _ {n, n} \ end {pmatrix} } \ qquad (a)}

(Dette er den avledning formelen for en kartlegging av den type hvor m er en lineær funksjon for hver linje l i ). Bruker nå (2), eller bare linjen i i denne matrisejevnheten ${\ displaystyle t \ mapsto m {\ big (} l_ {1} (t), l_ {2} (t), \ cdots, l_ {n} (t) {\ big)}}$

{\ displaystyle (\ Phi '_ {i, 1}, \ prikker, \ Phi' _ {i, n}) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {i, k} (\ Phi _ {k, 1}, \ ldots, \ Phi _ {k, n}) \ quad \ Longleftrightarrow \ quad (\ Phi '_ {i, 1}, \ dots, \ Phi' _ {i, n}) - \ sum _ {\ scriptstyle k = 1 \ ovenpå \ scriptstyle k \ neq i} ^ {n} a_ {i, k} (\ Phi _ {k, 1}, \ ldots, \ Phi _ {k, n}) = a_ {i, i} (\ Phi _ {i, 1}, \ ldots, \ Phi _ {i, n})}

Ved å trekke fra linje i den lineære kombinasjonen av alle de andre linjene, en operasjon som ikke endrer determinanten, får vi ${\ displaystyle \ sum _ {\ scriptstyle k = 1 \ på toppen \ scriptstyle k \ neq i} ^ {n} a_ {i, k} (\ Phi _ {k, 1}, \ ldots, \ Phi _ {k, ikke})}$

{\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} \ Phi _ {1,1} & \ Phi _ {1,2} & \ cdots & \ Phi _ {1, n} \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\\ Phi '_ {i, 1} & \ Phi' _ {i, 2} & \ cdots & \ Phi '_ {i, n} \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\\ Phi _ { n, 1} & \ Phi _ {n, 2} & \ cdots & \ Phi _ {n, n} \ end {pmatrix}} = \ det {\ begin {pmatrix} \ Phi _ {1,1} & \ Phi _ {1,2} & \ cdots & \ Phi _ {1, n} \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ a_ {i, i} \ Phi _ {i, 1} & a_ {i, i} \ Phi _ {i, 2} & \ cdots & a_ {i, i} \ Phi _ {i, n} \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\\ Phi _ {n, 1} & \ Phi _ {n, 2} & \ cdots & \ Phi _ {n, n} \ end {pmatrix}} = a_ {i, i} \ det \ Phi}

Ved å sette inn i (a) har vi

{\ displaystyle (\ det \ Phi) '= \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, i} \ det \ Phi = \ mathrm {tr} \, A \, \ det \ Phi \ quad \ Longleftrightarrow \ quad W '(t) = \ mathrm {tr} \, A \, (t) \, W (t) \ qquad (b)}

Det er en lineær homogen ordinær differensialligning av første orden på Wronskian hvorav (3) er løsningen.

Et annet bevis, som bruker differensialen til determinanten , presenteres i Wronskien- artikkelen .

applikasjoner

Når vi allerede har n - en lineært uavhengige løsninger av (1), kan vi bruke Wronskien til å bestemme en n- te løsning lineært uavhengig av den første n - 1.

Merknader og referanser

Robert Roussarie og Jean Roux, Fra differensiallikninger til dynamiske systemer I , Les Ulis, EDP Sciences ,2012, 318 s. ( ISBN 978-2-7598-0512-9 ) , s. 97.
For eksempel er den eneste koeffisienten i kolonne 3 i et produkt, og den eneste koeffisienten i rad 2 er hvor den unike forgjengeren til 2 ved permutasjon er . ${\ displaystyle \ Phi _ {\ sigma (3), 3}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {2, \ sigma ^ {- 1} (2)}}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {- 1} (2)}$ $\ sigma$