Newtons multinomiale formel
I matematikk er formelen til Newtons multinomial et forhold som gir utviklingen av et heltall makt n av en sum av et endelig antall m termer i form av en sum av kraftprodukter av disse begrepene påvirket av koeffisienter, som kalles multinomial koeffisienter . Den binomial formel er oppnådd som et spesielt tilfelle av den multinomisk formel, for m = 2 ; og i dette tilfellet er de multinomiale koeffisientene binomiale koeffisienter .
Stater
La m og n begge heltallene og x 1 , x 2 , ..., x m av reelle tall eller komplekse (eller mer generelt, elementene til en kommutativ ring eller bare en ring , forutsatt at disse m- elementene bytter to og to) . Så,
(x1+x2+x3+⋯+xm)ikke=∑k1+k2+k3+...+km=ikke(ikkek1,k2,k3,...,km)x1k1x2k2x3k3...xmkm{\ displaystyle (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + \ prikker + x_ {m}) ^ {n} = \ sum _ {k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} + \ ldots + k_ {m} = n} {n \ velg k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ prikker, k_ {m}} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}} x_ {3} ^ {k_ {3}} \ prikker x_ {m} ^ {k_ {m}}}.
Summen gjelder alle kombinasjoner av naturlige heltallindekser k 1 , k 2 , ..., k m slik at k 1 + k 2 + ... + k m = n , noen av dem muligens er null.
En ekvivalent, men mye mer kortfattet skriving består i å summere over alle multiindeksene til dimensjonen m hvis modul er lik n :
k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}|k→|=∑Jeg=1mkJeg{\ displaystyle \ left | {\ vec {k}} \ right | = \ sum \ nolimits _ {i = 1} ^ {m} k_ {i}}
(∑Jeg=1mxJeg)ikke=∑|k→|=ikke(ikkek→)∏Jeg=1mxJegkJeg{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} \ right) ^ {n} = \ sum _ {\ left | {\ vec {k}} \ right | = n} {n \ velg {\ vec {k}}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} ^ {k_ {i}}}Tall
(ikkek1,k2,k3,...,km)=(ikkek→)=ikke!k1!k2!k3!...km!=ikke!∏Jeg=1mkJeg!{\ displaystyle {n \ select k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}} = {n \ choose {\ vec {k}}} = {\ frac {n! } {k_ {1}! k_ {2}! k_ {3}! \ dots k_ {m}!}} = {\ frac {n!} {\ prod _ {i = 1} ^ {m} k_ {i }!}}}kalles multinomiale koeffisienter .
Den multinomiale koeffisienten er også antallet "ordnede partisjoner" til et sett med n- elementer i m sett av respektive kardinaler k 1 , k 2 , ..., k m . Mer formelt:
(ikkek1,k2,k3,...,km){\ displaystyle {n \ select k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}}}
(ikkek1,k2,...,km)=Kort{Jeg∈P({1,...,ikke})m|∀Jeg,jKort(JegJeg)=kJeg og (Jeg≠j⇒JegJeg∩Jegj=∅)}.{\ displaystyle {n \ select k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} = \ operatorname {Card} \ left \ {I \ in {\ mathcal {P}} (\ {1, \ ldots, n \}) ^ {m} | \ forall i, j \ quad \ operatorname {Card} (I_ {i}) = k_ {i} ~ {\ text {and}} ~ (i \ neq j \ Rightarrow I_ {i} \ cap I_ {j} = \ emptyset) \ right \}.}
Og mer konkret, er antall ord med lengde n dannet med et alfabet med m- tegn, det første tegnet blir gjentatt k 1 gang, det andre, k 2 ganger, ..., m- th, k m ganger. For eksempel er antall anagrammer av ordet Mississippi verdt .
(ikkek1,k2,k3,...,km){\ displaystyle {n \ select k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}}}(104,4,1,1)=6300{\ displaystyle {10 \ select 4,4,1,1} = 6300}
Demonstrasjoner
Et direkte bevis er å bruke det nest siste uttrykket ovenfor for multinomiale koeffisienter.
Et annet er å resonnere ved induksjon på m , ved hjelp av binomialformelen .
Til slutt kan vi bruke heltall (eller ganske enkelt formell ) serieutvidelse av det eksponentielle .
Eksempel
(på+b+vs.)3=(på3b0vs.0+på0b3vs.0+på0b0vs.3)+3(på2b1vs.0+på1b2vs.0+på0b1vs.2+på0b2vs.1+på1b0vs.2+på2b0vs.1)+6på1b1vs.1=på3+b3+vs.3+3(på2b+påb2+bvs.2+b2vs.+påvs.2+på2vs.)+6påbvs..{\ displaystyle {\ begin {justert} (a + b + c) ^ {3} & = (a ^ {3} b ^ {0} c ^ {0} + a ^ {0} b ^ {3} c ^ {0} + a ^ {0} b ^ {0} c ^ {3}) + 3 (a ^ {2} b ^ {1} c ^ {0} + a ^ {1} b ^ {2} c ^ {0} + a ^ {0} b ^ {1} c ^ {2} + a ^ {0} b ^ {2} c ^ {1} + a ^ {1} b ^ {0} c ^ {2} + a ^ {2} b ^ {0} c ^ {1}) + 6a ^ {1} b ^ {1} c ^ {1} \\ & = a ^ {3} + b ^ {3 } + c ^ {3} +3 (a ^ {2} b + ab ^ {2} + bc ^ {2} + b ^ {2} c + ac ^ {2} + a ^ {2} c) + 6abc. \ End {align}}}
Merknader og referanser
-
Dette kombinatoriske beviset er tilgjengelig for eksempel i Louis Comtet , Advanced combinatorial analysis , Engineering teknikker ( les online ) , s. 3og på Wikiversity , i lenken nedenfor .
-
Dette gjentakelsesbeviset er tilgjengelig for eksempel på Wikiversity, i lenken nedenfor .
-
Dette "analytiske" beviset er tilgjengelig for eksempel i Comtet , s. 3 og på Wikiversity, i lenken nedenfor .
Se også
Relaterte artikler
Bibliografi
(en) Paul Erdős og Ivan Niven , “ Antallet multinomiale koeffisienter ” , Amer. Matte. Månedlig , vol. 61,1954, s. 37-39 ( les online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">