G-håp

I sannsynlighetsteori er g-forventning en ikke-lineær forventning definert fra en retrograd stokastisk differensialligning (EDSR) introdusert av Shige Peng .

Definisjon

La være et sannsynlig rom med en Wiener-prosess i dimensjon d (på dette rommet). Enten filtreringen generert av , dvs. og enten en målbar tilfeldig variabel . Tenk på EDSR gitt av: ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle (W_ {t}) _ {t \ geq 0}}$ ${\ displaystyle (W_ {t})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t} = \ sigma (W_ {s}: s \ in [0, t])}$ $X$ ${\ mathcal {F}} _ {T}$

{\ displaystyle {\ begin {align} dY_ {t} & = g (t, Y_ {t}, Z_ {t}) \, dt-Z_ {t} \, dW_ {t} \\ Y_ {T} & = X \ end {align}}}

Da g-håpet for er gitt av . Merk at hvis er en vektor med dimensjon m , så (for alle tider ) er en vektor med dimensjon m og er en matrise av størrelse . $X$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [X]: = Y_ {0}}$ $X$ $Y_ {t}$ $t$ $Z_t$ ${\ displaystyle m \ times d}$

Faktisk er den betingede forventningen gitt av og på samme måte som den formelle definisjonen for den betingede forventningen den kommer for alt (der funksjonen er indikatorfunksjonen ). ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [X \ mid {\ mathcal {F}} _ {t}]: = Y_ {t}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [1_ {A} \ mathbb {E} ^ {g} [X \ mid {\ mathcal {F}} _ {t}]] = \ mathbb {E} ^ {g} [1_ {A} X]}$ ${\ displaystyle A \ i {\ mathcal {F}} _ {t}}$ $1$

Eksistens og unikhet

Enten tilfredsstillende: ${\ displaystyle g: [0, T] \ times \ mathbb {R} ^ {m} \ times \ mathbb {R} ^ {m \ times d} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ displaystyle g (\ cdot, y, z)}$ er en - passende prosess for alle ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle (y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {m} \ times \ mathbb {R} ^ {m \ times d}}$
${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} | g (t, 0,0) | \, dt \ in L ^ {2} (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {T}, \ mathbb {P})}$ den L2 plass (der er en norm i ) ${\ displaystyle | \ cdot |}$ $\ mathbb {R} ^ {m}$
$g$ er en Lipschitzian kartlegging i , det vil si for alt , og det kommer for en konstant ${\ displaystyle (y, z)}$ ${\ displaystyle y_ {1}, y_ {2} \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times d}}$ ${\ displaystyle | g (t, y_ {1}, z_ {1}) - g (t, y_ {2}, z_ {2}) | \ leq C (| y_ {1} -y_ {2} | + | z_ {1} -z_ {2} |)}$ $VS$

For enhver tilfeldig variabel eksisterer det et unikt par tilpassede prosesser som tilfredsstiller den bakover stokastiske differensiallikningen. ${\ displaystyle X \ i L ^ {2} (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {t}, \ mathbb {P}; \ mathbb {R} ^ {m})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle (Y, Z)}$

Spesielt hvis også sjekker: $g$

$g$ er kontinuerlig i tid ( ) $t$
${\ displaystyle g (t, y, 0) \ equiv 0}$ for alt ${\ displaystyle (t, y) \ in [0, T] \ times \ mathbb {R} ^ {m}}$

så for terminaltilstanden følger det at løsningsprosessene er kvadratiske integrerbare. Dermed er kvadratisk integrerbar for alle tider . ${\ displaystyle X \ i L ^ {2} (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {t}, \ mathbb {P}; \ mathbb {R} ^ {m})}$ ${\ displaystyle (Y, Z)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [X | {\ mathcal {F}} _ {t}]}$ $t$

Se også

Forventning

Referanser

Philippe Briand, François Coquet, Ying Hu, Jean Mémin og Shige Peng, “ A Converse Comparison Theorem for BSDEs and Related Properties of g-Expectation ”, Electronic Communications in Probability , vol. 5, n o 132000, s. 101–117 ( DOI 10.1214 / ecp.v5-1025 , les online [PDF] , åpnet 2. august 2012 )
S. Peng , stokastiske metoder i finans , vol. 1856, koll. "Forelesningsnotater i matematikk",2004, 165–138 s. ( ISBN 978-3-540-22953-7 , DOI 10.1007 / 978-3-540-44644-6_4 , les online [ arkiv av3. mars 2016] [PDF] ), “Ikke-lineære forventninger, ikke-lineære evalueringer og risikotiltak”
Z. Chen , T. Chen og M. Davison , " Choquet forventning og Peng's g-forventning, " The Annals of Probability , vol. 33, n o 3,2005, s. 1179 ( DOI 10.1214 / 009117904000001053 , arXiv matematikk / 0506598 )