Romgruppe
Den romgruppen av et krystall er dannet av settet av symmetrier i en krystallstruktur , dvs. det sett av affine isometries forlater struktur invariant. Det er en gruppe i matematisk forstand av begrepet.
Enhver romgruppe er resultatet av kombinasjonen av et Bravais-gitter og en punktsymmetri-gruppe : enhver symmetri av strukturen er resultatet av produktet av en oversettelse av gitteret og en transformasjon av punktgruppen.
Den reisende Hermann-Mauguin brukes til å representere en gruppe på plass.
The International Union of Crystallography publiserer International Tables of Crystallography ; i volum A er hver romgruppe og dens symmetrioperasjoner representert grafisk og matematisk.
Prinsipp for å bestemme romgrupper
Settet med romgrupper er resultatet av kombinasjonen av en grunnleggende enhet (eller mønster) med spesifikke symmetrioperasjoner ( refleksjon, rotasjon og inversjon ), til hvilke operasjoner for oversettelse , oversettelse i planet eller kombinert med refleksjon eller rotasjon.
Antallet forskjellige grupper er imidlertid lavere enn kombinasjonene, noen er isomorfe , det vil si fører til samme romgruppe. Dette resultatet kan demonstreres matematisk ved gruppeteori .
Oversettelsesoperasjoner inkluderer:
- oversettelsen i henhold til basisvektorene i nettverket, som endres fra en celle til nabocellen;
- oversettelser kombinert med refleksjoner og rotasjoner:
- rototranslations (symmetrielement: spiralformet akse): en rotasjon langs en akse, kombinert med en translasjon langs aksens retning, og hvis amplitude er en brøkdel av basisvektorene. De er betegnet med et tall n som beskriver graden av rotasjon, der n er antall ganger rotasjonen må brukes for å oppnå identiteten (3 representerer derfor for eksempel en rotasjon på en tredjedel av en sving, dvs. 2π / 3). Graden av oversettelse blir så notert av en indeks som indikerer hvilken brøkdel av vektoren i nettverket som tilsvarer oversettelsen. Generelt er den skruelinjeformede aksen n p betegner en rotasjon av 2π / n, etterfulgt av en oversettelse av p / n av vektoren av nettet parallelt med aksen. For eksempel representerer 2 1 en rotasjon på en halv omdreining etterfulgt av en oversettelse av en halvvektor av nettverket.
- gliderefleksjon : en refleksjon etterfulgt av en oversettelse parallelt med planet. Symmetrielementene er oversettelsesspeil angitt med bokstaven g etterfulgt av translasjonskomponenten i parentes; imidlertid er de vanligste oversettelsesspeilene i en krystallstruktur angitt med en bokstav som i følgende tabell:
| Speil type | Slip |
|---|---|
| på | a / 2 (1/2 av perioden langs retning a) |
| b | b / 2 (1/2 av perioden langs retning b) |
| vs. | c / 2 (1/2 av perioden langs retning c) |
| ikke | 1/2 av perioden i en diagonal retning |
| d | 1/4 av perioden i diagonal retning |
| e | 1/2 av perioden langs to vinkelrette retninger |
I en romgruppe kan forskjellige symmetrielementer av samme dimensjonalitet eksistere parallelt. For eksempel kan akser 2 1 være parallelle med akser 2; typen speil m kan være parallell med slike speil har ; etc. I symbolet for romgruppen følger valget av det representative elementet en prioritetsrekkefølge, som er som følger:
- sklisikre akser har prioritet fremfor spiralformede akser;
- prioriteten i valget av representativt speil er: m> e> a> b> c> n> d.
Noen unntak eksisterer imidlertid. For eksempel inneholder grupper I 222 og I 2 1 2 1 2 1 akser 2 1 parallelt med akser 2, men i den første gruppen har de tre aksene 2 felles skjæringspunkt så vel som de tre aksene 2 1 , mens i den andre gruppen dette er ikke tilfelle. Prioritetsregelen gjelder ikke her, ellers vil begge gruppene ha det samme symbolet.
Bestemmelse i direkte rom
Bestemmelsen av romgruppen til en krystall i direkte rom utføres ved å observere elementene av symmetri som er tilstede i krystallen; det er derfor nødvendig å observere atommodellen til krystallet (eller dets ortogonale projeksjon ) langs dets symmetriretninger. Siden direkte visualisering av atomarrangementet til en ukjent krystall ikke er mulig, brukes denne metoden for å bestemme romgruppen hovedsakelig i utdanningen.
Bestemmelse i gjensidig rom
I praksis bestemmes romgruppen til en ukjent krystall i gjensidig rom ved diffraksjon av røntgenstråler , nøytroner eller elektroner . Kunnskapen om parametere for maske og klasse Laue gjør det mulig å finne punktgruppesymmetri mulig krystall, generelt tilsvarer flere mulige romgrupper. Undersøkelsen av de systematiske utryddelsene av refleksjoner i diffraksjonsmønsteret gir elementene av symmetrier med en translatorisk komponent som er tilstede i krystallet (spiralformede akser, oversettelsesspeil), som noen ganger fører til bestemmelse av en enkelt romgruppe. Imidlertid er generelt flere grupper av kandidatrom funnet. Tvetydigheten løses deretter ved å bestemme strukturen til krystallet i hver av romgruppene. Hvis en romgruppe ikke er egnet for å beskrive strukturen, kan dette sees på flere måter:
- koordinering polyedre ( bindingen lengder og vinkler ) av kjemisk art kan være meget forskjellig fra det som er kjent fra andre strukturer;
- følgelig gir beregningene av obligasjonsstyrkene feilaktige resultater;
- de termiske omrøringsparametrene til atomene er unormalt høye;
- de modellraffineringsparametre er sterkt korrelert ;
- innstillingsfaktorene for forbedring av strukturen er høye.
De 230 typene romgrupper
Settet med 230 typer tredimensjonale romgrupper er et resultat av kombinasjonen av de 32 typene punktsymmetri-grupper med de 14 typer Bravais-nettverk .
Ved isomorfisme reduseres kombinasjonene av en type Bravais-gitter og en type punktsymmeturgruppe (32 × 14 = 448) til 230 forskjellige typer romgrupper.
| Klasse | # | Triklinikksystem | |||||||
| 1 | 1 | P 1 | |||||||
| 1 | 2 | P 1 | |||||||
| Monoklinisk system | |||||||||
| 2 | 3-5 | P 2 | P 2 1 | C 2 | |||||
| m | 6-9 | Pm | Pc | Cm | CC | ||||
| 2 / m | 10-15 | P 2 / m | P 2 1 / m | C 2 / m | P 2 / c | P 2 1 / c | C 2 / c | ||
| Ortorhombisk system | |||||||||
| 222 | 16-24 | P 222 | P 222 1 | P 2 1 2 1 2 | P 2 1 2 1 2 1 | C 222 1 | C 222 | F 222 | I 222 |
| I 2 1 2 1 2 1 | |||||||||
| mm 2 | 25-46 | Pmm 2 | Pmc 2 1 | Pc 2 | Pma 2 | Pca 2 1 | Pnc 2 | Pmn 2 1 | Pba 2 |
| Pna 2 1 | Pnn 2 | Cmm 2 | Cmc 2 1 | CCcc 2 | Amm 2 | Aem 2 | Ama 2 | ||
| Aea 2 | Fmm 2 | Fdd 2 | Imm 2 | Iba 2 | Ima 2 | ||||
| mmm | 47-74 | Pmmm | Pnnn | Pccm | Pban | Pmma | Pnna | Pmna | Pcca |
| Pbam | Pccn | Pbcm | Pnnm | Pmmn | Pbcn | Pbca | Pnma | ||
| Cmcm | Cmce | Cmmm | Cccm | Cm | Ccce | Fmmm | Fddd | ||
| Immm | Ibam | Ibca | Imma | ||||||
| Kvadratisk eller tetragonal system | |||||||||
| 4 | 75-80 | P 4 | P 4 1 | P 4 2 | P 4 3 | I 4 | I 4 1 | ||
| 4 | 81-82 | P 4 | I 4 | ||||||
| 4 / m | 83-88 | P 4 / m | P 4 2 / m | P 4 / n | P 4 2 / n | I 4 / m | I 4 1 / a | ||
| 422 | 89-98 | P 422 | P 42 1 2 | P 4 1 22 | P 4 1 2 1 2 | P 4 2 22 | P 4 2 2 1 2 | P 4 3 22 | P 4 3 2 1 2 |
| I 422 | I 4 1 22 | ||||||||
| 4 mm | 99-110 | P 4 mm | P 4 bm | D 4 2 cm | P 4 2 nm | P 4 cc | P 4 nc | P 4 2 mc | P 4 2 bc |
| I 4 mm | Jeg 4 cm | I 4 1 md | I 4 1 cd | ||||||
| 4 2 m | 111-122 | P 4 2 m | P 4 2 c | P 4 2 1 m | P 4 2 1 c | P 4 m 2 | P 4 c 2 | P 4 b 2 | P 4 n 2 |
| I 4 m 2 | I 4 c 2 | I 4 2 m | I 4 2 d | ||||||
| 4 / mmm | 123-142 | P 4 / mmm | P 4 / mmc | P 4 / nbm | P 4 / nnc | P 4 / mbm | P 4 / nnc | P 4 / nmm | P 4 / ncc |
| P 4 2 / mmc | P 4 2 / mcm | P 4 2 / nbc | P 4 2 / nnm | P 4 2 / mbc | P 4 2 / mnm | P 4 2 / nmc | P 4 2 / ncm | ||
| I 4 / mmm | I 4 / mcm | I 4 1 / amd | I 4 1 / acd | ||||||
| Trigonal system | |||||||||
| 3 | 143-146 | P 3 | P 3 1 | P 3 2 | R 3 | ||||
| 3 | 147-148 | P 3 | R 3 | ||||||
| 32 | 149-155 | P 312 | P 321 | P 3 1 12 | P 3 1 21 | P 3 2 12 | P 3 2 21 | R 32 | |
| 3 m | 156-161 | P 3 m 1 | P 31 m | P 3 c 1 | P 31 c | R 3 m | R 3 c | ||
| 3 m | 162-167 | P 3 1 m | P 3 1 c | P 3 m 1 | P 3 c 1 | R 3 m | R 3 c | ||
| Sekskantet system | |||||||||
| 6 | 168-173 | P 6 | P 6 1 | P 6 5 | P 6 2 | P 6 4 | P 6 3 | ||
| 6 | 174 | P 6 | |||||||
| 6 / m | 175-176 | P 6 / m | P 6 3 / m | ||||||
| 622 | 177-182 | P 622 | P 6 1 22 | P 6 5 22 | P 6 2 22 | P 6 4 22 | P 6 3 22 | ||
| 6 mm | 183-186 | P 6 mm | P 6 cc | D 6 3 cm | P 6 3 mc | ||||
| 6 m 2 | 187-190 | P 6 m 2 | P 6 c 2 | P 6 2 m | P 6 2 c | ||||
| 6 / mmm | 191-194 | P 6 / mmm | P 6 / mcc | P 6 3 / mcm | P 6 3 / mmc | ||||
| Kubisk system | |||||||||
| 23 | 195-199 | P 23 | F 23 | Jeg 23 | P 2 1 3 | I 2 1 3 | |||
| m 3 | 200-206 | Pm 3 | Pn 3 | Fm 3 | Fd 3 | I 3 | Pa 3 | Ia 3 | |
| 432 | 207-214 | P 432 | P 4 2 32 | F 432 | F 4 1 32 | I 432 | P 4 3 32 | P 4 1 32 | I 4 1 32 |
| 4 3 m | 215-220 | P 4 3 m | F 4 3 m | I 4 3 m | P 4 3 n | F 4 3 c | I 4 3 d | ||
| m 3 m | 221-230 | Pm 3 m | Pn 3 n | Pm 3 n | Pn 3 m | Fm 3 m | Fm 3 c | Fd 3 m | Fd 3 c |
| Jeg er 3 m | Ia 3 d | ||||||||
Ukonvensjonelle romgrupper
Romgruppene vist i tabellen over er de konvensjonelle romgruppene, som brukes til å beskrive symmetrien til en krystall i dens konvensjonelle gitter . Imidlertid kan det være nyttig å bruke en ukonvensjonell romgruppe, for eksempel for å studere strukturelle faseoverganger , tilfeller av polytypisme eller substitusjonsserier . Det er to måter å få en ukonvensjonell romgruppe:
- ved å velge en ny volumcelle identisk med den konvensjonelle cellen, for eksempel ved å permere basisvektorene til cellen;
- ved kunstig å øke maskestørrelsen (multiple mesh).
Beskrivelsen av en krystall i en ukonvensjonell romgruppe endrer ikke den indre symmetrien til krystallet, det er ganske enkelt en alternativ beskrivelse av den samme strukturen.
Masker med identisk volum
I monokliniske og ortorombiske krystallsystemer er retningene , og er ikke ekvivalente ved symmetri, det vil si at det ikke er noen symmetrioperasjon som kan transformere en av disse retningene til en av de to andre. Navnet på basisvektorene i cellen blir generelt valgt for å oppnå en konvensjonell romgruppe.
I de tilfeller der elementene av symmetri i retningene , og er av forskjellige natur, fører en permutasjon av navnene på basisvektorene til et maske med uendret volum med en ukonvensjonell romgruppe. På den annen side, i det monokliniske systemet, er vinkelen β mellom vektorene a og c ikke fiksert til 90 °, valget av basisvektorene a ' = -ac , b' = b og c ' = a fører også til en monoklinisk celle med volum som er lik den for den konvensjonelle cellen.
Følgende tabell gir de konvensjonelle og ukonvensjonelle romgruppene i det monokliniske systemet. De mulige tegnendringene til basisvektorene er nødvendige slik at de danner en direkte trihedron . I det monokliniske tilfellet vurderer man bare endringene av basen som forlater aksen som symmetriakse. Romgruppene som forblir identiske ved endring av koordinatsystem er ikke oppført.
| # | Konvensjonelt nett | Ukonvensjonelle masker | ||
|---|---|---|---|---|
| 5 | C 2 (vektorene a , b , c ) | A 2 ( c , −b , a ) | A 2 ( -ac , b , a ) | I 2 ( c , b , -ac ) |
| 7 | Pc (vektorene a , b , c ) | Pa ( c , −b , a ) | Pn ( -ac , b , a ) | Pa ( c , b , -ac ) |
| 8 | Cm (vektorene a , b , c ) | Am ( c , −b , a ) | Am ( -ac , b , a ) | Jeg er ( c , b , -ac ) |
| 9 | Cc (vektorene a , b , c ) | Aa ( c , −b , a ) | An ( -ac , b , a ) | Ia ( c , b , -ac ) |
| 12 | C 2 / m (vektorene a , b , c ) | A 2 / m ( c , −b , a ) | A 2 / m ( -ac , b , a ) | I 2 / m ( c , b , -ac ) |
| 1. 3 | P 2 / c (vektorene a , b , c ) | P 2 / a ( c , −b , a ) | P 2 / n ( -ac , b , a ) | P 2 / a ( c , b , -ac ) |
| 14 | P 2 1 / c (vektorene a , b , c ) | P 2 1 / a ( c , −b , a ) | P 2 1 / n ( -ac , b , a ) | P 2 1 / a ( c , b , -ac ) |
| 15 | C 2 / c (vektorene a , b , c ) | A 2 / a ( c , −b , a ) | A 2 / n ( -ac , b , a ) | I 2 / a ( c , b , -ac ) |
I det ortorhombiske systemet lar alle permutasjonene til aksene som danner en direkte trihedron volumet av cellen uendret. De Hermann-Mauguin symboler er orientert, notasjonen av romgruppen kan endres avhengig av permutasjon av aksene:
- stedet for en rotasjons- eller spiralformet akse følger retningen den er parallell med;
- stedet for et oversettelsesspeil a , b eller c følger retningen det er vinkelrett på, navnet avhenger av retningen oversettelsen utføres i;
- nomenklaturen til Bravais-gitter avhenger av plasseringen av retningen som definerer de sentrerte ansiktene.
Som et eksempel gir den følgende tabellen noen konvensjonelle og ukonvensjonelle romgrupper for det ortorombiske systemet.
| # | Konvensjonelt nett | Ukonvensjonelle masker | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 29 | Pca 2 1 (vektorene a , b , c ) | Pb 2 1 a ( a , c , -b ) | P 2 1 ca ( c , b , -a ) | P 2 1 ab ( c , a , b ) | Pbc 2 1 ( b , -a , c ) | Pc 2 1 b ( b , c , a ) |
| 40 | Ama 2 (vektorene a , b , c ) | Er 2 a ( a , c , -b ) | C 2 cm ( c , b , -a ) | B 2 mb ( c , a , b ) | Bbm 2 ( b , -a , c ) | Cc 2 m ( b , c , a ) |
| 43 | Fdd 2 (vektorene a , b , c ) | Fd 2 d ( a , c , -b ) | F 2 dd ( c , b , -a ) | F 2 dd ( c , a , b ) | Fdd 2 ( b , -a , c ) | Fd 2 d ( b , c , a ) |
| 45 | Iba 2 (vektorene a , b , c ) | Ic 2 a ( a , c , -b ) | I 2 cb ( c , b , -a ) | I 2 cb ( c , a , b ) | Iba 2 ( b , -a , c ) | Ic 2 a ( b , c , a ) |
| 53 | Pmna (vektorene a , b , c ) | Pman ( a , c , -b ) | Pcnm ( c , b , -a ) | Pbmn ( c , a , b ) | Pnmb ( b , -a , c ) | Pncm ( b , c , a ) |
Flere masker
Merknader og referanser
- E- type-planet er et dobbeltslip-plan, langs to forskjellige retninger, som bare eksisterer i fem typer gitter-sentrerte ortorombiske romgrupper. De to glidene er koblet sammen med fraksjonell komponentoversettelsesvektor. Bruken av symbolet e ble offisiell fra og med den femte utgaven av bind A of the Tables internationales de crystallographie (2002).
- (in) International Tables for Crystallography , Vol. A: Romgruppesymmetri , Th. Hahn , Kluwer Academic Publishers,2005( Repr. Korrigert), 5 th ed. ( ISBN 978-0-470-68908-0 ) , kap. 4.1.2.3
Bibliografi
- (no) Alan D. Mighell, “ Konvensjonelle celler: monokliniske I- og C-sentrerte celler ” , Acta Cryst. B , vol. 59, n o to2003, s. 300-302 ( DOI 10.1107 / S0108768103002829 )
Se også
Relaterte artikler
Ekstern lenke
- (no) " Space group " , på IUCr Online Dictionary of Crystallography (åpnet 27. august 2010 )