Orthogonal projeksjon

I matematikk er ortogonal projeksjon en transformasjon av rommet, et lineært kart :

i plan geometri , er det et fremspring slik at de to linjer - den linjen som vi projisere og retningen for projeksjonen - er vinkelrett ;
i geometri i rommet er det en projeksjon slik at linjen og planet - uansett deres respektive roller - er vinkelrett.

Ortogonal projeksjon er en type perspektiv som er mye brukt i tegning ( beskrivende geometri ), og i datagrafikk : genereringen av figurer er enkel, på den annen side kan vi ikke representere avstanden (størrelsen på objektene varierer ikke med avstanden ).

Mer generelt, i lineær algebra , er en ortogonal projeksjon en projektor hvis kjerne og bilde er ortogonal .
Ortogonal projeksjon gjør det mulig å løse problemet med den korteste avstanden fra et punkt til en linje , fra et punkt til et plan , eller mer generelt fra et punkt til et affinert underområde av et euklidisk rom . Vi kan deretter bruke dette konseptet til å løse problemer med " minste firkanter ".
Den generelle ideen, basert på Pythagoras teorem , er at problemet med korteste avstand koker ned til en egenskap av ortogonalitet .
Den loddlinjen er et verktøy som gjør det mulig å visualisere den ortogonale projeksjonen av et punkt på et plan (i det minste i første analyse).

Orthogonal projeksjonstegning

Ortogonale projeksjoner brukes til tegning, inkludert teknisk tegning og videospill . Det er vanligvis to typer projeksjoner brukt:

den beskrivende geometrien : projeksjonsplanet inneholder to direkte ortonormale referanseakser;
den aksonometriske projeksjonen : projeksjonsplanet er atskilt fra de ovennevnte planene.

Se disse artiklene.

Den ortogonale projeksjonstegningen viser ingen forkortelse med avstand ( perspektiveffekt , forsvinningspunkt ). Det er en trofast fremstilling av det vi ser så lenge dybdeskarpheten er grunne.

Fordelen med disse representasjonene er at de er enkle å produsere, og at elementene parallelt med projeksjonsplanet - kanter, overflater, vinkler - er "full størrelse" (VG): lengden og arealet til de projiserte elementene er. proporsjonalt med deres faktiske størrelse, er vinkelen lik den faktiske vinkelen. Forholdet mellom lengden vises til den faktiske lengden er den målestokk på tegningen.

Ortogonal projeksjon i "elementær" affin geometri

Flygeometri

Ortogonal projeksjon på en linje, avstand

Det enkleste eksemplet på projeksjon er plassert i det vanlige planet (euklidisk affin): den ortogonale projeksjonen på en linje (D) av et punkt A, bemerket p (D) (A), er punktet H som tilhører (D) slik at linjene (D) og (AH) er vinkelrette :

p (D) (A) = H.

Uttrykket "senk vinkelrett fra A" brukes ofte for konstruksjonen av H, noe som kan gjøres med en linjal og et kompass. Analytisk kan H bli funnet ved å utføre skalarproduktet:

la en retningsvektor av (D) som styrer denne linjen og B et punkt av (D), har vi: ${\ vec {vb}}$

hvis er enhetlig: ${\ vec {vb}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {BH}}} = {\ overline {\ mathrm {BH}}} {\ vec {v}} = ({\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}} \ cdot {\ vec {v}}) {\ vec {v}}}$
hvis det er noe (ikke nødvendigvis enhetlig) . ${\ vec {vb}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {BH}}} = {\ frac {\ overline {\ mathrm {BH}}} {\ | {\ vec {v}} \ |}} {\ vec {v}} = {\ frac {{\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}} \ cdot {\ vec {v}}} {\ | {\ vec {v}} \ | ^ {2}}} {\ vec {v} }}$

Demonstrasjon

Den generelle saken trekkes straks ut av saken der den er enhetlig. La oss demonstrere sistnevnte. ${\ vec v}$

Siden , ${\ displaystyle \ mathrm {H} \ in (\ mathrm {D})}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {BH}}} = {\ overline {\ mathrm {BH}}} {\ vec {v}} = ({\ overrightarrow {\ mathrm {BH}}} \ cdot {\ vec {v}}) {\ vec {v}}}

Og siden , ${\ displaystyle (\ mathrm {AH}) \ bot (\ mathrm {D})}$

{\ displaystyle 0 = {\ overrightarrow {\ mathrm {AH}}} \ cdot {\ vec {v}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {BH}}} \ cdot {\ vec {v}} - {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}} \ cdot {\ vec {v}}}

Merk at vi har

\ overrightarrow {{\ mathrm {BA}}} = \ overrightarrow {{\ mathrm {BH}}} + \ overrightarrow {{\ mathrm {HA}}}

med .

\ overrightarrow {{\ mathrm {BH}}} \ perp \ overrightarrow {{\ mathrm {HA}}}

Avstanden AH er da mindre enn avstandene AM for de andre punktene M på (D), strengt tatt unntatt hvis M = H.

Denne avstanden kalles avstanden fra punkt A til linjen (D) , og betegnes ofte d (A, (D)):

{\ mathrm {d}} ({\ mathrm {A}}, ({\ mathrm {D}})) = {\ mathrm {AH}} = {\ undersett {{\ mathrm {M}} \ in ({ \ mathrm {D}})} {\ min}} ({\ mathrm {AM}})

Den eksplisitte beregningen kan gjøres ved å bruke trigonometriformler for riktige trekanter .

Punkt A er på linjen (D) hvis og bare hvis det er lik projeksjonen

A = H,

eller hvis og bare hvis avstanden til (D) er null:

d (A, (D)) = 0.

I analytisk geometri, hvis vi bemerker det

{\ mathrm {A}} (x _ {{{\ mathrm {A}}}, y _ {{\ mathrm {A}}}), {\ mathrm {B}} (x _ {{\ mathrm {B }}}, y _ {{\ mathrm {B}}}), {\ mathrm {H}} (x _ {{\ mathrm {H}}}, y _ {{\ mathrm {H}}}), {\ vec {v}} {\ begin {pmatrix} x_ {v} \\ y_ {v} \ end {pmatrix}}

vi har :

{\ displaystyle {\ overline {\ mathrm {BH}}} = {\ frac {(x _ {\ mathrm {A}} -x _ {\ mathrm {B}}) x_ {v} + (y _ {\ mathrm {A}} -y _ {\ mathrm {B}}) y_ {v}} {\ sqrt {x_ {v} ^ {2} + y_ {v} ^ {2}}}}}

\ left \ {{\ begin {align} x _ {{\ mathrm {H}}} = \ & x _ {{\ mathrm {B}}} + {\ frac {\ overline {{\ mathrm {BH}} }} {{\ sqrt {x_ {v} ^ {2} + y_ {v} ^ {2}}}} x_ {v} \\ y _ {{\ mathrm {H}}} = \ & y _ {{\ mathrm {B}}} + {\ frac {\ overline {{\ mathrm {BH}}}} {{\ sqrt {x_ {v} ^ {2} + y_ {v} ^ {2}}} }} y_ {v} \\\ slutt {justert}} \ høyre.

Orthogonal projeksjon av en linje på en annen linje

Fortsatt i det euklidiske affinplanet kan vi vurdere to sekantlinjer (D) og (D ') som danner en vinkel θ. Den ortogonale projeksjonen er kartet p (D ') som på hvert punkt M av (D) forbinder sin ortogonale projeksjon

H = p (D ') (M).

Skjæringspunktet I til (D) og (D ') er dets egen projeksjon:

p (D ') (I) = I.

En bemerkelsesverdig egenskap ved projeksjon er måten den transformerer avstander på. Hvis M og N er punkter på (D) og M '= p (D') (M), N '= p (D') (N), deres respektive ortogonale projeksjon, får vi

M'N '= MN · cos θ.

Spesielt vil vi legge merke til, ved paritet av cosinusfunksjonen , at projisering av elementene til (D) på (D ') ortogonalt multipliserer alle avstandene med en faktor cos θ, men å projisere elementene til (D') på (D) multipliserer ortogonalt alle avstander med samme faktor.

Geometri i verdensrommet

Ortogonal projeksjon på en linje, avstand

La (D) være en linjelinje E. Definisjonen og vektorformelen for den ortogonale projeksjonen på (D) er i alle punkter lik tilfellet med plangeometri. Den eneste forskjellen er at den gjensidige projeksjonen for et punkt H av (D) - settet med punkter i rommet som projiserer ved H, - er et plan vinkelrett på (D). $\ {{\ mathrm {A}} \ i {\ mathrm {E}} / \ {\ mathrm {p}} _ {{({\ mathrm {D}})}} ({\ mathrm {A}}) = {\ mathrm {H}} \}$

Ortogonal projeksjon på et plan, avstand

Den ortogonale projeksjonen av et punkt A på et plan P er punktet H som tilhører P slik at linjen (AH) er vinkelrett på planet P.

Avstanden AH er da mindre enn avstandene AM for de andre punktene M fra P, strengt tatt bortsett fra hvis M = H. Denne avstanden kalles avstanden fra punkt A til planet P, og blir ofte notert d (A, P):

{\ mathrm {d}} ({\ mathrm {A}}, {\ mathrm {P}}) = {\ mathrm {AH}} = {\ undersett {{\ mathrm {M}} \ i {\ mathrm { P}}} {\ min}} ({\ mathrm {AM}})

I analytisk geometri, hvis planet P har ligning og punktet A for koordinater , er koordinatene til punktet H projisert fra A på planet P: ${\ displaystyle ax + av + cz + d = 0}$ ${\ displaystyle (x_ {A}, y_ {A}, z_ {A})}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} x_ {H} & = x_ {A} - \ lambda a \\ y_ {H} & = y_ {A} - \ lambda b \ quad {\ text {with }} \ lambda = {\ frac {ax_ {A} + by_ {A} + cz_ {A} + d} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} \\ z_ { H} & = z_ {A} - \ lambda c \ end {justert}} \ høyre.}$ Avstanden fra punkt A til plan P er gitt av: ${\ displaystyle \ mathrm {d} (\ mathrm {A}, \ mathrm {P}) = {\ frac {| ax_ {A} + by_ {A} + cz_ {A} + d |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}}$

Orthogonal projeksjon i et prehilbertisk vektorrom

Ortogonale projeksjoner er endomorfismer som er en del av den mer generelle klassen av projektorer , som tvert imot kan betraktes som "skrå" projeksjoner.

Vi plasserer oss i et prehilbertiansk rom E, av alle dimensjoner . Vi gir oss selv et vektors underområde F av E. Det ortogonale projeksjonsproblemet på F kan angis som følger: kan vi spalte en hvilken som helst vektor av E til en komponent på F og en komponent ortogonal til F? Svaret vil faktisk avhenge av hvilket område F vurderes.

Orthogonal projeksjon på en vektorlinje

Hvis F er en vektorrinje generert av vektoren a , er settet med vektorer ortogonalt til F et hyperplan som kalles et hyperplan normalt til F og definert av

{\ mathrm {F}} ^ {\ perp} = \ {h \ i {\ mathrm {E}}, (h \ cdot a) = 0 \}

Hvis x er en vilkårlig vektor av E, kan vi alltid spalte den som følger

x = x _ {{\ mathrm {F}}} + x _ {\ perp}

med

x _ {{\ mathrm {F}}} = {\ dfrac {(x \ cdot a)} {\ | a \ | ^ {2}}} a

Og vi ser at det er i F, mens det er i hyperplanet normalt til F. $x _ {{\ mathrm {F}}}$ $x _ {\ perp} = x-x _ {{\ mathrm {F}}}$

Det er derfor alltid mulig å utføre en ortogonal projeksjon på en vektorlinje.

Transitivitet

Hvis G⊂F⊂E, hvis b er den ortogonale projeksjonen av a på F og c den ortogonale projeksjonen av b på G, så er c den ortogonale projeksjonen av a på G. Dette generaliserer "tre vinkelrett teorem ", som tilsvarer tilfellet der E er det euklidiske rommet til dimensjon 3, F er et plan av E og G en linje av dette planet.

Eksistens av en ortogonal projeksjon

Vi kan gi et eksempel på rom F som begrepet ortogonal projeksjon på F ikke har noen betydning for. Dermed hvis vi ser på rommet til virkelige polynomer utstyrt med sitt vanlige skalære produkt , og F hyperplanet Vect (1 + X, 1 + X 2 ,…, 1 + X n ,…), er settet med vektorer ortogonale til. F er redusert til {0}. Vi kan derfor ikke spalte elementene i E, bortsett fra de i F, til et element av F og et ortogonalt element. $\ mathbb {R} [{\ mathrm {X}}]$

Dette eksemplet er slående: mens en linje alltid har et ortogonalt supplement (unikt, dessuten), kan et hyperplan veldig godt ikke ha noe ortogonalt supplement. Det er vanskelig å tegne et overbevisende bilde for en slik situasjon!

Mer generelt har vi ekvivalens mellom følgende egenskaper:

Det er en ortogonal projeksjon på F;
Plassen F innrømmer et ortogonalt supplement;
Mellomromet F ⊥ er det ortogonale supplementet til F.

Dette viser i forbifarten at det ortogonale tilskuddet, hvis det eksisterer, er unikt.

Når F innrømmer et ortogonalt supplement, er (F ⊥ ) ⊥ = F derfor F nødvendigvis lukket , siden det ortogonale i et vektorunderområde er.

Et viktig tilfelle av eksistens

Vi kan generalisere projeksjonsformelen på en linje hvis F har en begrenset dimensjon. Faktisk, ved å vurdere et ortonormalt grunnlag ( e 1 ,…, e n ) av F, viser vi nedbrytningen med oppmerksomhet om ikke å bruke denne formelen med noe grunnlag for F!
$x = x _ {{\ mathrm {F}}} + x _ {\ perp}$ $x _ {{\ mathrm {F}}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} (e_ {i} \ cdot x) e_ {i}$
Hvis E er et Hilbert-mellomrom og F et lukket vektorunderområde, er det ortogonale av F et tillegg av F i E.

Det felles poenget mellom de to tilstrekkelige forholdene ovenfor er at de innebærer fullstendigheten av F (ethvert endelig dimensjonalt underområde til en prehilbert er komplett, og ethvert lukket underrom til en Hilbert også). Denne svakere antagelsen er faktisk tilstrekkelig:

Hvis F er et komplett underområde av et prehilbertisk rom E, så er det ortogonale av F et tillegg av F i E.

To bevis er presentert i teorem for det ortogonale supplementet til en lukket i et Hilbert-rom .

Avstandsminimering

Den avstand av en vektor x av underrom F er ved definisjon den nedre grense av avstandene fra x til alle vektorer av F:

{\ mathrm {d}} (x, {\ mathrm {F}}) = \ inf _ {{y \ i {\ mathrm {F}}}} \ | xy \ | {\ text {.}}

Hvis underområdet F tillater et ortogonalt supplement, er den ortogonale projeksjonen p ( x ) av x på F det punktet på F nærmest x (slik at inf ovenfor er faktisk en min ), som gir en alternativ definisjon av p ( x ) :

${\ big (} y \ i {\ mathrm {F}} \ {\ text {and}} \ d (x, {\ mathrm {F}}) = \ | xy \ |) \ Loftrightarrow y = {\ mathrm {p}} (x)$ .

Faktisk øker ikke bare ║ x - p ( x ) ║ avstanden d ( x , F) (siden det er en del av ║ x - y ║ der d ( x , F) er den nedre grensen), men det også mindre: for ethvert y av F som er forskjellig fra p ( x ) har vi til og med ║ x - y ║> ║ x - p ( x ) ║, i henhold til den pythagoreiske identiteten .

Denne egenskapen er generalisert i artikkelen “ Projeksjonssetning på lukket konveks ”.

Karakteriseringer blant projektorer

Etter den underordnede standarden

Et lineært kart p på det prehilbertiske rommet E er k - Lipschitzian på E hvis og bare hvis

\ forall x \ i {\ mathrm {E}}, \ | {\ mathrm {p}} (x) \ | \ leq k \ | x \ |

og den underordnede normen for p er da den minste av konstantene k slik at p er k- lipschitzian.

Vi kan da si karakteriseringen:

La p være en projektor av prehilbertiansk rom E, følgende tre forhold er ekvivalente:

Projektoren p er en ortogonal projeksjon;
Projektoren p er 1-Lipschitzian;
Den underordnede normen for p er lik 0 eller 1.

Demonstrasjon

1 antyder 2 fordi hvis p er en ortogonal projeksjon, er vektorene x - p ( x ) og p ( x ) ortogonale, så den pythagoriske satsen sørger for at

\ | x \ | ^ {2} = \ | x - {\ mathrm {p}} (x) + {\ mathrm {p}} (x) \ | ^ {2} = \ | x - {\ mathrm { p}} (x) \ | ^ {2} + \ | {\ mathrm {p}} (x) \ | ^ {2} \ geq \ | {\ mathrm {p}} (x) \ | ^ {2 }

2 betyr 1 fordi dersom p er en 1-Lipschitzian projeksjon deretter for alle vektorer og , x og y er ortogonale. Faktisk er den ortogonale projeksjonen z av y på vektorlinjen generert av x null, fordi z og y - z derfor er ortogonale $y \ i {\ mathrm {Im}} ({\ mathrm {p}})$ $x \ i {\ mathrm {Ker (p)}} \ setminus \ {0 \}$

\ | y \ | ^ {2} = \ | z \ | ^ {2} + \ | yz \ | ^ {2} \ geq \ | z \ | ^ {2} + \ | {\ mathrm {p}} (yz) \ | ^ {2} = \ | z \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} \ Rightarrow \ | z \ | ^ {2} = 0

3 innebærer selvfølgelig 2, men omvendt er normen til en 1-Lipschitzian-projektor lik 0 eller 1. Faktisk er normen for en ikke-null projektor p alltid verdt minst 1, fordi . $\ || {\ mathrm {p}} \ || = \ || {\ mathrm {p}} \ circ {\ mathrm {p}} \ || \ leq \ || {\ mathrm {p}} \ | | ^ {2}$

Ved å være selvassistent

En prehilbertisk romprojektor E er en ortogonal projeksjon hvis og bare hvis den er en selvtilstøtende endomorfisme .

Demonstrasjon

Betingelsen er nødvendig fordi hvis p er en ortogonal projeksjon, er likheten øyeblikkelig for vektorene x , y hver som tilhører bildet eller til kjernen til p, og strekker seg til de andre vektorene, siden disse to mellomrommene er tillegg. $(x \ cdot {\ mathrm {p}} (y)) = ({\ mathrm {p}} (x) \ cdot y)$
Tilstanden er tilstrekkelig fordi kjernen og bildet av en selvtilsluttet endomorfisme er ortogonal .

Se også

Pseudoløsning av et lineært system
Hilbert base
- Fourier-serien
- Ortogonale polynomer
Grams determinant