Identiteter av Bianchi

De identiteten til Bianchi , som er utpekt til ære for den italienske matematikeren Luigi Bianchi , er fornøyd med ligningene Riemann tensor , matematisk objekt som reflekterer krumning av Riemannske manifold som den er beregnet. ${R ^ {{\ alpha}}} _ {{\ beta \ gamma \ delta}}$

Andre identitet til Bianchi

Dette er motstykket for Riemann-tensoren til Maxwells ligninger for den elektromagnetiske tensoren . Husk at den første gruppen av Maxwells ligninger er skrevet: ${F ^ {{\ alpha}}} _ {{\ beta}}$

F _ {{\ alpha \ beta; \ gamma}} + F _ {{\ beta \ gamma; \ alpha}} + F _ {{\ gamma \ alpha; \ beta}} = 0

På samme måte uttrykkes Bianchis andre identitet som:

{R ^ {{\ alpha}}} _ {{\ beta \ gamma \ delta; \ epsilon}} + {R ^ {{\ alpha}}} _ {{\ beta \ delta \ epsilon; \ gamma}} + {R ^ {{\ alpha}}} _ {{\ beta \ epsilon \ gamma; \ delta}} = 0

Som denne identiteten kan noteres i en "kondensert" form: ${R ^ {{\ alpha}}} _ {{\ beta \ gamma \ delta}} = {R ^ {{\ alpha}}} _ {{\ beta [\ gamma \ delta]}}$ ${R ^ {{\ alpha}}} _ {{\ beta [\ gamma \ delta; \ epsilon]}} = 0$

Tolkning

Figuren til venstre hjelper til med å forstå hvorfor Bianchis identitet er. Når, i et buet rom, vektoren A beveges parallelt med seg selv langs en av ansiktene til den elementære kuben med dimensjonene {dx, dy, dz}, etter en av pilene i blått, returnerer den generelt ikke, lik seg selv ved utgangspunktet, men gjennomgår en "belastning" som er nevnt her . $\ delta A$

I tilfelle den mørkeblå pilen, i første rekkefølge, kan vi skrive at denne forskyvningen sjekker: $\ delta A$

- \ delta A ^ {\ alpha} = {R ^ {\ alpha}} _ {{\ beta yz}} (x + dx) A ^ {\ beta} dydz.

Den motsatte siden gir et motsatt bidrag, bortsett fra at det nå blir evaluert i stedet for i . Summen av disse to bidragene gir: ${R ^ {\ alpha}} _ {{\ beta yz}}$ $x$ $x + dx$

{\ frac {\ partial {R ^ {\ alpha}} _ {{\ beta yz}}} {\ partial x}} A ^ {\ beta} dxdydz = {R ^ {\ alpha}} _ {{\ beta yz, x}} A ^ {\ beta} dxdydz.

Den samme resonnementet utført på ansiktet som er plassert øverst (i z + dz) og bak (y + dy) gir den samme ligningen ved å utveksle rollene x, y og z. Totalt sett, med tanke på de 3 parene med motsatte ansikter, finner vi:

\ delta A ^ {\ alpha} = {R ^ {\ alpha}} _ {{\ beta yz, x}} + {R ^ {\ alpha}} _ {{\ beta zx, y}} + {R ^ {\ alpha}} _ {{\ beta xy, z}}

La oss nå se på figuren. Når vektoren A krysser de seks sidene av kuben, ser vi at hver kant krysses en gang i den ene retningen, og en gang i den andre (hvert ansikt er orientert her i retning mot klokken). De elementære bidragene til hver kant avbryter hverandre to og to (fordi Riemann-tensoren er en lineær operator!). Dette innebærer at den totale verdien av over hele kuben er null ("grensen til en kant er av null mål"). $\ delta A$

Så vi har endelig:

{R ^ {\ alpha}} _ {{\ beta yz, x}} + {R ^ {\ alpha}} _ {{\ beta zx, y}} + {R ^ {\ alpha}} _ {{\ beta xy, z}} = 0

det vil si identiteten til Bianchi. Overgangen fra det enkle derivatet “,” til det kovariante derivatet “; ”Utføres ved å vurdere at vi resonnerer med de normale Riemann-koordinatene, der Riemann-Christoffel-koeffisientene avbryter ( ), derfor“, ”=“; ". ${\ Gamma ^ {\ alpha}} _ {{\ beta \ gamma}} = 0$