I matematikk , nærmere bestemt i proposisjonskalkulus , er en gjensidig implikasjon en proposisjon som bytter premiss og konklusjon av en implikasjon .
Det omvendte av det gjensidige er da den første implikasjonen.
Når implikasjonen har flere premisser, er utvekslingen av konklusjonen med bare en del av premissene noen ganger Også kalt gjensidig, som for Thales 'teorem der justeringsbetingelsene forblir som en premiss for det gjensidige.
I motsetning til en implikasjon, er det omvendte ikke utledet fra denne implikasjonen. Å gjøre det uten forholdsregler Fører til feilslutningen med bekreftelsen av den påfølgende .
Implikasjonen "hvis A så B" er har for gjensidig, "hvis B så A" er .
Noen ganger utvider vi Denne forestillingen om gjensidig implikasjon til beregning av predikater ved å si at: enten "alle A er B" og eller "all B er A" er gjensidige implikasjoner av hverandre.
Imidlertid tilsvarer en setning i formen "no A is B" "no B is A". Deres felles gjensidige kan uttrykkes i formen "alt som ikke er A er B".
P | Q | P → Q | Q → P (gjensidig) |
---|---|---|---|
V | V | V | V |
V | F | F | V |
F | V | V | F |
F | F | V | V |
Når det motsatte av en implikasjon ikke er sant, kan vi snakke om en delvis gjensidighet med mindre visse tilleggshypoteser er bekreftet.
La være et primtall. Følgende implikasjoner, demonstrert av Euclid , stemmer:
Hvis det Mersenne tall er primtall, så tallet er et perfekt tall .Leonhard Euler demonstrerte en delvis gjensidighet av denne implikasjonen:
Hvis et tall er et perfekt tall og hvis enda, så er på formen der er et primtall, og er et prim Mersenne tall.Ettersom vi ikke vet om det er merkelige perfekte tall, kan vi ikke si om vi kan klare oss uten paritetsbetingelsen i den delvis gjensidige av Euler.