Bilinær interpolasjon

Den bilineære interpolasjonen er en metode for interpolering for funksjoner av to variabler på et vanlig rutenett (in) . Den beregner verdien av en funksjon når som helst, fra de to nærmeste naboene i hver retning. Det er en metode som er mye brukt i digital bildebehandling for å endre størrelse på bilder , noe som gir bedre resultater enn nærmeste nabointerpolasjon, mens den fortsatt er av rimelig kompleksitet.

Generelt prinsipp

I motsetning til hva navnet antyder, er interpolasjonsfunksjonen ikke en lineær, men kvadratisk form, som kan settes i form:

{\ displaystyle f (x, y) = ax + by + cxy + d.}

Verdien $f ( x , y )$ er den interpolerte verdien på koordinatpunktet $( x , y )$ , og $a , b , c , d$ er konstanter bestemt fra de fire naboene $( x 1 , y 1 ), ( x 1 , y 2 ), ( x 2 , y 1 ), ( x 2 , y 2 )$ til punktet $( x , y )$ hvis verdi vi leter etter. Når vi kjenner verdiene på disse punktene, kan vi skrive et system med 4 ligninger med 4 ukjente :

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} f (x_ {1}, y_ {1}) = ax_ {1} + by_ {1} + cx_ {1} y_ {1} + d \\ f ( x_ {2}, y_ {1}) = ax_ {2} + by_ {1} + cx_ {2} y_ {1} + d \\ f (x_ {1}, y_ {2}) = ax_ {1} + by_ {2} + cx_ {1} y_ {2} + d \\ f (x_ {2}, y_ {2}) = ax_ {2} + by_ {2} + cx_ {2} y_ {2} + d \ end {matrix}} \ right.}

Bilinær interpolasjon kan tolkes som en rekke av to lineære interpolasjoner , en i hver retning.

Systemløsning

En endring av variabelen forenkler systemet som skal løses betydelig. Tenk på følgende nye variabler:

{\ displaystyle dx = x-x_ {1}, \ quad dy = y-y_ {1},}

hvor $( x 1 , y 1 )$ er koordinatene til nedre venstre hjørne. Den nye bilineære interpolasjonsfunksjonen skrives deretter:

{\ displaystyle f (dx, dy) = a \, dx + b \, dy + c \, dx \, dy + d.}

Ved å introdusere den notasjoner og , matrisen som skal inverteres blir: ${\ displaystyle \ Delta x = x_ {2} -x_ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta y = y_ {2} -y_ {1}}$

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\\ Delta x & 0 & 0 & 1 \\ 0 & \ Delta y & 0 & 1 \\\ Delta x & \ Delta y & \ Delta x \ Delta y & 1 \\\ end {pmatrix}}}

Det gjenstår å introdusere følgende notasjoner:

{\ displaystyle \ Delta f_ {x} = f (x_ {2}, y_ {1}) - f (x_ {1}, y_ {1}), \ quad \ Delta f_ {y} = f (x_ {1 }, y_ {2}) - f (x_ {1}, y_ {1}),}

{\ displaystyle \ Delta f_ {xy} = f (x_ {1}, y_ {1}) + f (x_ {2}, y_ {2}) - f (x_ {2}, y_ {1}) - f (x_ {1}, y_ {2}).}

Den bilineære interpolasjonsfunksjonen til problemet kommer da direkte:

{\ displaystyle f (x, y) = \ Delta f_ {x} {\ frac {dx} {\ Delta x}} + \ Delta f_ {y} {\ frac {dy} {\ Delta y}} + \ Delta f_ {xy} {\ frac {dx} {\ Delta x}} {\ frac {dy} {\ Delta y}} + f (x_ {1}, y_ {1}).}

Referanser

(in) Rafael C. Gonzalez and Richard E. Woods, Digital Image Processing , Prentice Hall,2008, “Bildesampling og kvantisering”, s. 66.

Relaterte artikler