Kolmogorov ulikhet
Den Kolmogorov ulikhet , på grunn av Andrei Kolmogorov , er et viktig skritt i hans bevis for sterke store talls lov , en av de viktigste teoremer av sannsynlighetsteori . Dette er scenen hvor han bruker uavhengighetshypotesen (og uten å si det, forestillingen om nedetid ).
Stater
Kolmogorov ulikhet. - Det vil si en serie av uavhengige og sentrert Div . La oss stille
(Yikke)ikke≥1{\ displaystyle \ textstyle \ left (Y_ {n} \ right) _ {n \ geq 1}}
Wikke=Y1+Y2+⋯+Yikke.{\ displaystyle W_ {n} = Y_ {1} + Y_ {2} + \ cdots + Y_ {n}.}
Så for alt ,
x>0{\ displaystyle \ textstyle x> 0}
P(sup{|Wikke||ikke≥1}>x)≤∑ikke≥1Var(Yikke)x2.{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ sup \ left \ {\ left | W_ {n} \ right | \, | \, n \ geq 1 \ right \}> x \ right) \ leq {\ frac {\ sum _ {n \ geq 1} {\ text {Var}} \ venstre (Y_ {n} \ høyre)} {x ^ {2}}}.}
Merknader:
P(|Wikke|>x)≤∑ikke≥1Var(Yikke)x2{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ left | W_ {n} \ right |> x \ right) \ leq {\ frac {\ sum _ {n \ geq 1} {\ text {Var}} \ left (Y_ {n} \ right)} {x ^ {2}}}}
er en umiddelbar konsekvens
av ulikheten mellom Bienayme-Chebyshev . Tilstedeværelsen av sup gjør ulikheten mye mer presis, og derfor vanskeligere å demonstrere.
Demonstrasjon
Hvis , er ulikheten bekreftet. I det følgende antar vi det
∑ikke≥1Var(Yikke)=+∞{\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ text {Var}} \ left (Y_ {n} \ right) = + \ infty}
∑ikke≥1Var(Yikke)<+∞.{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ text {Var}} \ left (Y_ {n} \ right) <+ \ infty.}
Vi stiller
σ={+∞ hvis {k≥1 | |Wk|>x}=∅,inf{k≥1 | |Wk|>x} Hvis ikke.{\ displaystyle \ sigma = \ left \ {{{\ begin {array} {lll} + \ infty & \ \ & {\ text {si}} \ left \ {k \ geq 1 \ | \ \ left | W_ { k} \ right |> x \ right \} = \ emptyset, \\ && \\\ inf \ left \ {k \ geq 1 \ | \ \ left | W_ {k} \ right |> x \ right \} & \ \ og {\ tekst {ellers.}} \ end {array}} \ høyre.}
Vi merker da at, for ,
k≤ikke{\ displaystyle \ textstyle k \ leq n}
Wk1σ=k ⊥ Wikke-Wk.{\ displaystyle W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ \ bot \ W_ {n} -W_ {k}.}
Faktisk , mens
Wikke-Wk=Yk+1+Yk+2+⋯+Yikke{\ displaystyle \ textstyle W_ {n} -W_ {k} = Y_ {k + 1} + Y_ {k + 2} + \ dots + Y_ {n}}
{σ=k}={|W1|≤x,|W2|≤x,...,|Wk-1|≤x og |Wk|>x}={|Y1|≤x, |Y1+Y2|≤x, ..., |Y1+⋯+Yk-1|≤x og |Y1+⋯+Yk|>x}.{\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ {\ sigma = k \ right \} & = \ left \ {\ left | W_ {1} \ right | \ leq x, \ left | W_ {2} \ right | \ leq x, \ prikker, \ venstre | W_ {k-1} \ høyre | \ leq x {\ tekst {et}} \ venstre | W_ {k} \ høyre |> x \ høyre \} \\ & = \ venstre \ {\ venstre | Y_ {1} \ høyre | \ leq x, \ \ venstre | Y_ {1} + Y_ {2} \ høyre | \ leq x, \ \ prikker, \ \ venstre | Y_ {1} + \ prikker + Y_ {k-1} \ høyre | \ leq x {\ tekst {et}} \ venstre | Y_ {1} + \ prikker + Y_ {k} \ høyre |> x \ høyre \}. \ slutt {justert}}}
Dermed for to Borelianere og de to begivenhetene
PÅ{\ displaystyle \ textstyle A}B{\ displaystyle \ textstyle B}
{Wk1σ=k∈PÅ} og {Wikke-Wk∈B}{\ displaystyle \ left \ {W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ i A \ høyre \} {\ text {et}} \ venstre \ {W_ {n} -W_ {k} \ i B \ høyre \}}
tilhører stammene og henholdsvis. De er derfor uavhengige i kraft av grupperingslemmaet , noe som antyder godt . Vi har
σ(Y1,Y2,...,Yk){\ displaystyle \ textstyle \ sigma \ left (Y_ {1}, Y_ {2}, \ dots, Y_ {k} \ right)}σ(Yk+1,Yk+2,...,Yikke){\ displaystyle \ textstyle \ sigma \ left (Y_ {k + 1}, Y_ {k + 2}, \ dots, Y_ {n} \ right)} Wk1σ=k ⊥ Wikke-Wk{\ displaystyle \ \ textstyle W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ \ bot \ W_ {n} -W_ {k}}
∑k=1ikkeVar(Yk)=Var(Wikke) = E[Wikke2]≥E[Wikke21σ<+∞]=∑k≥1 E[Wikke2 1σ=k]≥∑k=1ikke E[Wikke21σ=k]=∑k=1ikke E[(Wikke-Wk+Wk)21σ=k]≥∑k=1ikke E[Wk21σ=k]+2E[Wikke-Wk]E[Wk1σ=k]=∑k=1ikke E[Wk21σ=k]≥∑k=1ikke E[x21σ=k]=x2P(σ≤ikke),{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \, {\ text {Var}} \ left (Y_ {k} \ right) & = {\ text {Var}} \ venstre (W_ {n} \ høyre) \ = \ \ mathbb {E} \ venstre [W_ {n} ^ {2} \ høyre] \\ & \ geq \ mathbb {E} \ venstre [W_ {n} ^ { 2} 1 _ {\ sigma <+ \ infty} \ right] \\ & = \ sum _ {k \ geq 1} \ \ mathbb {E} \ left [W_ {n} ^ {2} \ 1 _ {\ sigma = k} \ høyre] \\ & \ geq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ venstre [W_ {n} ^ {2} 1 _ {\ sigma = k} \ høyre] \ \ & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ left [\ left (W_ {n} -W_ {k} + W_ {k} \ right) ^ {2 } 1_ {\ sigma = k} \ right] \\ & \ geq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ left [W_ {k} ^ {2} 1 _ {\ sigma = k} \ høyre] +2 \ mathbb {E} \ venstre [W_ {n} -W_ {k} \ høyre] \ mathbb {E} \ venstre [W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ høyre ] \\ & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ left [W_ {k} ^ {2} 1 _ {\ sigma = k} \ right] \\ & \ geq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ left [x ^ {2} 1 _ {\ sigma = k} \ right] \\ & = x ^ {2} \ mathbb {P } \ venstre (\ sigma \ leq n \ høyre), \ slutt {justert}}}
der den tredje ulikheten oppnås ved å utvide firkanten til to firkantede termer (hvorav den ene blir slettet for å redusere det forrige uttrykket) og et dobbeltprodukt (av to uavhengige variabler i kraft av ). Følgende likhet er som er sentrert (som en sum av rv sentrert), og den siste ulikheten følger av definisjonen av stoppetid : per definisjon, på tiden , har vi
. Ved å tette mot uendelig får vi
Wk1σ=k ⊥ Wikke-Wk{\ displaystyle \ \ textstyle W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ \ bot \ W_ {n} -W_ {k}}Wikke-Wk{\ displaystyle \ textstyle W_ {n} -W_ {k}} σ{\ displaystyle \ textstyle \ sigma}σ{\ displaystyle \ textstyle \ sigma}Wσ>x{\ displaystyle \ textstyle W _ {\ sigma}> x}ikke{\ displaystyle \ textstyle n}
∑k≥1Var(Yk)≥x2 P(σ<+∞),=x2 P({k≥1 | |Wk|>x}≠∅),=x2 P(sup{|Wikke||ikke≥1}>x),{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k \ geq 1} \, {\ text {Var}} \ left (Y_ {k} \ right) & \ geq x ^ {2} \ \ mathbb {P } \ left (\ sigma <+ \ infty \ right), \\ & = x ^ {2} \ \ mathbb {P} \ left (\ left \ {k \ geq 1 \ | \ \ left | W_ {k} \ right |> x \ right \} \ neq \ emptyset \ right), \\ & = x ^ {2} \ \ mathbb {P} \ left (\ sup \ left \ {\ left | W_ {n} \ right | \, | \, n \ geq 1 \ høyre \}> x \ høyre), \ slutt {justert}}}
CQFD
Merknader
-
Man kan finne den uttalelsen, demonstrasjon, og konteksten 248 av boken P. Billingley, Sannsynlighet og mål , Wiley, en st utgave 1979.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">