K3 (geometri)

I differensial eller algebraisk geometri , den K3 overflatene er de Calabi-Yau varianter av mindre dimensjon forskjellig fra tori . Disse er komplekse utvalg av kompleks dimensjon 2 kompakt og Kähler .

K3-overflater har også den egenskapen at de er de eneste Calabi-Yau-manifoldene som er forskjellige fra 4- torus T 4 fra et topologisk eller differensielt synspunkt . Imidlertid er det et uendelig antall ikke-isomorfe K3-overflater som en kompleks manifold. Man kan særlig skille dem ved hjelp av morfismen til Torelli (in) .

André Weil (1958) kåret dem til ære for de tre algebraiske geometrene Kummer , Kähler og Kodaira , og av fjell K2 i Karakoram .

Geometriske egenskaper

De fleste K3-overflater er ikke algebraiske varianter . Dette betyr at det generelt er umulig å realisere dem som settet med løsninger for polynomiske ligninger i et prosjektivt rom .

Disse overflatene dukket imidlertid opp først i algebraisk geometri, og navnet deres kommer fra de tre geometrene Kummer , Kähler og Kodaira .

Cohomology- gruppen er en fri abelsk gruppe av rang 22. Den er forsynt (av produktet i cohomology) med en ikke-degenerert kvadratisk form for signatur (3,19). Som et nettverk inneholder denne kohomologigruppen to E8- type faktorer . Vi kan eksplisitt beskrive det ortogonale grunnlaget for denne kvadratiske formen ved å vurdere Hodge-diamanten for K3 som er skrevet $H ^ {2} (X, {\ mathbb {Z}})$

{\ begin {matrix} && h _ {{0,0}} && \\ & h _ {{1.0}} && h _ {{0.1}} & \\ h _ {{2.0,}} && h _ { {1, 1}} && h _ {{0.2}} \\ & h _ {{2,1}} && h _ {{1,2}} & \\ && h _ {{2,2}} && \\\ end {matrix}} = {\ begin {matrix} && 1 && \\ & 0 && 0 & \\ 1 && 20 && 1 \\ & 0 && 0 & \\ && 1 && \\\ end {matrix }}

hvor er dimensjonene til Dolbeaults kohomologirom . Videre blant de 20 (1,1) -formene er 19 selvdualer med en positiv norm mens den (1,1) gjenværende formen, ledsaget av (2,0) og (0,2) -formene er anti-selvdualer og har en negativ norm. $h _ {{i, j}}$

Som alle ikke-trivielle Calabi-Yau, vet vi ennå ikke om en eksplisitt Ricci-plate (en) beregning, selv om dens eksistens er sikret av Yau (en) teoremet .

Bruk i strengteori

Dette rommet brukes ofte som et komprimeringsrom i superstrengsteorien . I denne sammenheng gjør K3-overflaten et bemerkelsesverdig utseende i akkord-akkord-dualiteten som hevder at type IIA- teorien komprimert på K3-overflaten tilsvarer det heterotiske akkordet som er komprimert på en firedimensjonal torus.

Bibliografi

(no) Paul S. Aspinwall, “K3 Surfaces and String Duality”. " Hep-th / 9611137 " , fritt tilgjengelig tekst, på arXiv .
(no) David R. Morrison, The Geometry of K3 overflater [PDF]

Merknader

Derav navnet overflate . Som en ekte variant har den en dimensjon på 4

Se også