Lemma av Artin-Rees
Den lemma artin-Rees (også kjent som "teoremet artin - Rees ") er en teorem av kommutativ algebra , som tjener spesielt til å demonstrere den egenskap flathet av kompletterings (i) Type moduler ferdig på en Noetherian ring . Krulls skjæringssetning følger.
Uttalelser
Lemmaet er angitt som følger.
Artin-Rees Lemma - La A være en kommutativ Noetherian ring, I en ideell av A , M en en -module av endelig type, og N en submodule av M . Så eksisterer det et helt tall k slik at
(JegikkeM)∩IKKE=Jegikke-k((JegkM)∩IKKE){\ displaystyle (I ^ {n} M) \ cap N = I ^ {nk} ((I ^ {k} M) \ cap N)}for alle n ≥ k .
Vi utleder følgende setning.
Krulls skjæringssetning - La A være en noetherian kommutativ ring, jeg et ideal av A , og M et A- modul av endelig type. Så krysset
∩ikke>0JegikkeM{\ displaystyle \ cap _ {n> 0} I ^ {n} M}
er lik settet av slike som for en viss . Videre er det en slik uavhengig α av disse .
x∈M{\ displaystyle x \ i M}(1-α)x=0{\ displaystyle (1- \ alpha) x = 0 \,}α∈Jeg{\ displaystyle \ alpha \ i I}x{\ displaystyle x}
Resultatene
De følgende to resultatene kan trekkes umiddelbart fra henholdsvis Artin-Rees-lemmaet og Krulls skjæringssetning.
Konsekvens en - La A være en kommutativ ring Noetherian og jeg , J to idealer A . Så eksisterer det et helt tall h slik at
Jegh∩J⊂JegJ.{\ displaystyle I ^ {h} \ cap J \ subset IJ.}
Konsekvens 2 - La A være en kommutativ Noetherian ring og jeg et ideal om A . Så krysset
∩ikke>0Jegikke{\ displaystyle \ cap _ {n> 0} I ^ {n}}
er null hvis og bare hvis ingen 1+ elementet I er nulldivisor i A .
Spesielt,
- hvis jeg er inneholdt i Jacobson-radikalen til A , er krysset null;
- når A er integrert, er skjæringspunktet null hvis og bare hvis jeg er et skikkelig ideal (dvs. forskjellig fra A ).
Demonstrasjoner
Bevis på lemmaet
Demonstrasjonen nedenfor er i det vesentlige den fra Bourbaki (faktisk på grunn av Cartier) og har blitt tatt opp av Lang .
I ringen av polynomer A [ X ], vurder sub- A- algebra
B=⊕ikke∈IKKEJegikkeXikke.{\ displaystyle B = \ oplus _ {n \ in \ mathbb {N}} I ^ {n} X ^ {n}.}
Å være eterisk, jeg er en endelig type ideal for A og B er en A - endelig type algebra . Det er derfor en Noetherian ring.
Merk
MX=PÅ[X]⊗PÅM=⊕ikke∈IKKEXikkeM,{\ displaystyle M_ {X} = A [X] \ tid _ {A} M = \ oplus _ {n \ in \ mathbb {N}} X ^ {n} M,}
og definere på samme måte . Således er en sub- A [ X ] -module av , spesielt en sub- B -module.
IKKEX{\ displaystyle N_ {X}}IKKEX{\ displaystyle N_ {X}}MX{\ displaystyle M_ {X}}
La oss definere en annen sub- B- modul av :
MX{\ displaystyle M_ {X}}
MX′=B⊗PÅM=⊕ikke∈IKKEXikkeJegikkeM.{\ displaystyle M '_ {X} = B \ otimes _ {A} M = \ oplus _ {n \ in \ mathbb {N}} X ^ {n} I ^ {n} M.}
Siden M er et A- modul av begrenset type, er et B- modul av begrenset type, derav ikke eterisk. Under- B- modulen genereres derfor av et endelig antall vektorer. La k være et helt tall som øker graden i X for alle disse vektorene. Så,
MX′{\ displaystyle M '_ {X} \,}MX′∩IKKEX{\ displaystyle M '_ {X} \ cap N_ {X}}
⊕ikke∈IKKEXikke((JegikkeM)∩IKKE)=MX′∩IKKEX=B(⨁j=0kXj((JegjM)∩IKKE)),{\ displaystyle \ oplus _ {n \ in \ mathbb {N}} X ^ {n} ((I ^ {n} M) \ cap N) = M '_ {X} \ cap N_ {X} = B { \ Bigl (} \ bigoplus _ {j = 0} ^ {k} X ^ {j} {\ bigl (} (I ^ {j} M) \ cap N {\ bigr)} {\ Bigr)},}hvor, for alt ,
ikke≥k{\ displaystyle n \ geq k}
JegikkeM∩IKKE=∑j=0kJegikke-j((JegjM)∩IKKE)=Jegikke-k∑j=0kJegk-j((JegjM)∩IKKE)⊂Jegikke-k((JegkM)∩IKKE),{\ displaystyle I ^ {n} M \ cap N = \ sum _ {j = 0} ^ {k} I ^ {nj} ((I ^ {j} M) \ cap N) = I ^ {nk} \ sum _ {j = 0} ^ {k} I ^ {kj} ((I ^ {j} M) \ cap N) \ subset I ^ {nk} ((I ^ {k} M) \ cap N), }som gir inkludering på en måte. Det i den andre retningen er øyeblikkelig.
Bevis på teoremet
Merknad . Dersom en vektor x av M er slik at det er et element α av I hvor (1-α) x = 0, så er x = α n x for et hvilket som helst heltall n > 0, slik at x representerer N . For det omvendte, legg merke til at i henhold til lemmaet, N = IN . Den Nakayama er lemma å konkludere.
IKKE=∩ikke>0JegikkeM{\ displaystyle N = \ cap _ {n> 0} I ^ {n} M}
Referanser
-
N. Bourbaki , Elementer av matematikk , kommutativ algebra , kapittel III, § 3
-
(no) David Eisenbud , kommutativ algebra med utsikt mot algebraisk geometri , koll. " GTM " ( n o 150), § 5.1 og § 5.3
-
Serge Lang , Algebra [ detalj av utgaver ], kap. VI, øvelse 2 og 3
-
(no) Oscar Zariski og Pierre Samuel , Commutative algebra , vol. Jeg, kap. IV, § 7
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">