I algebra , den Jacobson radikal av et kommutativt ring er skjæringspunktet av dens maksimale ideal . Denne forestillingen skyldes Nathan Jacobson som var den første som systematisk studerte den. Et element x representerer Jacobson radikal av ringen A hvis og bare hvis en + ax er inverterbar for alle har til A .
DemonstrasjonLa J betegne Jacobson-radikalen til kommutasjonsringen A og utnytte det faktum at (ifølge Krulls teorem ) 1 + øks er ikke-inverterbar hvis og bare hvis den tilhører et maksimalt ideal.
I det ikke-kommutative tilfellet definerer vi Jacobson-radikalen som skjæringspunktet mellom alle de maksimale idealene til venstre, og vi har fremdeles: x tilhører radikalen hvis og bare hvis hele 1 + øksen er igjen inverterbar. Det er et tosidig ideal, og vi kunne ha definert Jacobson-radikalen på en ekvivalent måte som skjæringspunktet mellom alle de maksimale idealene til høyre.