Den logikken er grunnlaget for matematisk resonnement.
“Siden grekerne, som sier matematikk, sier demonstrasjon. "
- Nicolas Bourbaki , Elements of matematics , in Introduction to Set Theory
Den logikken forklarer hvordan et faktum eller påstand kan oppstå andre fakta som allerede er tatt opp. En kjede av fakta som er angitt å flyte fra hverandre kalles en demonstrasjon . Vi kan se at beregning og demonstrasjon er de to hovedaktivitetene i matematikk. Her er vi interessert i å demonstrere. For å demonstrere noe må du enten bruke et bestemt språk (presentert i andre spesialiserte Wikipedia-artikler, for eksempel i artikkelen naturlig deduksjon ), eller beholde fransk med et visst antall konvensjoner som tar sikte på å eliminere feil og uklarheter. Logikk er derfor i matematikk praksis med strenghet eller nøyaktighet i tankene.
Så snart vi gjør matematikk, plasserer vi oss i en teori der vi aksepterer et visst antall grunnleggende fakta. I de følgende eksemplene er de grunnleggende fakta de fra teorien om reelle tall , der vi kjenner egenskapene til addisjon, multiplikasjon, ordenrelasjon etc. Vi vil være interessert i sekvensen av riktig resonnement som kan gjøres ut fra disse grunnleggende fakta som er anskaffet.
La oss starte med å se på to fakta:
første faktum : andre har gjort : .Det andre faktum følger av det første faktum. Faktisk, hvis , kan vi erstatte med i uttrykket, og vi finner det . Så vi vil si det
eller
Vi skriver også
hvis daeller
er tilstrekkelig foreller
er nødvendig når .Alle disse formuleringene er konvensjoner som matematikere har valgt å legge grundighet til i deres resonnement. I det vi nettopp har sagt, kalles det koblinger til en implikasjon . Mer presist påstanden om at denne implikasjonen er sant kalles et deduksjon, et deduksjon er et grunnleggende trinn i en demonstrasjon.
På den annen side, kan vi si
Nei, for med kan man også bekrefte det , faktisk (3 x 1) . For å kunne si noe med bekreftelsene og , må du kombinere dem for å danne et enkelt faktum. Dette faktum er en ny påstand:
eller .Den logiske operasjonen som kombinerer to utsagn med en eller kalles en disjunksjon . Merk at det er mindre språkvariasjoner på disjunksjon enn på implikasjoner. Og teorien om kvadratiske ligninger forteller oss at vi kan skrive:
innebærer hvoreller
hvis da eller .Når vi skriver antyder, innser vi faktisk at noe blir sagt høyere enn . Ved å gjøre en implikasjon mister vi informasjon. Men ved å skrive eller svekke bekreftelsen , mister vi også informasjon, men ikke på samme måte.
Hvordan kombinerer du to fakta ved å si at det ikke går tapt informasjon når du går fra den ene til den andre eller fra den andre til den ene, og sier at de sier nøyaktig det samme? På ovennevnte fakta er det skrevet:
tilsvarer ellereller
hvis og bare hvis ellereller
er nødvendig og tilstrekkelig slik at ellereller
er en nødvendig og tilstrekkelig forutsetning for det eller .Denne kombinasjonen kalles en ekvivalens . Som en ekvivalens går begge veier, kan vi også skrive:
eller tilsvarereller
eller hvis og bare hviseller
eller iff som er en forkortet form av den forrige, etc.Så langt har vi snakket om fakta eller uttalelser . I logikken bruker man i dette tilfellet navnet på proposisjonen . Så er en proposisjon. Vi kan til og med gi setningene navn som er bokstaver, for eksempel kan vi skrive innebærer . Vi kan derfor se at det innebærer fungerer litt som i aritmetikk. Man kan altså også "beregne" på proposisjonene, man snakker dessuten om beregning av proposisjonene når man snakker om denne måten å beregne på. Men i motsetning til aritmetikk, hvor vi sier at det er en operatør, sier vi at det innebærer at det er en kontakt . Det er mer et spørsmål om vane, blant logikere, enn egentlig et annet konsept. Vi har sett tre kontakter:
I regning skriver man ikke mer , men vel . I beregningen av proposisjoner bruker vi notasjoner som for kontaktene, og vi skriver
men vi vil bruke disse notasjonene veldig lite i denne artikkelen.
Vi kan ikke si det innebærer . På den annen side kan vi si at hvis det er verdt , er det ikke verdt : for det må vi kunne si at vi ikke har det . For å gjøre dette introduserer vi en kontakt som ser ut som unary i aritmetikk, den som erstatter med . Denne kontakten kalles negasjon og er angitt som nr . Vi kan derfor skrive:
innebærer neieller
hvis da ikke .Den formelle notasjonen av nei er . Vi skriver i stedet for nei . Men veldig ofte vil man bruke en enda mer fortettet skrift, nemlig .
Vi har sett at vi ikke kan si det
innebærer ,på den annen side kan vi forsterke den første proposisjonen (den som er til venstre for det som antydes ) ved å si at vi leter etter de som er større enn . Med andre ord, vi vil legge tilstanden til . For det lager vi proposisjonen:
og .Vi introduserte en ny kontakt har , og takket være ham kan vi si:
og involverer .Der begynner vi å se et lite problem. I forrige proposisjon mente vi at vi hadde på den ene siden
Og på den annen side,
involverteller mente vi det
oginvolvert
?Dette er den andre intensjonen vi hadde i tankene. For å unngå tvetydighet bruker vi parenteser og skriver:
( og ) antyder .Den og er formelt notert . Så ovennevnte proposisjon kan skrives:
.Anta at vi ikke mener proposisjon A sett ovenfor:
for eller for uttrykket avbrytesmen et annet forslag:
det er et naturlig tall et sted (det vil si ett ) som dette uttrykket forsvinner for .Vi vil skrive:
Det er slik at ." Det er " kalles en kvantifier .
Takket være denne nye logiske konstruksjonen, fordi vi vet at avbryter , kan vi skrive et forslag som sier at det er et naturlig tall som avbryter :
Hvis jeg nå vurderer uttrykket , kan jeg ikke bekrefte at det er en som avbryter det. Men på den annen side kan jeg si at det for alle naturlige tall ikke avbrytes. Jeg skriver da
" For alt " er også en kvantifier . Vi kan også skrive: Uansett , . Og igjen: ∀ , i formuleringen som ikke ønsker å blande fransk med det matematiske språket.
For å kunne resonnere trenger vi noen regler. For eksempel er det regler om implikasjoner som logikerne har gitt navn.
Så vi kan si at hvis vi har, og hvis vi har involverer, har vi det . Dette betyr at hvis vi tar sikte på å demonstrere , vil vi være i stand til å gi oss to delmål (to mellommål): å demonstrere og demonstrere innebærer , bare da vil vi kunne bruke ovennevnte regel for å demonstrere . Som i det andre delmålet hadde vi en implikasjon, og at i det endelige målet er det ikke mer implikasjon. Denne regelen kalles modus ponens .
For eksempel at vi har vist at , og siden vi har tilsier , kan vi utlede at .
Som vi nettopp har sett, må vi ha midler til å demonstrere implikasjoner. Vi bruker for det en regel som "introduserer" en implikasjon. Det fungerer som følger. Si at vi ønsket å demonstrere involverer . Vi legger til våre aksepterte hypoteser og prøver å demonstrere . Hvis vi lykkes, kan vi hevde involverer, og vi kan bruke det etterpå.
Det er regler for andre kontakter som eller eller og , men også for kvantifiserere.
Eksistensen av riktig matematisk resonnement er en ting, men konstruksjonen av en slik riktig resonnement er en annen. Spørsmålet oppstår derfor å gi matematikere eller studenter metoder for å gjøre demonstrasjoner. Her er noen heuristikker (verktøy som hjelper konstruksjonen av resonnement) som matematikere må hjelpe dem med å utvikle bevis. Noen matematikere, som Henri Poincaré , George Pólya , Martin Gardner eller Terence Tao har forsøkt å beskrive i bøker, deres tilnærming og deres kollegaer slik han ser det.
I induksjon starter matematikeren fra eksperimentelle funn, og generaliserer dem ved å finne en "lov" som forener dem. For eksempel ser vi at hvis vi tegner en trekant hvor en av sidene er diameteren på en sirkel, og de tre toppunktene i denne trekanten sammenfaller med sirkelenes periferi, så er denne trekanten rettvinklet. Den induksjon er en heuristisk , det vil si, en metode som bidrar til å så bygge en streng matematisk resonnement; i ingen tilfeller utgjør det en matematisk demonstrasjon.
I deduksjonen begynner vi fra hypoteser og vi prøver å bygge logiske sekvenser for å føre til beviset på teoremet. Denne tilnærmingen kan føre til et punkt der det ikke lenger er noe nytt fradrag å gjøre uten at en demonstrasjon er nådd (blindvei). Det krever å gå tilbake for å ta en annen rute (dvs. et nytt fradrag). Denne rent deduktive tilnærmingen kan være kostbar, fordi antall veier som skal utforskes er ekstremt stort. Det kan da være interessant å ha en enda intuitiv og ufullstendig ide om "riktig" retning og å "måle" hvor nærme vi er løsningen (se Backtrack ). Fradraget må derfor kombineres med annen heuristikk.
Vi ser etter en demonstrasjon ved å dele problemet opp i en sak.
Eksempel : Har vi, for alle naturligetall, til ogmed?
Proposisjonen er: " er til og med for alle naturlige tall n"
Heuristikken er: “vi resonnerer ved disjunksjon av saker” .
Sak 1: vi vurderer jevn, eller med et naturlig tall.
som er et partall.
Tilfelle 2: vi anser odde, eller med et naturlig tall.
som er et partall. Dermed har vi et hvilket som helst naturlig tall (partall eller oddetall) .
Hvis vi har bevis for hver sak, har vi et bevis på det generelle problemet.
Vi antar at negasjonen av det vi ønsker å vise, så viser vi at dette fører til en absurditet.
Et sted for å vise at A betyr B er det vist at sperring av B innebærer negasjonen av A .
Ved en trinnvis prosess viser vi at en egenskap er sant for alle heltall eller for en hvilken som helst matematisk struktur som ligner på heltall.
Man analyserer potensielle kandidatløsninger, og man eliminerer blant dem de som ikke er autentiske løsninger, og håper dermed å oppnå en sann demonstrasjon blant kandidatene som ikke er eliminert.
I tillegg til den formelle korreksjonen, er matematikere enige om å dømme visse bevis (med samme resultat) mer elegante enn andre, ofte fordi de er kortere, men også av oppfinnsomheten til argumentene som brukes, eller av utseendet til skjulte forhold til andre resultater som allerede er kjent .