Hypergeometrisk lov

Hypergeometrisk lov

Massefunksjon
Distribusjonsfunksjon

Innstillinger	${\ displaystyle {\ begynn {justert} N & \ i 0,1,2, \ prikker \\ p & \ i [0; 1] \\ n & \ i 0,1,2, \ prikker, N \ ende {align}} \,}$
Brukerstøtte	${\ displaystyle \ scriptstyle {k \, \ in \, \ max {(0, \, n-qN)}, \, \ prikker, \, \ min {(pN, \, n)}} \,}$
Massefunksjon	${\ displaystyle {\ frac {{pN \ velg k} {qN \ velg nk}} {N \ velg n}}}$
Håp	$np \!$
Mote	${\ displaystyle \ left \ lfloor (n + 1) {\ frac {(pN + 1)} {N + 2}} \ right \ rfloor}$
Forskjell	${\ displaystyle npq {\ frac {(Nn)} {(N-1)}}}$
Asymmetri	${\ displaystyle {\ frac {(N-2n) (qp) (N-1) ^ {\ frac {1} {2}}} {[npq (Nn)] ^ {\ frac {1} {2}} (N-2)}}}$
Normalisert kurtose	${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {(N-1) [N ^ {2} (1-6pq) + N (1-6n) + 6n ^ {2}]} {npq (Nn) (N-2) (N-3)}}}$ ${\ displaystyle + {\ frac {6N ^ {2}} {(N-2) (N-3)}} - 6}$
Moment-genererende funksjon	${\ displaystyle {\ frac {{qN \ velger n} \ scriptstyle {\, _ {2} F_ {1} (- n, -pN; qN-n + 1; e ^ {t})}} {N \ velg n}} \, \!}$
Karakteristisk funksjon	${\ displaystyle {\ frac {{qN \ select n} \ scriptstyle {\, _ {2} F_ {1} (- n, -pN; qN-n + 1; e ^ {it})}} {N \ velg n}}}$

Den hypergeometriske loven til tilknyttede parametere , og er en diskret sannsynlighetslov , som beskriver følgende modell: $ikke$ $s$ $IKKE$

Den trekker samtidig baller i en boks som inneholder vinnende baller og tapende baller (med et totalt antall baller lik = ). Vi teller deretter antall vinnende baller som er ekstrahert, og vi kaller den tilfeldige variabelen som gir dette tallet.

ikke

{\ displaystyle N_ {1} = pN}

{\ displaystyle N_ {2} = qN}

{\ displaystyle q = 1-p}

{\ displaystyle pN + qN}

IKKE

X

Den universet er sett av heltall fra 0 til . Variabelen følger deretter sannsynlighetsloven definert av ${\ displaystyle X \! (\ Omega)}$ $ikke$ $X$

{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = \ mathbb {P} _ {X} (k) = {\ frac {{pN \ velg k} {qN \ velg nk}} {N \ velg n} }}

(sannsynlighet for å lykkes).

k

Denne sannsynlighetsloven kalles den hypergeometriske loven til parametere, og vi betegner . ${\ displaystyle (n, p, N)}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {H}} (n, p, N)}$

Det er nødvendig at det er et reelt mellom 0 og 1, det vil si heltall og det . Når disse betingelsene ikke er pålagt, er settet med muligheter settet med heltall mellom og . $s$ ${\ displaystyle pN}$ ${\ displaystyle n \ leqslant N}$ ${\ displaystyle X \! (\ Omega)}$ ${\ displaystyle \ max (0, n-qN)}$ ${\ displaystyle \ min (pN, n)}$

Enkelt eksempel

En innsjø inneholder hundre fisk, hvorav en fjerdedel er gjedde. 10 fisk fanges; loven om antall gjedder i fangsten er . $X$ ${\ displaystyle H (10,1 / 4,100)}$

Vi finner da for de påfølgende parene : ${\ displaystyle (k, \ mathbb {P} (X = k))}$

(0,5%), (1,18%), (2,30%), (3,26%), (4,15%), (5,5%), (6,1%), (7,0%), (8,0%), (9,0%), (10,0%)

Så maksimalt sjanser for 2 eller 3 gjedder. Videre er forventningen om antall gjedder 10/4 = 2,5.

Beregning av sannsynlighetsloven

Dette er en simultan tegning (det vil si ikke bestilt og uten erstatning selv om sannsynligheten loven ville forbli den samme hvis vi bestemte oss for å bestille tegningen fordi dette ville beløpe seg til å multiplisere med teller og nevner av mengden av elementer blant , tegne som man anser som utryddelig. $ikke!$ $P (X = k)$ $ikke$ $IKKE$

Den kombinasjonen kan si kardinal av universet . ${\ displaystyle \ textstyle {N \ select n}}$

	Tegne	Ble igjen i valgurnen	Total
Suksess	$k$	${\ displaystyle pN-k}$	${\ displaystyle pN}$
Sjakk	$nk$	${\ displaystyle qN-n + k}$	${\ displaystyle qN}$
Total	$ikke$	${\ displaystyle Nn}$	$IKKE$

Arrangementet (se tabell) representerer tilfelle der man har trukket vinnende baller fra og tapte baller fra . Kardinalen til denne hendelsen er derfor . ${\ displaystyle \ {X = k \}}$ $k$ ${\ displaystyle pN}$ $nk$ ${\ displaystyle qN}$ ${\ displaystyle \ textstyle {pN \ velg k} {qN \ velg nk}}$

Sannsynligheten for arrangementet er derfor . Merk: som for enhver sannsynlighetstetthet, er summen av lik 1, som beviser identiteten til Vandermonde . ${\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = \ mathbb {P} _ {X} (k) = {\ frac {{pN \ velg k} {qN \ velg nk}} {N \ velg n} }}$
${\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k)}$

Forventning, avvik og standardavvik

Den forventning av en tilfeldig variabel etter en geometriske distribusjonen med parametre er den samme som for en binomial variable parametere s : . $X$ ${\ displaystyle (n, p, N)}$ ${\ displaystyle (n, p)}$ $\ mathbb {E} (X) = np \,$

Demonstrasjon

Vi gir oss selv: ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {H}} (n, p, N)}$

(Hvis vi refererer til en modell av urner med samtidig tegning, det vil si ikke bestilt og uten erstatning. Vi har derfor : antall baller av typen "suksess" og : antall baller av typen "fiasko".) ${\ displaystyle N_ {N} = pN}$ ${\ displaystyle N_ {B} = qN = (1-p) N}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = {\ frac {{N_ {N} \ velg k} {N_ {B} \ velg nk}} {N \ velg n}}}

La oss nummerere fra 1 til ballene av typen "suksess" og definere for alt mellom 1 og arrangementet: ${\ displaystyle N_ {N}}$ $k$ ${\ displaystyle N_ {N}}$

{\ displaystyle E_ {k} = \ {{\ text {vi skjøt blant}} \ n \ {\ text {baller den vellykkede ballen}} \ k \}}

Som det totale antall "suksess" type baller er tegnet $X$ ${\ displaystyle X = \ sum _ {k = 1} ^ {N_ {N}} \ mathbf {1} _ {E_ {k}} \,}$

(hvor $1$ er indikatorfunksjonen til ), ved håpets linearitet . $E_k$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} (X) = N_ {N} \ mathbb {P} (E_ {1}) \,}$

La oss nå evaluere . Ved å bytte til komplementær, $\ mathbb {P} (E_1) \,$

{\ displaystyle \ mathbb {P} {\ bar {(E_ {1})}} = {\ frac {N-1 \ velg n} {N \ velg n}} = {\ frac {(N-1)! } {n! (N-1-n)!}} {\ frac {n! (Nn)!} {N!}} = {\ frac {Nn} {N}} \,}

som er sannsynligheten for aldri å skyte en gitt ball.

Derfor ${\ displaystyle \ mathbb {P} (E_ {1}) = 1 - {\ frac {Nn} {N}} = {\ frac {n} {N}} = {\ frac {n} {N_ {N} + N_ {B}}} \,}$

Vi konkluderer derfor med det ${\ displaystyle \ mathbb {E} (X) = {\ frac {nN_ {N}} {N_ {N} + N_ {B}}} = {\ frac {nN_ {N}} {N}} \,}$

Ved å huske at det er nøyaktig sannsynligheten for å lykkes, har vi gode . ${\ displaystyle {\ frac {N_ {N}} {N}} = p \,}$ $\ mathbb {E} (X) = np \,$

Den variansen av en tilfeldig variabel følge en hypergeometrisk lov parametre er , som vi legger merke til at det har en tendens mot forventning når tenderer mot uendelig. ${\ displaystyle n, p, N}$ ${\ displaystyle npq {\ frac {Nn} {N-1}}}$ ${\ displaystyle npq}$ $IKKE$

Den standardavviket er da . ${\ displaystyle {\ sqrt {npq}} {\ sqrt {\ frac {Nn} {N-1}}}$

Konvergens

Som en tendens til uendelig, konvergerer den hypergeometriske loven til en binomial lov av parametere og . Videre, intuitivt, for store, samtidig skyte boule, utgjør en Bernoulli-test som sannsynligheten for suksess vil være ( er andelen vinnende boule i settet med boule), fordi det er svært lite sannsynlig å falle på den samme ballen, selv om den byttes ut i urnen. $IKKE$ $ikke$ $s$ $IKKE$ $ikke$ $ikke$ $s$ $s$

Bevis på konvergens mot binomialoven

La oss bryte det ned . ${\ displaystyle {\ frac {{pN \ velg k} {qN \ velg nk}} {N \ velg n}}}$

{\ displaystyle {\ frac {{pN \ velg k} {qN \ velg nk}} {N \ velg n}} = {\ frac {(pN)!} {k! (pN-k)!}} \ cdot {\ frac {(qN)!} {(nk)! (qN-n + k)!}} \ cdot {\ frac {n! (Nn)!} {N!}}}

{\ displaystyle = {n \ velg k} {\ frac {(pN)!} {(pN-k)!}} \ cdot {\ frac {(qN)!} {(qN-n + k)!}} \ cdot {\ frac {(Nn)!} {N!}}}

For første periode: ${\ displaystyle {\ frac {(pN)!} {(pN-k)!}} = {\ frac {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot ... \ cdot pN} {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot ... \ cdot (pN-k)}} = pN \ cdot (pN-1) \ cdot ... \ cdot (pN-k + 1)}$

For vi har: ${\ displaystyle N \ rightarrow + \ infty}$

{\ displaystyle {\ frac {(pN)!} {(pN-k)! (pN) ^ {k}}} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {pN-k + i } {pN}} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} (1 + o (1)) = 1 + o (1)}

og vi får ${\ displaystyle {\ frac {pN!} {(pN-k)!}} \ sim (pN) ^ {k}}$

Det samme for det andre leddet gir: . ${\ displaystyle {\ frac {(qN)!} {(qN-n + k)!}} \ sim (qN) ^ {nk}}$

Til slutt, den tredje periode: . ${\ displaystyle {\ frac {N!} {(Nn)!}} \ sim N ^ {n}}$

Avslutningsvis har vi: ${\ displaystyle {\ frac {{pN \ velg k} {qN \ velg nk}} {N \ velg n}} \ sim _ {N \ høyre pil + \ infty} {n \ velg k} {\ frac {(pN ) ^ {k} (qN) ^ {nk}} {N ^ {n}}} = {n \ velg k} p ^ {k} q ^ {nk}}$

Det er faktisk en binomial fordeling av parametere . ${\ displaystyle (n, p)}$

I praksis kan vi nærme oss den hypergeometriske loven til parametere ved en binomial lov av parametere så snart , det vil si når prøven er 10 ganger mindre enn populasjonen . ${\ displaystyle (n, p, N)}$ ${\ displaystyle (n, p)}$ ${\ displaystyle n / N <0.1}$ $ikke$ $IKKE$

Et veldig klassisk eksempel på denne erstatningen gjelder avstemninger . Ofte betraktes en undersøkelse av mennesker som uavhengige undersøkelser når undersøkelsen i virkeligheten er uttømmende (du intervjuer aldri den samme personen to ganger). Som ( antall respondenter ) < ( undersøkte befolkning ) / 10, er denne tilnærmingen legitim. $ikke$ $ikke$ $ikke$ $IKKE$

Opprinnelsen til det hypergeometriske navnet

Navnet "hypergeometrisk lov" kommer fra det faktum at dens genererende serie er et spesielt tilfelle av en hypergeometrisk serie, en serie som generaliserer den geometriske serien. Faktisk er en rasjonell brøkdel i . ${\ displaystyle E (x ^ {X}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ mathbb {P} (X = k) x ^ {k}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {P} (X = k + 1)} {\ mathbb {P} (X = k)}} = {\ frac {(N_ {1} -k) (nk)} {(k + 1) (N_ {2} -n + k + 1)}}$ $k$