Eulers metode

I matematikk er Euler-metoden , oppkalt til ære for matematikeren Leonhard Euler (1707 - 1783), en numerisk prosedyre for å løse ved tilnærming førsteordens differensiallikninger med en starttilstand . Det er den enkleste metoden for numerisk løsning av differensiallikninger .

Prinsipp for metoden

Eulers metode er en elementær numerisk metode for å løse førsteordens differensialligninger av formen

\ forall x \ i I, u '(x) = f (x, u (x))

hvor $jeg$ er et intervall på og $f$ , en virkelig funksjon på . $\ mathbb {R}$ $Jeg \ ganger {\ mathbb R}$

Gitt en begynnelsestilstand , gir metoden et hvilket som helst punkt $b$ $\in$ $I$ en serie tilnærminger av verdien $u$ $($ $b$ $)$ som tar, når den eksisterer, løsningen av ligningen som tilsvarer denne opprinnelige tilstanden. Ulike sett med betingelser på $f$ kan sikre konvergensen av denne sekvensen. $(a, u (a)) \ in I \ times {\ mathbb R}$ $(u_ {n} (b)) _ {{n \ in {\ mathbb N}}}$

Verdien $u n ( b )$ oppnås ved å beregne n mellomverdier av den omtrentlige løsningen ved punktene som jevnlig fordeles mellom $a$ og $b$ , gitt av ${\ displaystyle (y_ {i}) _ {i \ in \ {0, n \}}}$ ${\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ in \ {0, n \}}}$

x_ {i} = a + i {\ frac {ba} {n}}.

Euler eksplisitt

Ved å utvide denne notasjonen til $x 0 = a$ , $y 0 = u ( a )$ og $x n = b$ , $y n = u n ( b )$ og bruke tilnærmingen til derivatet

u '(x_ {i}) \ simeq {\ frac {u (x _ {{i + 1}}) - u (x_ {i})} {x _ {{i + 1}} - x_ {i} }}

Vi trekker frem følgende forhold:

{\ frac {y _ {{i + 1}} - y_ {i}} {x _ {{i + 1}} - x_ {i}}} = f (x_ {i}, y_ {i})

Mellomverdiene blir deretter gitt av gjentakelsesforholdet

{\ displaystyle y_ {i + 1} = y_ {i} + (x_ {i + 1} -x_ {i}) f (x_ {i}, y_ {i}), \ i \ in \ {0, n -1 \}.}

som er den eksplisitte Euler-ordningen.

Implisitt Euler

Merk at vi også kan nærme oss derivatet ved $x i +1$ med samme forhold

{\ displaystyle u '(x_ {i + 1}) \ approx {\ frac {u (x_ {i + 1}) - u (x_ {i})} {x_ {i + 1} -x_ {i}} }}

vi utleder gjentakelsesforholdet

{\ displaystyle y_ {i + 1} = y_ {i} + (x_ {i + 1} -x_ {i}) f (x_ {i + 1}, y_ {i + 1}), \ i \ in \ {0, n-1 \}.}

som er den implisitte Euler-ordningen. Det vil bemerkes at i dette diagrammet vises begrepet $y i +1$ på begge sider av ligningen, som begrenser seg til å bruke numeriske oppløsningsmetoder av typen Newton-Raphson-forhold for å bestemme $y i + 1$ ved hver iterasjon hvis funksjonen $f$ er ikke-lineær.

Eksempler

Søknad om integrering

Integreringen av en kontinuerlig funksjon på et segment kan sees på som et spesialtilfelle hvor funksjonen $f$ er kontinuerlig og avhenger bare av $x$ : . Vi beviser da, ved å bruke den jevne kontinuiteten til $f$ på $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ ( Heines teorem ), at sekvensen er Cauchy , og derfor konvergerer ved fullstendighet av . $u '(x) = f (x)$ $(u_ {n} (b)) _ {{n \ in {\ mathbb N}}}$ $\ mathbb {R}$

Faktisk har vi: $y_ {n} = h \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} f (kh) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} f \ left ({\ frac {k (ba)} {n}} \ høyre).$

Vi kjenner igjen metoden til rektangler til venstre for beregning av den nøyaktige løsningen . ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {x_ {n}} f (u) \, du}$

Eksempel

f (x) = {\ frac {x} {2}}

Gitt funksjonen og startverdiene $x$ $0$ $= 1$ og $y$ $0$ $=$ $F$ $($ $x$ $0$ $) =$ $1$ $⁄$ $4$ . $f: x \ mapsto {\ frac {x} {2}}$

Beregningen av verdiene $F ( x 1 ), F ( x 2 ), F ( x 3 ) ...$ gjør det mulig å oppnå den grafiske representasjonen av $F$ ved segmentene [A 0 A 1 ], [A 1 A 2 ], [A 2 A 3 ] ...

Funksjonen $f$ har for antiderivativ med $x$ $0$ $= 1$ og $y$ $0$ $=$ $G$ $($ $x$ $0$ $) =$ $1$ $⁄$ $4$ . $G: x \ mapsto {\ frac {x ^ {2}} {4}}$

Kurven (C) representant for $G$ er plassert her på samme graf for å visualisere beregningen av tangentene.

Den affine funksjon stykkevis er en approksimasjon av det opprinnelige $G$ .

Lineær sak

En annen klassisk tilfelle er der f er en lineær funksjon u : . Diagrammet gir deretter: $u '= cu$

$y _ {{n + 1}} = y_ {n} + hcy_ {n} = (1 + ch) y_ {n},$ er

$y_ {n} = (1 + ch) ^ {n} = \ left (1 + c {\ frac {ba} {N}} \ right) ^ {n}.$

Man finner ved sluttpunktet en omtrentlig verdi av den eksakte løsningen forutsatt at N er tilstrekkelig stor: $y_ {N} = \ left (1 + c {\ frac {ba} {N}} \ right) ^ {N} \ simeq \ exp (c (ba))$ .

Man kan også merke seg at hvis trinnet er for stort, tar sekvensen (geometrisk) flere og flere verdier og avviker fra løsningen (diagrammet er ustabilt ). En løsning er å bruke en implisitt Euler-metode : $y _ {{n + 1}} = y_ {n} + hcy _ {{n + 1}} \ Longleftrightarrow y_ {n} = (1-ch) ^ {{- n}}.$

Dette diagrammet er mer stabilt numerisk og garanterer enklere konvergens mot løsningen.

Metodefeil

Eulers metode er enkel, men den induserte feilen kan være ganske høy hvis trinnet velges for stort. Faktisk gir beregningen av konsistensfeilen Taylor-Lagrange-formelen : $\ epsilon _ {n} = u (t _ {{n + 1}}) - u _ {{n + 1}} = u (t _ {{n + 1}}) - u (t_ {n}) - hf (t_ {n}, u (t_ {n})) = u (t _ {{n + 1}}) - u (t_ {n}) - hu '(t_ {n}) = {\ frac {1} {2}} h ^ {2} u '' (t_ {n}) + o (h ^ {2}).$

Se også

Relaterte artikler

Runge-Kutta-metoder (bruk samme prinsipp som Eulers men gir bedre presisjon)
Semi-implisitt Euler-metode
Teori for Cauchy-Peano-Arzelà
Leapfrog-metoden

Eksterne linker

Eulers metode. Punkt for punkt konstruksjon av en integrert kurve med GeoPlan. på P. Debarts nettsted