Tilfeldig matrise

I sannsynlighetsteori og matematisk fysikk er en tilfeldig matrise en matrise hvis elementer er tilfeldige variabler . Målet med teorien om tilfeldige matriser er å forstå visse egenskaper til disse matrisene, for eksempel deres operatørnorm, deres egenverdier eller deres entallverdier .

Overfor den økende kompleksiteten til kjernefysiske spektre observert eksperimentelt på 1950-tallet, foreslo Wigner å erstatte den Hamilton-operatøren av kjernen med en tilfeldig matrise.

Denne fruktbare hypotesen førte til den raske utviklingen av et nytt forskningsfelt som er veldig aktivt i teoretisk fysikk , som har spredt seg til tallteori i matematikk, med særlig en interessant sammenheng med Riemann zeta-funksjonen (se for eksempel l 'artikkel forhåndsutgitt ifebruar 2019av Michael Griffin, Ken Ono, Larry Rolen og Don Zagier og Robert C. Smiths kommentarer på bloggen hans).

I tillegg til disse eksemplene, er det anvendelser av teorien om tilfeldige matriser:

de integrerbare systemene ,
det quantum kaos ,
den qcd nettverk ,
den kvantetyngde i to dimensjoner, og mer via strengteori og korrespondanse ADS / CFT ,
de supersymmetriske målerteoriene .

For mer informasjon, les innledningen til Nicolas Orantins avhandling (tilgjengelig online).

Tilfeldige matriser finnes også i mange hverdagssituasjoner: ventetid på T-banen, tsunamier, aksjemarkedspriser, mobiltelefonantenner, trærnes posisjon i en vill skog, ombordstigning på et fly osv. De har også vist seg å være fruktbare i biologi: form av proteiner, krystaller, etc.

Noen sett med tilfeldige matriser

Wigner-matriser

En Wigner- matrise er en symmetrisk tilfeldig matrise hvis innganger er uavhengige og identisk fordelte sentrerte tilfeldige variabler (iid). For eksempel, hvis er en familie av tilfeldige variabler i henhold til en Rademacher-lov , er den symmetriske matrisen definert av: $N \ ganger N$ ${\ displaystyle (X_ {i, j}) _ {i, j \ i \ {1, ..., n \}}}$ ${\ displaystyle M = (M_ {i, j}) _ {i, j \ in \ {1, ..., n \}}}$

{\ displaystyle M_ {i, j} = {\ begin {cases} X_ {i, i} {\ text {si}} i = j, \\ X_ {i, j} {\ text {si}} i < j \\ X_ {j, i} {\ text {si}} i> j \ end {cases}}}

er en Wigner-matrise.

Gaussiske sett

Dette er settene introdusert av Wigner for teorien om kjernefysiske spektre. Det er tre sett:

det ortogonale Gaussiske settet for tidsinvariante systemer (GOE);
det enhetlige Gauss-settet for ikke-invariante tidsreverseringssystemer (på engelsk, gaussisk enhetssett eller GUE );
og Gaussian symplectic ensemble for systems with spin (på engelsk, Gaussian symplectic ensemble eller GSE ).

Når det gjelder settet GOE, vurderer vi virkelige symmetriske matriser hvis matriseelementer adlyder den gaussiske fordelingen: $N \ ganger N$ $A_ {ij}$

P (A _ {{ij}}) \ prod _ {i} dA _ {{ii}} \ prod _ {{i <j}} dA _ {{ij}} = \ exp \ left (-g {\ mathrm {Tr}} ({} ^ {t} AA) \ right) \ prod _ {i} dA _ {{ii}} \ prod _ {{i <j}} dA _ {{ij}}

Fordelingen er uforanderlig av de ortogonale transformasjonene. På samme måte, i enhetssettet, vurderer man Hermitian-matriser, og fordelingen er uforanderlig av enhetstransformasjonene. I GSE-settet er fordelingen invariant under virkningen av symplektiske transformasjoner.

Wigner utledet fordelingen av egenverdiene til disse matrisene i grensen . Det er loven i halvsirkelen. $N \ til \ infty$

Det er mulig å utlede loven om felles fordeling av egenverdiene ved å endre grunnlaget. Resultatet er at:

P (\ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {N}) = C_ {N} \ exp (-g \ sum _ {i} \ lambda _ {i} ^ {2}) \ prod _ { {i <j}} \ mid \ lambda _ {i} - \ lambda _ {j} \ mid ^ {\ beta}

hvor matriksen er egenverdiene, og i tilfelle GOE, i tilfelle GUE, i tilfelle GSE. $\ lambda _ {i}$ $\ beta = 1$ $\ beta = 2$ $\ beta = 4$

Fra disse fordelingene kan vi få loven om fordelingen av forskjellene mellom egenverdier. Vi viser at hvis er avstanden (normalisert av tilstandstettheten) mellom to egenverdier, er sannsynligheten for at to egenverdier er fjern fra tendens til null hvis har en tendens til null. Hvis egenverdiene var jevnt fordelt, ville denne sannsynligheten være gitt av Poissons lov og ville ikke ha en tendens mot null for å være mot null. Denne egenskapen til Gaussiske sett kalles nivåavstøtning. $s$ $s$ $s$ $s$

Enhetssett

Bemerket COE, CUE, CSE. Denne gangen er matrisene henholdsvis ortogonale, enhetlige eller symplektiske. Deres egenverdier er komplekse antall modul 1. Freeman Dyson viste at studien av fordelingen av disse egenverdiene utgjør studiet av den statistiske mekanikken til en gass av partikler på en sirkel med en logaritmisk interaksjon med avstanden.

Se også

Relaterte artikler

Eksterne lenker på fransk

Nicolas Orantin , Fra den topologiske utviklingen av matrisemodeller til topologisk strengteori: kombinatorikk av overflater ved algebraisk geometri (doktorgradsavhandling i teoretisk fysikk, University of Paris 6),2007, 179 s. ( HAL tlf. 00173162 )
Bertrand Eynard , “ Universality of random matrices ”, Pour la science , nr . 487,Mai 2018, s. 34-44

Eksterne linker

Robert Smith , " Jensen Polynomials, the Riemann-zeta Function, and SYK " ,2019(åpnet 11. oktober 2019 )
Alan Edelman og N. Raj Rao; Random Matrix Theory , Acta Numerica 14 : 233-297 (2005)
Alan Edelman og Moe Win; Random Matrix Theory and Its Applications , MIT Opencourseware (2004).
Alan Edelman og Moe Win; Infinite Random Matrix Theory , MIT Opencourseware (2004).
B Conrey, P Diaconis, F Mezzadri, P Sarnak og NC Snaith (arrangører); Random Matrix Approaches in Number Theory , kollokvium fra Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge University (26. januar - 16. juli 2004).
Matthew R. Watkins; Tilfeldige matriser og Riemann zeta-funksjonen , Exeter University.
NC Snaith , PJ Forrester, JJM Verbaarschot, Developments in Random Matrix Theory , J. Phys. A, bind 36, 2003, R 1.
PJ Forrester Bok på tilfeldige matriser
M. Debbah "Applications of random matrix theory to wireless telecommunications"
Alice Guionnet , Store avvik og stokastisk beregning for store tilfeldige matriser , Sannsynlighetsundersøkelser 1 : 72-172 (2004)
ZD Bai, Methodologies in spectral analysis of large dimensional random matrices, a review , Statistica Sinica 9 : 611-677 (1999)
R. Couillet, M. Debbah, "Random Matrix Theory Methods for Wireless Communications", Cambridge University Press, 2011.

Bibliografi

(en) Michael Griffin, Ken Ono, Larry Rolen og Don Zagier " Jensen-polynomer for Riemann zeta-funksjonen og andre sekvenser ",2019.
Madan Lal Mehta , "Om de statistiske egenskapene til nivåavstandene i kjernefysiske spektre", Nuclear Physics 18 (1960), 395-419
ML Mehta, tilfeldige matriser . Denne "bibelen" har vært gjenstand for tre utgaver av økende volumer:
- Random Matrices and the Statistical Theory of Energy Levels , Academic Press (New York - 1967), 259 s.
- Tilfeldig matriser ( 2 e ed revidert og utvidet.), Academic Press (New York, San Diego - 1991), 562 s.
- Tilfeldige matriser ( 3 E , ren og anvendt matematikk serie 142, Elsevier (London - 2004) red.), 688 s. ( ISBN 0-12-088409-7 )
ML Mehta, “Tilfeldige matriser i kjernefysikk og tallteori”, i JE Cohen, H. Kesten og CM Newman (red.), Proceedings of the AMS-IMS-SIAM Joint Summer Conference, Bowdoin College, Brunswick, Maine, USA ( Juni 1984) , Moderne matematikk 50 (1986), 295-309.
Édouard Brézin , Vladimir Kazakov , Didina Serban, Paul Wiegmann (en) og Anton Zabrodin (red.), "Applications of Random Matrices in Physics", i Proceedings of the NATO Advanced Study Institute / Les Houches Summer School, 6.-25. Juni 2004 , Les Houches (Frankrike) , NATO Science Series II , vol. 221, Springer-Verlag, (Berlin - 2006). ( ISBN 1-4020-4529-8 )
Bertrand Eynard, En introduksjon til tilfeldige matriser , notater av et kurs gitt på Service de Physique Théorique du CEA (Saclay - september 2000). Fulltekst tilgjengelig her .
Pierre Cartier , Bernard Julia , Pierre Moussa og Pierre Vanhove (red.), Frontiers in Number Theory, Physics & Geometry (I) - On Random Matrices, Zeta Functions & Dynamical Systems , Les Houches Lectures Notes, Springer-Verlag, 2006 ( ISBN 3-540-23189-7 )
Philippe Di Francesco, Paul Ginsparg og Jean Zinn-Justin , 2D Gravity and Random Matrices, Phys.Rept. 254 (1995) 1-133, " hep-th / 9306153 " , åpen tekst, på arXiv . ( En veldig god introduksjon til emnet. )
VA Malyshev og AM Vershik (red.), “Asymptotisk kombinatorikk med applikasjoner til matematisk fysikk”, i Proceedings of the NATO Advanced Study Institute, holdt i St. Petersburg, Russland, 9.-22. Juli 2001 , NATO Science Series II Vol. 77, Springer-Verlag ( ISBN 1-4020-0792-2 )

Merknader

Griffin et al. 2019 .
Smith 2019 .
Orantin 2007 , s. 15-25.
Eynard 2018 .