Pi-modellering av kraftledninger
Den Pi modellering av elektriske ledninger som gjør det mulig å representere den forventede elektriske oppførsel til disse . Det er basert på ligningene til telegrafoperatørene . Beregningen av de elektriske parametrene som brukes til modelleringen er basert på Maxwells ligninger . Modellen med bare en Pi-seksjon er kun gyldig for lave frekvenser og korte kraftledninger, ellers må flere Pi-seksjoner kobles i serie.
Ligninger av telegrafoperatører
En del av en elektrisk ledning kan representeres av kvadrupolen motsatt hvor
- Den lineære motstanden (per lengdeenhet) til lederen er representert av en seriemotstand (uttrykt i ohm per lengdeenhet).R{\ displaystyle R}
- Den lineære induktansen er representert av en induktor ( Henry per lengdenhet).L{\ displaystyle L}
- Den lineære kapasitansen mellom de to lederne er representert av en kondensator C-shunt ( Farad per lengdeenhet).VS{\ displaystyle C}
- Den lineære ledningen til det dielektriske mediet som skiller de to lederne, er representert med en shuntmotstand ( Siemens per lengdeenhet). Motstanden i denne modellen har en verdi på ohm.G{\ displaystyle G}1/G{\ displaystyle 1 / G}
I denne modellen definerer vi spenningen når som helst på en avstand x fra begynnelsen av linjen og når som helst t spenningen og strømmen . Ligningene er skrevet:
U(x,t){\ displaystyle U (x, t)}Jeg(x,t){\ displaystyle I (x, t)}
∂U∂x(x,t)=-L∂Jeg∂t(x,t)-RJeg(x,t){\ displaystyle {\ frac {\ partial U} {\ partial x}} (x, t) = - L {\ frac {\ partial I} {\ partial t}} (x, t) -RI (x, t )}
∂Jeg∂x(x,t)=-VS∂U∂t(x,t)-GU(x,t){\ displaystyle {\ frac {\ partial I} {\ partial x}} (x, t) = - C {\ frac {\ partial U} {\ partial t}} (x, t) -GU (x, t )}
Fra formuleringen ovenfor kan vi tegne to partielle differensialligninger som hver bare involverer en variabel:
∂2U∂x2(x,t)=LVS∂2U∂t2(x,t)+(RVS+GL)∂U∂t(x,t)+GRU(x,t){\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial x ^ {2}}} (x, t) = LC {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial t ^ { 2}}} (x, t) + (RC + GL) {\ frac {\ partial U} {\ partial t}} (x, t) + GRU (x, t)}
∂2Jeg∂x2(x,t)=LVS∂2Jeg∂t2(x,t)+(RVS+GL)∂Jeg∂t(x,t)+GRJeg(x,t){\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} I} {\ partial x ^ {2}}} (x, t) = LC {\ frac {\ partial ^ {2} I} {\ partial t ^ { 2}}} (x, t) + (RC + GL) {\ frac {\ partial I} {\ partial t}} (x, t) + GRI (x, t)}
Pi-modell
Impedans og adgang
Med tanke på tapene beregnes impedansen Zl og adgangen Yq som følger:
Zl=Γ⋅sinh(γ⋅l){\ displaystyle Z_ {l} = \ Gamma \ cdot \ sinh (\ gamma \ cdot l)}
Yq2=1Γtanh(γ⋅l2){\ displaystyle {\ frac {Y_ {q}} {2}} = {\ frac {1} {\ Gamma}} \ tanh \ left (\ gamma \ cdot {\ frac {l} {2}} \ høyre) }
Med forplantningskonstant, med Z 'den lineære impedansen til linjen og Y' den lineære tillatelsen til linjen. Og linjens impedans. Jeg er lengden på linjen.
γ=α+jB=Z′⋅Y′{\ displaystyle \ gamma = \ alpha + j \ mathrm {B} = {\ sqrt {Z '\ cdot Y'}}}Γ=Z′Y′{\ displaystyle \ Gamma = {\ sqrt {\ frac {Z '} {Y'}}}}
For en tapsfri linje:
Zl=Γ⋅j⋅synd(B⋅l){\ displaystyle Z_ {l} = \ Gamma \ cdot j \ cdot \ sin (\ mathrm {B} \ cdot l)}
Yq2=1Γj⋅solbrun(B⋅l2){\ displaystyle {\ frac {Y_ {q}} {2}} = {\ frac {1} {\ Gamma}} j \ cdot \ tan \ left (\ mathrm {B} \ cdot {\ frac {l} { 2}} \ høyre)}
For en kort luftledning, mindre enn 80 km , kan vi forsømme kapasitansene og forenkle impedansen:
Zl=Z′⋅l{\ displaystyle Z_ {l} = Z '\ cdot l}
Yq2=0{\ displaystyle {\ frac {Y_ {q}} {2}} = 0} eller
Yq2=Y′⋅l2{\ displaystyle {\ frac {Y_ {q}} {2}} = {\ frac {Y '\ cdot l} {2}}}
Antall Pi som skal brukes
En seksjon i Pi består bare av konsentrerte elementer. Med bare en seksjon er Pi-modellen bare gyldig ved lav frekvens for korte linjelengder. Når lengden eller frekvensen øker, må antall seksjoner i Pi som skal kobles i serie for å ha riktig modellering økes.
En linje kan betraktes som "kort", det vil si modellerbar med en enkelt seksjon i Pi, opptil 200 km for en luftledning ved 50 Hz og 100 km for en kabel. Antall seksjoner i Pi må øke proporsjonalt med frekvensen og omvendt proporsjonal med linjelengden.
Beregning av elektriske parametere for en luftledning
Tilsvarende driver
De kraftlinjer , særlig mer enn 220 kV , ikke har en enkelt leder per fase, men inneholdende i lederbunter 2-4 (se bilde mot). Det er mulig å modellere en gruppe ledere med en tilsvarende leder med radius:
rtilsvarende=ikke⋅rVS⋅rTikke-1ikke{\ displaystyle r _ {\ text {equivalent}} = {\ sqrt [{n}] {n \ cdot r_ {C} \ cdot r_ {T} ^ {n-1}}}}Hvor r ekvivalent er ekvivalent radius av strålen, r C radiusen til lederne, r T radiusen til sirkelen dannet av strålen, n antall ledere per stråle (se bilde).
Tilsvarende avstand mellom bjelke / leder
For et trefasesystem er det mulig å definere en ekvivalent avstand mellom lederne, eller buntene av ledere, alt etter omstendighetene, ved å beregne det geometriske gjennomsnittet . Når det gjelder et enkelt trefasesystem, er det verdt:
D=D12⋅D23⋅D313{\ displaystyle D = {\ sqrt [{3}] {D_ {12} \ cdot D_ {23} \ cdot D_ {31}}}}For et dobbelt system (to trefaselinjer på hver side av pylon):
D=D12⋅D23⋅D31⋅D12′⋅D23′⋅D31′D11′⋅D22′⋅D33′3{\ displaystyle D = {\ sqrt [{3}] {D_ {12} \ cdot D_ {23} \ cdot D_ {31} \ cdot {\ frac {D_ {12 '} \ cdot D_ {23'} \ cdot D_ {31 '}} {D_ {11'} \ cdot D_ {22 '} \ cdot D_ {33'}}}}}
Linjemotstand
Den lineære motstanden til en leder ved 20 ° C er:
R20=ρS{\ displaystyle R_ {20} = {\ frac {\ rho} {S}}}Med seksjonen og den spesifikke motstand av det ledende materialet. For en kobberleder er resistiviteten i størrelsesorden 1,8 x 10-8 Ω ∙ m for aluminium på 3 x 10-8 Ω ∙ m.
S{\ displaystyle S}ρ{\ displaystyle \ rho}
Linjens motstand avhenger også av temperaturen:
R=R20⋅(1+αΔT){\ displaystyle R = R_ {20} \ cdot (1+ \ alpha \ Delta T)}Som er temperatur-koeffisienten og forskjellen i grader Kelvin mellom temperatur og 20 ° C .
α{\ displaystyle \ alpha}ΔT{\ displaystyle \ Delta T}
Når det gjelder en gruppe ledere, hvor sistnevnte er parallelle, må motstanden deles med antall ledere.
Induktans
Den lineære induktansen til en linje er lik:
Llinje′=μ02π(ln(Dr)+μr4ikke){\ displaystyle L _ {\ text {line}} '= {\ frac {\ mu _ {0}} {2 \ pi}} \ left (\ ln \ left ({\ frac {D} {r}} \ høyre) + {\ frac {\ mu _ {r}} {4n}} \ høyre)}Med n antall ledere per bunt og lederens permittivitet. I tilfelle er lik 1, kan vi definere en ekvivalent radius :
μr{\ displaystyle \ mu _ {r}}μr{\ displaystyle \ mu _ {r}}rGMR=r⋅e-1/4ikke{\ displaystyle r_ {GMR} = r \ cdot e ^ {- 1 / 4n}}
Llinje′=μ02πln(DrGMR){\ displaystyle L _ {\ text {line}} '= {\ frac {\ mu _ {0}} {2 \ pi}} \ ln \ left ({\ frac {D} {r_ {GMR}}} \ høyre)}
Demonstrasjon
To dirigenter
Tenk på et system som består av en fremoverlinje og en returlinje med en lengde l, ansett for å være veldig stor sammenlignet med de andre avstandene, og avstand med en avstand d. Ved å ta en sirkulær kontur rundt en lederlengde og bruke Ampères teorem på den, har vi:
2πx{\ displaystyle 2 \ pi x}
∮Hdl=Jegkrysset{\ displaystyle \ anoint Hdl = I _ {\ text {traversant}}}
H2πx=Jegkrysset{\ displaystyle H2 \ pi x = I _ {\ text {traversant}}}
For (lederens radius) får vi:
For vi får:x<r{\ displaystyle x <r}H=Jeg⋅x22πxr2{\ displaystyle H = {\ frac {I \ cdot x ^ {2}} {2 \ pi xr ^ {2}}}}x⩾r{\ displaystyle x \ geqslant r}H=Jeg2πx{\ displaystyle H = {\ frac {I} {2 \ pi x}}}
Energien i leder W er lik:
WJeg=12∭B∧H⋅dV{\ displaystyle W_ {i} = {\ frac {1} {2}} \ iiint {B \ wedge H \ cdot dV}}
WJeg=12∭μJegH2dV{\ displaystyle W_ {i} = {\ frac {1} {2}} \ iiint \ mu _ {i} H ^ {2} dV}
Hvor er lederens magnetiske permeabilitet .
μJeg{\ displaystyle \ mu _ {i}}
WJeg=12∫0rμJeg(Jeg1x2πr2)2l2πxdx{\ displaystyle W_ {i} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {r} \ mu _ {i} \ left ({\ frac {I_ {1} x} {2 \) pi r ^ {2}}} \ høyre) ^ {2} l2 \ pi xdx}[...]
WJeg=Jeg12μJegl16π{\ displaystyle W_ {i} = I_ {1} ^ {2} {\ frac {\ mu _ {i} l} {16 \ pi}}}Gull
WJeg=12LJegJeg2{\ displaystyle W_ {i} = {\ frac {1} {2}} L_ {i} I ^ {2}}med L i den interne induktansen til lederen.
Derfor
LJeg=μJegl8π{\ displaystyle L_ {i} = {\ frac {\ mu _ {i} l} {8 \ pi}}}På linje
LJeg′=μJeg8π{\ displaystyle L_ {i} '= {\ frac {\ mu _ {i}} {8 \ pi}}}Nå som den interne induktansen er kjent, gjenstår det å bestemme den eksterne induktansen. Vi tar hensyn til feltet som er opprettet av en enkelt dirigent mellom ham og den andre lederen (der feltet er kansellert):
Φ=∬B⋅dS=∬μpåH⋅dS=∫rdμpåJeg2πxldx{\ displaystyle \ Phi = \ iint B \ cdot dS = \ iint \ mu _ {a} H \ cdot dS = \ int _ {r} ^ {d} \ mu _ {a} {\ frac {I} {2 \ pi x}} ldx}
Φ=μpåJeg2πlln(dr){\ displaystyle \ Phi = \ mu _ {a} {\ frac {I} {2 \ pi}} l \ ln \ left ({\ frac {d} {r}} \ right)}
Gull
Lpå=ΦJeg=μpå12πlln(dr){\ displaystyle L_ {a} = {\ frac {\ Phi} {I}} = \ mu _ {a} {\ frac {1} {2 \ pi}} l \ ln \ left ({\ frac {d} {r}} \ høyre)}Med den magnetiske fluks . På linje:
Φ{\ displaystyle \ Phi}
Lpå′=μpå12πln(dr){\ displaystyle L_ {a} '= \ mu _ {a} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ ln \ left ({\ frac {d} {r}} \ right)}Den totale eksterne induktansen som er forårsaket av den utgående lederen og returlederen, og den interne induktansen også oppsummerer, har vi:
LTotal′=2Lpå′+2LJeg{\ displaystyle L _ {\ text {total}} '= 2L_ {a}' + 2L_ {i}}Med tanke på like magnetisk permeabilitet blir ligningen:
μr{\ displaystyle \ mu _ {r}}
LTotal′=μ0π(μr4+ln(dr)){\ displaystyle L _ {\ text {total}} '= {\ frac {\ mu _ {0}} {\ pi}} \ left ({\ frac {\ mu _ {r}} {4}} + \ ln \ venstre ({\ frac {d} {r}} \ høyre) \ høyre)}
Trefasesystem
For et trefasesystem vurderer vi en fiktiv returleder plassert mellom de tre fasene. Ovennevnte ligninger gjelder fortsatt, det er også nødvendig å beregne de gjensidige induktansene mellom fasene. Vær oppmerksom på at lederne er enkle her, for detaljer med ledningsnett, se merknaden.
M31=Φ1Jeg3=1Jeg3∬B1dS{\ displaystyle M_ {31} = {\ frac {\ Phi _ {1}} {I_ {3}}} = {\ frac {1} {I_ {3}}} \ iint B_ {1} dS}Med B 1 blir feltet påført leder 1 av strømmen som strømmer gjennom leder 3.
M31=μ0l2πJeg3[Jeg3(μr4+∫rd1xdx)-Jeg3∫dD1xdx]{\ displaystyle M_ {31} = {\ frac {\ mu _ {0} l} {2 \ pi I_ {3}}} \ venstre [I_ {3} \ venstre ({\ frac {\ mu _ {r} } {4}} + \ int _ {r} ^ {d} {\ frac {1} {x}} dx \ right) -I_ {3} \ int _ {d} ^ {D} {\ frac {1 } {x}} dx \ right]}Fra d påvirker returlederen feltet. Vi får derfor:
M31=μ0l2π(μr4+ln(dr)+ln(Dd)){\ displaystyle M_ {31} = {\ frac {\ mu _ {0} l} {2 \ pi}} \ left ({\ frac {\ mu _ {r}} {4}} + \ ln \ left ( {\ frac {d} {r}} \ høyre) + \ ln \ venstre ({\ frac {D} {d}} \ høyre) \ høyre)}
M31=μ0l2π(μr4+ln(d2r⋅D)){\ displaystyle M_ {31} = {\ frac {\ mu _ {0} l} {2 \ pi}} \ left ({\ frac {\ mu _ {r}} {4}} + \ ln \ left ( {\ frac {d ^ {2}} {r \ cdot D}} \ høyre) \ høyre)}
Systemet er symmetrisk M 12 = M 23 = M 31 = M.
Induktansen til en linje, L- linje styres derfor av følgende ligning:
LlinjeJeg1=LTotalJeg1+MJeg2+MJeg3{\ displaystyle L _ {\ text {line}} I_ {1} = L _ {\ text {total}} I_ {1} + MI_ {2} + MI_ {3}}Systemet er trefaset . Fra hvor :
Jeg1+Jeg2+Jeg3=0{\ displaystyle I_ {1} + I_ {2} + I_ {3} = 0}
LlinjeJeg1=LTotalJeg1-MJeg1{\ displaystyle L _ {\ text {line}} I_ {1} = L _ {\ text {total}} I_ {1} -MI_ {1}}Ved å forenkle (lineært):
Llinje′=LTotal′-M=μ02π[2(μr4+ln(dr))-(μr4+ln(d2r⋅D))]{\ displaystyle L _ {\ text {line}} '= L _ {\ text {total}}' - M = {\ frac {\ mu _ {0}} {2 \ pi}} \ venstre [2 \ venstre ({\ frac {\ mu _ {r}} {4}} + \ ln \ left ({\ frac {d} {r}} \ right) \ right) - \ left ({\ frac {\ mu _ { r}} {4}} + \ ln \ venstre ({\ frac {d ^ {2}} {r \ cdot D}} \ høyre) \ høyre) \ høyre]}Llinje′=μ02π(ln(Dr)+μr4){\ displaystyle L _ {\ text {line}} '= {\ frac {\ mu _ {0}} {2 \ pi}} \ left (\ ln \ left ({\ frac {D} {r}} \ høyre) + {\ frac {\ mu _ {r}} {4}} \ høyre)}
Professor Thierry Van Cutsem tilbyr en litt annen demonstrasjon, se merknad.
Typiske impedansverdier
Nedenfor er noen typiske verdier for et 50 Hz nettverk med aluminium / stål ledere av aluminiumseksjonen 240 mm 2 og stål 40 mm 2 .
Linjespenning (kV) |
Antall ledere per bunt |
Impedans (Ω / km)
|
---|
110 |
1 |
0,12 + d0,4
|
220 |
2 |
0,06 + j0,3
|
380 |
4 |
0,03 + d0,25
|
Andre verdier bare for motstand:
Linjespenning (kV) |
Antall ledere per bunt |
Motstand (Ω / km)
|
---|
70 |
1 |
0,09-0,35
|
110 |
1 |
0,12
|
220 |
2 |
0,04-0,09
|
380 |
4 |
0,03
|
Og induktansen:
Linjespenning (kV) |
Antall ledere per bunt |
Induktans (Ω / km)
|
---|
70 |
1 |
0,2 - 0,4
|
110 |
1 |
0,4
|
220 |
2 |
0,3
|
380 |
4 |
0,25
|
Kapasitet
I et trefasesystem er det kapasiteter mellom linjer og jord, men også mellom linjer. Målet er å syntetisere alt i en enkelt "gjennomsnittlig" kapasitet C b lik de tre linjene:
VSb′=2πϵ0ϵrln(Dr){\ displaystyle C_ {b} '= {\ frac {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}} {\ ln \ left ({\ dfrac {D} {r}} \ right)}} }I hvilken og er den dielektriske permittiviteten til vakuumet og materialet (i tilfelle luft for ledningene er omtrent 1).
ϵ0{\ displaystyle \ epsilon _ {0}}ϵr{\ displaystyle \ epsilon _ {r}}ϵr{\ displaystyle \ epsilon _ {r}}
Vi kan demonstrere ved bruk av Kennellys teorem at:
VSb′=3⋅VSL+VST{\ displaystyle C_ {b} '= 3 \ cdot C_ {L} + C_ {T}}Med C L den gjensidige kapasitansen og C T jordkapasitansen
Demonstrasjon
For å modellere jordens nullpotensiale bruker vi speilprinsippet. Det vil si at vi modellerer fiktive ledere plassert symmetrisk til jorden i forhold til de virkelige lederne og ladet på motsatt måte. Jorden har da null potensial.
Tenk på saken som er vist motsatt av en enkelt leder. Potensialet til et vilkårlig punkt Pi, fjernt fra en ij fra den virkelige lederen og fra en ij * fra den fiktive dirigenten, er ifølge Gauss teorem :
VP=VP,forårsaket av ekte sjåfør+VP,forårsaket av fiktiv sjåfør{\ displaystyle V_ {P} = V_ {P, {\ text {forårsaket av ekte driver}}} + V_ {P, {\ text {forårsaket av fiktiv driver}}}}
VP=Spørsmålj′2πϵ0ϵrln(1påJegj)-Spørsmålj′2πϵ0ϵrln(1påJegj∗){\ displaystyle V_ {P} = {\ frac {Q_ {j} '} {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}}} \ ln \ left ({\ frac {1} {a_ { ij}}} \ høyre) - {\ frac {Q_ {j} '} {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}}} \ ln \ left ({\ frac {1} {a_ { ij *}}} \ høyre)}
VP=Spørsmålj′2πϵ0ϵrln(påJegj∗påJegj){\ displaystyle V_ {P} = {\ frac {Q_ {j} '} {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}}} \ ln \ left ({\ frac {a_ {ij} * } {a_ {ij}}} høyre)}
Det samme prinsippet brukes for et trefasesystem. For hvert punkt P har vi ligningen:
VP=12πϵ0ϵr(Spørsmål1′ln(på1j∗på1j)+Spørsmål1′ln(på2j∗på2j)+Spørsmål1′ln(på3j∗på3j)){\ displaystyle V_ {P} = {\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}}} \ left (Q_ {1} '\ ln \ left ({\ frac {a_) {1j} *} {a_ {1j}}} høyre) + Q_ {1} '\ ln \ venstre ({\ frac {a_ {2j} *} {a_ {2j}}} \ høyre) + Q_ {1 } '\ ln \ left ({\ frac {a_ {3j} *} {a_ {3j}}} \ right) \ right)}Ved å plassere punktene i P på lederne 1, 2 og 3, blir potensialene lik U 1 , U 2 og U 3 .
Vi kan presentere det forrige problemet i matriseform: U = M * Q.Med U er vektoren til spenningene til de tre lederne, Q tar de 3 ladningene og M en matrise som består av for i og j fra 1 til 3.
12πϵ0ln(på1j∗på1j){\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ ln \ left ({\ frac {a_ {1j} *} {a_ {1j}}} \ right)}
Systemet betraktes som symmetrisk (se fasebytte ):
VS12=VS23=VS1. 3{\ displaystyle C_ {12} = C_ {23} = C_ {13}}Og
VS1T=VS2T=VS3T{\ displaystyle C_ {1T} = C_ {2T} = C_ {3T}}En ekvivalent avstand lik det geometriske gjennomsnittet mellom bjelkene beregnes med metoden presentert ovenfor for det virkelige systemet, bemerket D, og det fiktive systemet, bemerket D *. En geometrisk gjennomsnittshøyde er også definert:
h=h1h2h33{\ displaystyle h = {\ sqrt [{3}] {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}}}Videre har alle ledere samme radius r. De diagonale begrepene er derfor lik
Og alle de andre begrepene .
12πϵ0ln(på1j∗på1j){\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ ln \ left ({\ frac {a_ {1j} *} {a_ {1j}}} \ right)}12πϵ0ln(2hr)=sPÅ{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ ln \ left ({\ frac {2h} {r}} \ right) = p_ {A}}12πϵ0ln(D∗D)=sB{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ ln \ left ({\ frac {D *} {D}} \ right) = p_ {B}}
Ved å løse matrisesystemet får vi: med i = 1..3.
SpørsmålJeg=1sPÅ-sB⋅UJeg{\ displaystyle Q_ {i} = {\ frac {1} {p_ {A} -p_ {B}}} \ cdot U_ {i}}
1sPÅ-sB=2πϵ0ϵrln(2hr)-ln(D∗D){\ displaystyle {\ frac {1} {p_ {A} -p_ {B}}} = {\ frac {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}} {\ ln ({\ frac { 2t} {r}}) - \ ln ({\ frac {D *} {D}})}}
1sPÅ-sB=2πϵ0ϵrln(2hDrD∗){\ displaystyle {\ frac {1} {p_ {A} -p_ {B}}} = {\ frac {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}} {\ ln ({\ frac { 2hD} {rD *}})}}
Ved å tilnærme D * by får vi:
(2h)2+D2{\ displaystyle {\ sqrt {(2h) ^ {2} + D ^ {2}}}}
1sPÅ-sB=2πϵ0ϵrln(Dr1+(D2h)2){\ displaystyle {\ frac {1} {p_ {A} -p_ {B}}} = {\ frac {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}} {\ ln \ left ({\ frac {D} {r {\ sqrt {1 + ({\ frac {D} {2h}}) ^ {2}}}}} høyre)}}D<<2h{\ displaystyle D << 2t} fra hvor :
1sPÅ-sB=2πϵ0ϵrln(Dr){\ displaystyle {\ frac {1} {p_ {A} -p_ {B}}} = {\ frac {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}} {\ ln ({\ frac { D} {r}})}}}Per definisjon :
VSb′=Spørsmål1′U1=1sPÅ-sB=2πϵ0ϵrln(Dr){\ displaystyle C_ {b} '= {\ frac {Q_ {1}'} {U_ {1}}} = {\ frac {1} {p_ {A} -p_ {B}}} = {\ frac { 2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}} {\ ln ({\ frac {D} {r}})}}}
Ledningsevne
En motstand må representeres parallelt med kapasiteten for å være fullstendig. Det skyldes koronaeffekten og strømlekkasjer (forårsaket av forurensning på isolatorer for eksempel). For en linje på 380 kV er det verdt:
Tørt vær |
Fuktig vær
|
---|
3 nS / km |
30 nS / km
|
Typiske opptaksverdier
Nedenfor er noen typiske verdier for et 50 Hz nettverk .
Linjespenning (kV) |
Antall ledere per bunt |
Adgang (us / km)
|
---|
110 |
1 |
3
|
220 |
2 |
3.9
|
380 |
4 |
4.3
|
Beregning av de elektriske parametrene for en kabel
Adgang
For kabler er motstands- og induktivitetsberegningene identiske. Kapasiteten er:
VST=VSb′=2πϵln(r2r1){\ displaystyle C_ {T} = C_ {b} '= {\ frac {2 \ pi \ epsilon} {\ ln ({\ frac {r_ {2}} {r_ {1}}})}}Med r 1 kjernens radius og r 2 skjermens indre radius. Kapasitansen mellom linjene er ubetydelig.
Konduktansen er lik:
Gb′=solbrun(δ)⋅ωVSb′{\ displaystyle G_ {b} '= \ tan (\ delta) \ cdot \ omega C_ {b}'}Noen typiske verdier:
Linjespenning (kV) |
Motstand (Ω / km) |
Reaktans (Ω / km) |
Tillatelse ((US / km)
|
---|
36 |
0,06-0,16 |
0,10 - 0,17 |
40 -120
|
150 |
0,03-0,12 |
0,12 - 0,22 |
30-70
|
Kabelisolasjonstype |
tpåikke(δ){\ displaystyle tan (\ delta)} |
ϵr{\ displaystyle \ epsilon _ {r}}
|
---|
Impregnert papir |
2 - 3 10 −3 |
3,3-3,5
|
PVC |
|
3,5 - 8,0
|
Etylenpropylen |
|
2,8 - 3,5
|
Polyetylen |
0,2 - 0,5 10 −3 |
2.2-2.3
|
Tverrbundet polyetylen |
|
2.3 - 6
|
IEC 60287-1-1-standarden inneholder mange formler for beregning av elektriske parametere for kabler.
Linjetransposisjon
Jord-til-jord-kapasitansen avhenger av høyden der leder eller lederbunt er plassert. I de foregående eksemplene er en av disse lederne høyere enn de to andre. Hvis ingenting blir gjort, vil kapasiteten til denne fasen overfor jorden være forskjellig fra de to andre fasene, noe som ikke er ønskelig for et symmetrisk trefasesystem.
For å løse problemet byttes fasene mellom dem med jevne mellomrom ved hjelp av en transponeringspylon. For linjer som er mindre enn 200 km lange, er to overføringer, som tillater at hver linje har samme kapasitive oppførsel i gjennomsnitt, tilstrekkelig. Strømmene indusert av de tre fasene kompenserer deretter for hverandre.
Se også
Referanser
-
Kindersberger 2009 , s. 232
-
(in) " Modellering av transmisjonslinjer " (åpnet 14. januar 2013 )
-
Kindersberger 2009 , s. 234
-
Kindersberger 2009 , s. 196
-
Kindersberger 2009 , s. 197
-
Kindersberger 2009 , s. 199
-
Thierry Van Cutsem , Analyse og drift av elektriske energisystemer , University of Liège,2012( les online )
-
Kindersberger 2009 , s. 200
-
Kindersberger 2009 , s. 204
-
Andre impedansverdier på < (en) Analyse av arbeidsgruppen for systemtransienter , modelleringsretningslinjer for bytte av transienter , IEEE,2009( les online )
-
Kindersberger 2009 , s. 208
-
Kindersberger 2009 , s. 213
-
Kindersberger 2009 , s. 212
-
Kindersberger 2009 , s. 223
-
(i) Houssem Rafik og El Hana Bouchekara , overføring og distribusjon av elektrisk spenning ,2010( les online )
-
Kindersberger 2009 , s. 213
Oversettelse
-
geometrisk middelavstand , GMD på engelsk
-
geometrisk medium radius , GMR på engelsk
Bibliografi
- (de) Joseph Kindersberger , Grundlagen der Hochspannungs- und Energieübertragungstechnik , TU München,2009
Standarder
- IEC 60287-1-1 Elektriske kabler - Beregning av tillatt strøm - Del 1-1: Ligninger av tillatt strømstyrke (100% lastfaktor) og beregning av tap - Generelt , 2006
-
CIGRÉ Brosjyre 531 Kabelsystemer Elektriske egenskaper , 2013
Ekstern lenke