Plystremodus

Den fresende modus er en spredende modus for forplantning i magnetisert plasmaer . Opphisset av atmosfæriske parasitter skapt av lyn, forplantes forstyrrelser i magnetosfæren fra en halvkule av jorden til en annen . Dens spredte karakter forårsaker en spredning av frekvenser. Opptak av signalet som er transponert til et akustisk signal gir inntrykk av en plystrende lyd. Denne karakteristiske fløyta kalles en "whistler" (fra "  whistler" på engelsk).

Formeringsmediet

Forplantningsmediet i den hvissende modusen er et magnetisert plasma, pulserende elektronplasma og elektronsyklotronpulsering , henholdsvis knyttet til eksistensen av en tetthet av frie elektroner i plasmaet og tilstedeværelsen av et magnetisk induksjonsfelt . ωs{\ displaystyle \ omega _ {p}}ωvs.{\ displaystyle \ omega _ {c}}ikkee{\ displaystyle n_ {e}}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}

Forplantningen er parallell med magnetfeltet. Bølgevektoren er kollinær med feltet . k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}

Det er en rett elektronisk elektromagnetisk modus. Oppreist modus har to grener, en høy og en lav. Den første forplanter seg for høy pulsering, større enn plasmapulsasjonen av mediet. Det andre er det som interesserer oss. Det er grenen av laveste frekvens. Den presenterer en resonans mot den elektroniske cyklotroniske pulsasjonen.

Den lavfrekvente delen av riktig modus kalles hvesemodus. Pulsen tilfredsstiller følgende ulikhet . Denne løsningen er ikke triviell fordi vi snakker om en modus som forplantes i et plasma ved en lavere puls enn plasmapulsen. ω{\ displaystyle \ omega}ω≪ωvs.∼ωs{\ displaystyle \ omega \ ll \ omega _ {c} \ sim \ omega _ {p}}

Plystre-modus er en elektronisk modus. For pulser som er for lave, blir bevegelsen til ionene viktig. Enten plasmaionpuls , oppfyller pulsen også følgende ulikhet . Ωs{\ displaystyle \ Omega _ {p}}ω{\ displaystyle \ omega}Ωs≪ω{\ displaystyle \ Omega _ {p} \ ll \ omega}

De whistlers er i radio området fra meget lave frekvenser, meget lav frekvens (VLF) på engelsk, typisk i størrelsesorden av 3 til 5  kHz .

Vi vil nå bruke ligningene i fysikk for å finne sprøytingsligningen for hvesemodus.

Ytterligere forutsetninger

For å gjøre beregningene enklere vil vi gjøre andre forutsetninger. Plasmaet er kaldt, det vil si at elektrontemperaturen er null. Ionene er også kalde: de skal være ubevegelige. Trykket er derfor null. Plasma er ikke kollisjonelt. Vi plasserer oss i referanserammen der elektronene er urørlige, det vil si at hastigheten er null. Vi antar at det ikke er noe globalt elektrisk felt. Det er et globalt magnetfelt langs (Oz) aksen.

Vi antok følgende tilleggsforutsetninger:

• Te=0{\ displaystyle T_ {e} = 0}
• ve→=0→{\ displaystyle {\ vec {v_ {e}}} = {\ vec {0}}}
• E→=0→{\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ vec {0}}}
• B0→=B0ez→{\ displaystyle {\ vec {B_ {0}}} = B_ {0} {\ vec {e_ {z}}}}

Det elektriske feltet, den elektroniske hastigheten er i gjennomsnitt null. De har fortsatt forstyrrende bevegelser. Dette er det vi leter etter.

Den parallelle forplantningsdispersjonsforholdet

Vi ser etter en løsning på Maxwells ligninger i form av en bølge som forplantes i et medium. Det vurderte mediet er plasmaet som vi har beskrevet tidligere. Vi vil være interessert i bevegelse av elektroner. Vi vil gjøre en perturbativ teori i rekkefølge 1, det vil si en lineær teori.

De grunnleggende ligningene

Grunnleggende prinsipp for dynamikk for elektroner:
meddtv→=qe(E→+v→∧B→){\ displaystyle m_ {e} {\ frac {d} {dt}} {\ vec {v}} = q_ {e} ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {B}})}

Maxwells ligninger gir oss den generelle spredningsforholdet:
|k2vs.2ω2(k→k→k2-Jeg¯¯)+ϵ¯¯(k→,ω)|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} {\ frac {k ^ {2} c ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} ({\ frac {{\ vec {k}} {\ vec {k }}} {k ^ {2}}} - {\ bar {\ bar {I}}}) + {\ bar {\ bar {\ epsilon}}} ({\ vec {k}}, \ omega) \ slutt {vmatrix}} = 0}

Diagrammet for demonstrasjonen

Plystre-modus er en tverrgående modus. Vi vil begrense oss til studiet av tverrmodus. Den langsgående løsningen er koblet fra de tverrgående løsningene.

Først, fra ligningen for bevaring av elektronens momentum, vil vi prøve å koble følgende vektormengder, den elektroniske strømmen og det elektriske feltet ved ledningsevne tensor . Det vil si at vi leter etter Ohms lov for elektroner. J→{\ displaystyle {\ vec {J}}}E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}σ¯¯{\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}}}

Deretter, ved å bruke ekvivalensen av beskrivelsene for dielektrisk og ledningsevne, vil vi utlede den dielektriske tensoren fra ledningsevnen . ϵ¯¯{\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ epsilon}}}}σ¯¯{\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}}}

Ved å bruke den generelle spredningsligningen, som vi vil begrense til tilfellet med parallell forplantning, vil vi finne de generelle spredningsforholdene til høyre og venstre modus.

Vi vil endelig oppnå spredningsforholdet til sissemodus ved å bruke forutsetningene om ulikhet.

Linearisering

Vi lager en teori på ordre 1. La oss uttrykke størrelsen på problemet opp til ordre 1.

• v→=v1→{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {v_ {1}}}}
• J→=J1→{\ displaystyle {\ vec {J}} = {\ vec {J_ {1}}}}
• E→=E1→{\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ vec {E_ {1}}}}
• B→=B0→+B1→{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {B_ {0}}} + {\ vec {B_ {1}}}}

Linjere ligningen for bevaring av elektronens momentum.
meddtv1→=qe(E1→+v1→∧B0→){\ displaystyle m_ {e} {\ frac {d} {dt}} {\ vec {v_ {1}}} = q_ {e} ({\ vec {E_ {1}}} + {\ vec {v_ { 1}}} \ wedge {\ vec {B_ {0}}})}

Bølgeløsning

Vi ser etter en løsning i form av en bølge. Det vil si i følgende eksponentiell form: . eJeg(ωt-k→⋅r→){\ displaystyle e ^ {i (\ omega t - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}})}}

Vi får følgende ligning:
-meJegωv1→=qe(E1→+v1→∧B0→){\ displaystyle -m_ {e} i \ omega {\ vec {v_ {1}}} = q_ {e} ({\ vec {E_ {1}}} + {\ vec {v_ {1}}} \ wedge {\ vec {B_ {0}}})}

Følgende definisjoner brukes:

• Je→=ikkeeqeve{\ displaystyle {\ vec {J_ {e}}} = n_ {e} q_ {e} v_ {e}}
• ωs2=ikkeeqe2meϵ0{\ displaystyle \ omega _ {p} ^ {2} = {\ frac {n_ {e} q_ {e} ^ {2}} {m_ {e} \ epsilon _ {0}}}}
• ωvs.=qeBme{\ displaystyle \ omega _ {c} = {\ frac {q_ {e} B} {m_ {e}}}}

Vi oppnår :
-JegωJ→=ϵ0ωs2E→+ωvs.J→∧ez→{\ displaystyle -i \ omega {\ vec {J}} = \ epsilon _ {0} \ omega _ {p} ^ {2} {\ vec {E}} + \ omega _ {c} {\ vec {J }} \ wedge {\ vec {e_ {z}}}}

Ohms lov

Ohms lov, i sin lokale form, relaterer tettheten av elektrisk strøm til det elektriske feltet gjennom ledningsevne.

J→=σ¯¯E→{\ displaystyle {\ vec {J}} = {\ bar {\ bar {\ sigma}}} {\ vec {E}}}

Fra forrige forhold får vi en eksplisitt form for Ohms lov for de tverrgående komponentene:
J→=Jegωϵ0ωs2ω2-ωvs.2(1Jegωvs.ω-Jegωvs.ω1)E→{\ displaystyle {\ vec {J}} = i \ omega \ epsilon _ {0} {\ frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {\ omega ^ {2} - \ omega _ {c} ^ {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 og jeg {\ frac {\ omega _ {c}} {\ omega}} \\ - i {\ frac {\ omega _ {c}} {\ omega}} & 1 \ end {pmatrix}} {\ vec {E}}}

Den dielektriske tensoren

Nå som vi har et uttrykk for konduktivitetstensoren, vil vi utlede den dielektriske tensoren med følgende generelle forhold:

ϵ¯¯=Jeg-σ¯¯Jegωϵ0{\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ epsilon}}} = I - {\ frac {\ bar {\ bar {\ sigma}}} {i \ omega \ epsilon _ {0}}}}

Den således oppnådde dielektriske tensoren for de tverrgående komponentene har formen:

ϵ¯¯=(ϵ1-Jegϵ2Jegϵ2ϵ1){\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ epsilon}}} = {\ begynn {pmatrix} \ epsilon _ {1} & - i \ epsilon _ {2} \\ i \ epsilon _ {2} & \ epsilon _ {1} \ end {pmatrix}}}

Med:

• ϵ1=1-ωs2ω2-ωvs.2{\ displaystyle \ epsilon _ {1} = 1 - {\ frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {\ omega ^ {2} - \ omega _ {c} ^ {2}}}}
• ϵ1=-ωvs.ωωs2ω2-ωvs.2{\ displaystyle \ epsilon _ {1} = - {\ frac {\ omega _ {c}} {\ omega}} {\ frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {\ omega ^ {2} - \ omega _ {c} ^ {2}}}}

Vi vil injisere denne tensoren i den generelle dispersjonsligningen.

Spredningsforholdet i langsgående forplantning

Når det gjelder forplantning i lengderetningen, er bølgevektoren kollinær med feltet B, langs aksen (Oz), det vil si: k→=k(001){\ displaystyle {\ vec {k}} = k {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}

I den generelle dispersjonsligningen har begrepet derfor ingen tverrkomponent, og dispersjonsligningen for den langsgående forplantning, begrenset til de tverrgående komponentene, er skrevet: k→k→k2{\ displaystyle {\ frac {{\ vec {k}} {\ vec {k}}} {k ^ {2}}}}

|-k2vs.2ω2Jeg¯¯+ϵ¯¯(k→,ω)|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} - {\ frac {k ^ {2} c ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} {\ bar {\ bar {I}}} + {\ bar { \ bar {\ epsilon}}} ({\ vec {k}}, \ omega) \ end {vmatrix}} = 0}

Eller ved å bruke definisjonen av indeksen ,, får vi dispersjonsligningen på de tverrgående komponentene i parallell forplantning: IKKE=kvs.ω{\ displaystyle N = {\ frac {kc} {\ omega}}}

|-IKKE2Jeg¯¯+ϵ¯¯(k→,ω)|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} -N ^ {2} {\ bar {\ bar {I}}} + {\ bar {\ bar {\ epsilon}}} ({\ vec {k}}, \ omega ) \ end {vmatrix}} = 0}

Dispersjonsforholdet etablert, vi må løse det for å finne modusene.

Løsningene til dispersjonsligningen

Den generelle dispersjonsligningen er i form av en determinant . Vi har allerede forklart at den langsgående løsningen er koblet fra de tverrgående løsningene. De tverrgående løsningene, de er koblet, det er av denne grunn at man måtte gå gjennom tensorene. 3×3{\ displaystyle 3 \ times 3}

For tverrgående komponenter i parallell forplantning, kommer dispersjonsligningen til en determinant . Det er to løsninger. 2×2{\ displaystyle 2 \ times 2}

Nøyaktige løsninger

Løsningene er:

(-IKKE2+ϵ1)2-ϵ2=0{\ displaystyle (-N ^ {2} + \ epsilon _ {1}) ^ {2} - \ epsilon _ {2} = 0}

Er,

IKKE2=ϵ1±ϵ2{\ displaystyle N ^ {2} = \ epsilon _ {1} \ pm \ epsilon _ {2}}

Tatt i betraktning definisjonen av og , kan vi omskrive dem i følgende eksakte form ϵ1{\ displaystyle \ epsilon _ {1}}ϵ2{\ displaystyle \ epsilon _ {2}}

IKKE2=1-ωsω(ω∓ωvs.){\ displaystyle N ^ {2} = 1 - {\ frac {\ omega _ {p}} {\ omega (\ omega \ mp \ omega _ {c})}}}

Omtrentlig løsning

Den eksakte ligningen er en polynomløsning av rekkefølge 3. Vi kjenner derfor løsningene analytisk.

Ved å bruke den annonserte ulikheten vil vi finne et veldig enkelt uttrykk for dispersjonsligningen. Ulikheten er som følger:

ω≪ωvs.≲ωs{\ displaystyle \ omega \ ll \ omega _ {c} \ lesssim \ omega _ {p}}

Vi forsømmer foran og deretter multipliserer vi ligningen med . Vi får følgende uttrykk: ω{\ displaystyle \ omega}ωvs.{\ displaystyle \ omega _ {c}}ω2{\ displaystyle \ omega ^ {2}}

k2vs.2=ω2-ωωs2∓ωvs.{\ displaystyle k ^ {2} c ^ {2} = \ omega ^ {2} - {\ frac {\ omega \ omega _ {p} ^ {2}} {\ mp \ omega _ {c}}}}

Imidlertid, og derfor ekspresjon av oppløsningene er: ωsωvs.≳1{\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {p}} {\ omega _ {c}}} \ gtrsim 1}ω2≪ωωs{\ displaystyle \ omega ^ {2} \ ll \ omega \ omega _ {p}}

k2vs.2=±ωωs2ωvs.{\ displaystyle k ^ {2} c ^ {2} = \ pm {\ frac {\ omega \ omega _ {p} ^ {2}} {\ omega _ {c}}}}

Rett modus har reelle løsninger, den er forplantende. Venstre modus har imaginære løsninger, den er unnvikende.

Forholdet mellom fløyte-modus er:

ω=k2vs.2ωvs.ωs2{\ displaystyle \ omega = {\ frac {k ^ {2} c ^ {2} \ omega _ {c}} {\ omega _ {p} ^ {2}}}}

Sissemodus er spredt fordi pulsasjonen avhenger av kvadratet til bølgevektoren.

Kvalitativ studie av hvesemodus-dispersjonsligningen

For å forstå opprinnelsen til det synkende suset, må vi kvalitativt studere egenskapene til fløyte-modus. For det skal vi beregne gruppens hastighet. Deretter vil vi studere forplantningen av en bølgepakke som har gått en avstand . Vi vil være spesielt interessert i å kjenne den tidsmessige profilen til ankomsten av bølger i henhold til deres pulsasjon. d{\ displaystyle d}

Gruppefart

Gruppehastigheten er definert som derivatet med hensyn til bølgevektoren til pulsasjonen.

vg→=dωdk→{\ displaystyle {\ vec {v_ {g}}} = {\ frac {d \ omega} {d {\ vec {k}}}}}

I vårt tilfelle, endimensjonalt, får vi:

vg=ddkk2vs.2ωvs.ωs2=2vs.ωωvs.ωs2{\ displaystyle v_ {g} = {\ frac {d} {dk}} {\ frac {k ^ {2} c ^ {2} \ omega _ {c}} {\ omega _ {p} ^ {2} }} = 2c {\ sqrt {\ frac {\ omega \ omega _ {c}} {\ omega _ {p} ^ {2}}}}}

Gruppens hastighet avhenger av bølgepulsen. Gruppehastigheten er til og med en økende funksjon av pulsasjonen. Jo høyere puls, desto raskere forplantes den tilknyttede bølgen. Vi har ytterligere bevis på dens spredte natur.

Spredning av en bølgepakke

En dispersiv bølge vil oppleve en spredning av pulser over tid. Enten en bølgepakke som sendes ut i avstand fra en mottaker, vil mottakeren først registrere de raskeste bølgene, det vil si bølgene med høyest pulsasjon. Vi vil etablere loven om pulsasjonsbølgene som en funksjon av tiden . d{\ displaystyle d}ω{\ displaystyle \ omega}t{\ displaystyle t}

La det generelle uttrykket for hastigheten være:

v=dt{\ displaystyle v = {\ frac {d} {t}}}

I vårt tilfelle prøver vi å uttrykke pulsen som en funksjon av tiden . ω{\ displaystyle \ omega}t{\ displaystyle t}

ω(t)=ωs24vs.2ωvs.d2t2{\ displaystyle \ omega (t) = {\ frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {4c ^ {2} \ omega _ {c}}} {\ frac {d ^ {2}} {t ^ {2}}}}

Vi oppnår forventet kvalitativ avhengighet, den registrerte pulsen er en avtagende funksjon av tiden.

Whistlers

I de foregående seksjonene ble det vist at hvesemodus forplanter seg i retning av linjene til jordens magnetfelt og at dens karakter er spredt. Studien av forplantningen av en bølgepakke over en avstand har også gjort det mulig å oppnå utviklingen av frekvensen registrert over tid og alle elementene for å forstå hva whistlers er .

Under et tordenvær skaper et lyn en elektromagnetisk puls. Denne, kalt en atmosfærisk parasitt , inneholder et bredt spekter av frekvenser, og den utsendte bølgepakken blir deretter ført langs jordens magnetiske feltlinjer i magnetosfæren og ionosfæren. I løpet av forplantningen trer spredning seg i kraft, og bølgen føres til den motsatte halvkule av kloden. En antenne vil først kunne registrere de høye og derfor akutte frekvensene som forplantes raskest i magnetisert plasma, deretter den synkende bølgen av frekvenser.

Frekvensene til bakkefløyter varierer mellom 1 kHz og 30 kHz, med en maksimal amplitude vanligvis mellom 3 kHz og 5 kHz, og selv om dette er elektromagnetiske bølger, oppstår de ved frekvenser i lyddomenet. Transponeringen av signalet til lydområdet kan gjøres ved hjelp av en detektor og vil gi inntrykk av et veldig karakteristisk synkende sus.

Merknader og referanser

1. Oversettelsesbyrå, "  Whistler / Siffleur Atmospheric  " , Termium , Public Works and Government Services Canada,2016(åpnet 20. mars 2015 ) .