Sentrert kvadratnummer

Et sentrert kvadratnummer er et sentrert figurativt tall som kan representeres av et kvadrat med et punkt plassert i midten og alle andre punkter arrangert i konsentriske firkanter på 4 poeng, 8 poeng, 12 poeng  osv.  :

• 1 + 4 = 5

• 5 + 8 = 13

• 13 + 12 = 25

• 1 + 4 + 8 + 12 = 25

For ethvert heltall n > 0 er det nte kvadratnummeret derfor 1 + 4 ganger summen av heltallene fra 1 til n - 1  :

VS4,ikke=1+4 ikke(ikke-1)2=2ikke2-2ikke+1.{\ displaystyle C_ {4, n} = 1 + 4 \ {\ frac {n (n-1)} {2}} = 2n ^ {2} -2n + 1.}

Liste over sentrerte firkantede tall

De første seksten sentrerte firkantnumrene er:

1 , 5 , 13 , 25 , 41 , 61 , 85 , 113 , 145 , 181 , 221 , 265 , 313 , 365 , 421 og 481 (fortsettelse A001844 av OEIS ).

Eiendommer

• Å skrive det niende kvadratnummeret sentrert i formen ovenfor (1 + 4 ganger det trekantede antallet indeks n - 1) kan representeres av:
• Det n -sentrerte kvadratnummeret er summen av de to påfølgende kvadrattallene n 2 og ( n - 1) 2  :
• De sentrerte firkanttalene kan derfor også skrives i form:VS4,ikke=ikke2+(ikke-1)2=(2ikke-1)2+12.{\ displaystyle C_ {4, n} = n ^ {2} + (n-1) ^ {2} = {{(2n-1) ^ {2} +1} \ over 2}.}Den siste likheten er vist nedenfor for n = 1, 2, 3 og 4. Figuren er dannet ved å vurdere en firkant på 2 n - 1 poeng med 2 n - 1 poeng, og velge halvparten av punktene, fra øverst til venstre hjørne, opp til det sentrale punktet inkludert

12+02=12+12{\ displaystyle 1 ^ {2} + 0 ^ {2} = {\ frac {1 ^ {2} +1} {2}}}	22+12=32+12{\ displaystyle 2 ^ {2} + 1 ^ {2} = {\ frac {3 ^ {2} +1} {2}}}	32+22=52+12{\ displaystyle 3 ^ {2} + 2 ^ {2} = {\ frac {5 ^ {2} +1} {2}}}	42+32=72+12{\ displaystyle 4 ^ {2} + 3 ^ {2} = {\ frac {7 ^ {2} +1} {2}}}

• Alle sentrerte firkantede tall er odde, og ved base 10 følger sifrene deres 1-5-3-5-1 mønsteret.
• Alle sentrerte firkantede tall og deres delere er kongruente til 1 modulo 4 . (Faktisk, for en hvilken som helst primfaktor p på 2 n 2 - 2 n + 1, er p odd og modulo p , siden ( n - 1) 2 er kongruent til - n 2 , –1 er en kvadratisk rest , slik at modulo 4 , p er kongruent til 1. ) De ender derfor med tallet 1 eller 5 i basene seks , åtte og tolv .

Kvadratnummer sentrert prim

Et primtall p er sentrert i kvadrat hvis og bare hvis 2 p - 1 er et perfekt kvadrat m 2 . Den ti minste en slik p er 5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613 og 761 ( A027862 ) og den ti tilsvarende verdier av m er 3, 5, 9, 11, 15, 19, 25, 29, 35 og 39 ( A002731 ).   

Se også

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen "  Centered square number  " ( se listen over forfattere ) .